自考2019年10月高数一真题及答案(2019.10)

1、全国2019年10月高等教育自学考试高等数学(一)试题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1. 下列函数为奇函数的是()。A. x sin2xB. x cos2xC. xsinxD. xcosx【正确答案】Dxcosx，【答案解析】已知奇函数满足f(x)二_f(_x)，因为D选项中令f(x)有f(x)xcosx，满足奇函数条件，故选择 D。参见教材P31。【知 识 点】 函数的奇偶性。2. 当x 0,y0时，下列等式成立的是()。A. ln (xy )= In xgn yB. ln x y = ln x ln yC. ln xy = ln x ln yx ln x D. l

2、ny ln y【正确答案】【答案解析】材P3&【知识点】C因为对数函数有loga(xy) = logaX loga y的性质，故选C对数函数。参见教4n3 +23. lim 3n'2n nA. 1B. 2C. 3D. 4【正确答案】【答案解析】【知识点】32.4n 212n.24n 小lim 3 lim 2 lim2。n齐：2 n3 n n&6 n21 n&12n参见教材P96洛必达法则。.xe 14. 已知函数f(x) = « 2x ，x 在点x=0处连续，则a=()、a, x = 0A. 0C. 1D. 2【正确答案】B【答案解析】因为函数在x =

3、 0处连续，则有lim f(x)二a，带入可得e 1x 1ilim f (x)=四 =四厂=2，解得a = ?，故选B。参见教材 P63。【知识点】函数的连续性。5. 曲线y=2x2-x在点1,1处的切线方程为 ()。A. y = 3x - 2B. y = 3x -4C. y =2x -2D. y = 2x - 4【正确答案】 A【答案解析】因为函数在一点处的导数值即为函数在该点处的切线斜率。所以，先求导得f (x) = 4x 一1，将x = 1带入导数可得斜率k二=3。然后，设直线 方程为，y y。二k(x-X。)，将切线斜率k = 3和点(1,1)带入可得y = 3x - 2。参见 教材P

4、73。【知识点】导数的几何意义。6. 设需求函数为Q=35-P2，其中P和Q分别是价格与需求量，则P = 5时的需 求价格弹性为()。A. -9B. -7C. -5D. -3【正确答案】C【答案解析】 由定义可知lim VQ/VE =P一 f *( p0)称为该商品在p0处的需VpT Q。/ pof(Po)555求弹性。所以，将 p0 = 5带入可得f (5)2(-2g5)(-10) = -5，故f(5)35 510选C。参见教材P114【知 识 点】 导数在经济分析中的应用。7. 函数 f (x) =3x -3-x在()。A. ，二内单调增加B. ，二内有增有减C. 0, 内单调减少D. -

5、：，0内单调减少【正确答案】 A【答案解析】 函数求导得f (x)二In 3g3x -十号 二“3"：一 0 ,又因为原33函数定义域没有限制，故在-二，内单调增加。参见教材P100。【知 识 点】 求导法判断单调性。8. 曲线y = x3 - 6x2 10x T的拐点为 ()。A. (2,3)B. (3, 2)C. (1,2)D. (2,1)【正确答案】 A【答案解析】 由拐点定义可知，需先求二阶导。则 f (x) =3x? 12x 10 ,二阶 导为f “(x) =6x_12。令(X)=0解得x = 2带入原函数得f(2) =3，故拐点(2,3)。 参见教材P108。【知识点】曲

6、线的拐点。9. 不定积分dx =()。-x +12A. ln x - 1 CB. arctan x21 Cc12C. -ln X 1 C1 2D. arctan x 1 i亠 C【正确答案】C【答案解析】2x dx =丄2 dx2 =丄1 n(x2，1) C。参见教材P120。一 x+12 ' x+12【知 识 点】 不定积分的计算。10. 设函数z=x2+xy+2y2，则全微分dz俨厂()。A. 3dx 6dyB. 6dx 3dyC. 6dx 5dyD. 5dx 6dy【正确答案】D【答案解析】 因为fx(Xo, y°) =2x y， fy(x°, y°

7、) = x 4y。根据全微分定义可知 dz |(2,1)= fx(2,1)dx+f；(2,1)dy=5dx+6dy。参见教材 P190。【知识点】全微分的定义。二、简单计算题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11. 求抛物线y = x2 - x与直线y = x 3的交点。【正确答案】'_ 2解方程组y x -X y x 3得曲线y =x2 -x与直线y = x的交点是(3,6)和(-1,2)。【答案解析】 通过函数性质可知，求两个函数交点是将两个函数进行联立，然 后解方程组即为所求。参见教材 P169例题中有求交点步骤。【知识点】函数的图像和性质12. 求函数f (x)x_笃的间

8、断点。2(x-1)【正确答案】由题可知，函数在x =1处没有定义，故讨论其间断点类型。x - 3x - 3因为 Ximl2(R=Xim2(R所以，X=1为函数的第二类间断点。【答案解析】 求间断点，我们首先要做的是找到不在定义域内的点，然后再判 断其间断点类型。参见教材 P64。【知识点】间断点的类型13设函数y呻nx，求导数S。【正确答案】少=(e2x) garcsinx e2xg(arcsinx) dx2x2xe=2e garcsinx,1-x2=e2x(2arcsi n x +1 -).1-x2【答案解析】运用了导数的四则运算法则以及复合函数的链式求导法则。参见教材P78。【知识点】导数

9、的四则运算。14.求曲线y二直二1的水平渐近线。3x +1 n2【正确答案】因为lim f (x) = lim 2xx3x2 ln 22x2 x-1 4x+1=limx 6x2_ 32则根据定乂有，y = -为xr，的水平渐近线。3P110。【答案解析】 求渐近线有固定方法，所以要熟记渐近线定义。参见教材 【知识点】曲线的渐近线。n15.计算定积分I x100sinxdx-n【正确答案】令 f (x) x100gsin x因为 f(_x) _ -x100csi nx _ - f (x) 所以函数为奇函数且为连续函数a则由性质可知f (x)dx = 0-an所以，I 二x100 sinxdx=0

10、【答案解析】 该题因为被积函数有明显的特征性，所以考虑使用性质解题。参 见教材P160。【知 识 点】 定积分的基本性质。三、计算题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)216.求极限 lim 1 x J【正确答案】2 阿1 x)x 岂叫(1x)【答案解析】知识点i_x22=e考查两个重要极限。参见教材P56。 两个重要极限。17.设函数y二xe2x，求二阶导数雪。【正确答案】2x /二 e (1 2x)dy 2x 小 2xe 2xe d= 2e2x(1 2x) 2e2x =4e2x(1 x)dx【答案解析】求二阶导数需要先将一阶导数求出，再根据一阶导数求出二阶导 数。参见教材P86【知识点

11、】高阶导数。18.求极限lim-x e-21 cosx【正确答案】x-xe e -2x-xe e -2 limx j0 1 - cosx2P60、P96。【答案解析】 运用了等价无穷小替换以及洛必达法则。参见教材 【知识点】洛必达法则。X19. 设函数 F(x)=x.°sin tdt，求二阶导数 F''(x)。【正确答案】F(X)二 ° sintdt xLsin xF (x) =sin x sin x x cosx 二 2sin x x cosx【答案解析】本题难点在于变上限积分的求导。参见教材P152【知 识 点】 变上限积分及其导数公式。20. 求微分方

12、程 巴-八e3x的通解。dx【正确答案】由题可知，P(x) = 一1 , Q(x) =e'x 带入公式得y =e-| ：e3x|_e_dXdx - C=ex e2xdx C= exL-e2x C21 e3x Ce C2求出通解为ye3x V2【答案解析】观察题干可知该题微分方程类型属于一阶线性微分方程，故带入 一阶线性微分方程通解公式丫乂一呢皿 Q(x)eP(x)dxdx C即可。参见教材P143。【知 识 点】一阶线性微分方程。四、综合题(本大题共4小题，共25分)21. (本小题6分)某产品产量为Q时的边际成本为C'(Q) = 2Q + 2 (万元/吨)，固定成本10万 丿

13、元。(1) 求总成本函数C(Q)。(2) 若售价P=20-Q (万元/吨)，问产销平衡时，生产多少产品可获最大 利润？最大利润是多少？【正确答案】(1) 解：2C(Q)二 C'(Q)dQ = 2Q 2dQ g 2Q C因为固定成本为10万元所以总成本函数为C(QQ2 2Q 10(2) 解：由售价可知，总收益函数为 R(Q) =Q(20-Q) =20Q-Q2 所以，总利润函数为2 2 2L(Q)二R(Q)-C(Q) =20Q-Q -Q -2Q-10 =-2Q 18Q-10由一元二次函数性质可知 Q=4.5为函数最大值点，并且L(4.5)=30.5 所以可知生产4.5吨时可获最大利润，最大

14、利润为 30.5万元。【答案解析】(1)总成本函数求导即为边际成本，故我们已知边际成本后求积 分即可得到总成本函数。又因为总成本是固定成本加可变成本。参见教材P44、P112°( 2)总利润函数为总收益函数减去总成本函数。然后对总利润函数求最 大值即为最大利润，参见教材 P45。【知识点】由边际函数求总函数22. (本小题6分)设平面图形D是由曲线y=xex与直线x=1及x轴所围 成，如图所示。(1) 求D的面积A。(2) 求D绕x轴一周的旋转体体积Vx。【正确答案】(1) 解： 由图可知1 1 1 1 11A= 0 xexdx = xd®) =(xex - o exd =

15、 xex o -ex ° =1D的面积为1。(2) 解：由图可知1X 2Vx =二 o(xe ) dx二 12 2xoxd(e )2= 2_x11 2x0-p2xe dx二 1 2x-oxd(e )寸2码e2x二 2(e2 -1)4D绕x轴一周的旋转体体积为一(e2 -1)4【答案解析】(1)了解定积分的几何意义即可求解，参见教材P149°( 2)了解定积分求旋转体的体积即可求解，参见教材P170。【知 识 点】 定积分的几何意义。23. (本小题6分)求函数z=x2，5y2-3xy的极值。【正确答案】解：因为 f (x, y)二 x 5y -3xy所以 fx(x, y) =2x -3y， fy(x, y) =10y - 3x 令fx(x,y)"，解得驻点(0,0)fy(x, y) =0A 二 fxx(O,O) =2 , B 二 fxy(O,O) = -3 , C 二 fyy(O,O) =10 因为 B2 - AC =9 -2O 11 ：O 且 A O 所以f(O,O) =O是函数z的最小值题24图【答案解析】本题考查二元函