数学高考复习全解选修

1、导数的概念与运算1导数的概念：（1）设函数在及其附近有定义,当自变量x在x附近改变量为时，函数y相应地改变量，当时，比值叫做函数在区间（或的平均变化率，即=（2）如果当时，平均变化率趋近于一个常数，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个常数叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|即f（x）=说明：函数f（x）在点x处可导，是指时，趋近于一个常数否则，就说函数在点x处不可导，或说无导数是自变量x在x处的改变量，可正可负。但时，是函数值的改变量，可以是零（3）由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：求函数的增量=f（x+）f（x）；求平均变化率=；取极限，得导数f(

2、x)=2导数的几何意义：（1）函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是相应地，切线方程为yy=（xx）注意：“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不相同的，后者 必为切点，前者A未必是切点. （2）求曲线过某点的切线方程的方法：设切点,求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率,求得切线方程为；将点坐标代入求得的值，进而求出切线方程。3常见函数的导数公式：（）（C为常数）， (k，b为常数)（）（n为正整数），（）， （4） ，（5）， 4两

3、个函数的和、差、积、商的求导法则：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)。即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数。 即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数。法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方。 即：=（v0） 复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数 在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或 复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 复

4、合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 导数的应用1、利用导数判断函数的单调性：（1）设函数在某个开区间内可导，若总有，则在这个区间上为增函数；若总有，则在这个区间上为减函数。（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数的定义域区间；求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；把函数的间断点（即包括的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；确定在各小开区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小开区间内的增减性。注意：为增函数（为减函数）.在区间上是增函数在上恒成立；在区间上为减函数在上恒成立.2、利用导数求函数的极值

5、：（1）极大值： 已知函数，设是定义域内任意一点，如果对附近的所有点，都有，则称函数在点处取极大值.记作极大值，把称为函数的一个极大值点.（2）极小值：已知函数，设是定义域内任意一点，如果对附近的所有点，都有，则称函数在点处取极小值.记作极小值，把称为函数的一个极小值点.（3）极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值（4）注意以下几点：极值是一个局部概念由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小的.并不意味着它在函数的整个的定义域内是最大或最小的.函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间

6、上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（5）当在点连续时，判别是极大值或极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.（6）求可导函数的极值的步骤:确定函数的定义域区间，求导数； 求方程的根；用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方

7、程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .3、函数的最大（小）值：一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值（1）设是定义在区间上的函数，在内可导，求函数在区间上的最大值与最小值，可分两步进行：求在内的极值；将在各极值点的极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。（2）若函数在上单调递增，则为函数最小值，为函数最大值；若函数在上单调递减，则为函数最大值，为函数最小值。说明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最

8、小值如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数在闭区间上连续是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数极值可能不止一个，也可能没有一个.复数的概念及运算一、虚数单位1.定义：虚数单位i 规定为：（1）它的平方等于-1，即 =-1（2）实数和它进行四则运算时，原有的加法，乘法运算规律仍然成立。2. i的 幂的性质：二、复数的定义形如的数叫复数，其中叫实部，叫虚部, 当且仅当为实数复数 当且仅当为虚数 当且仅当为纯虚数当且仅当为零三、复数的表示方法1.代数

9、形式： 2.几何形式： 坐标表示:复平面内点 向量表示:平面向量复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系.点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.对于虚轴上的点除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.注：复数 对应 复平面内的点对应平面向量（实数与零向量对应）四、复数的代数运算：，其中 1.复数的加减法： 2.复数的乘法： 3.复数的除法：五、复数的性质1.两个复数若全是实数，则可以比较大小，若不全是实数，则不能比较大小。2.如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等。 且相等的向

10、量对应的复数相等。3.共轭复数 代数形式：与互为共轭复数几何特征：非零复数互为共轭复数对应点关于轴对称代数特征：；（纯虚数或零）；运算性质：；4.复数的模运算特征：； ；5复数的模可以比较大小： 设复数，则有6.若 ；是纯虚数且六、复数加减法的几何意义及应用1.几何意义：复数的加减法对应于向量加减法的平行四边形（三角形）法则2.应用：两点间的距离公式：其中复数 对应的点特殊曲线的复平面轨迹方程： 表示线段的垂直平分线。表示圆。 当时，表示椭圆； 当时，表示线段；当时，无轨迹 。当时，表示双曲线； 当时，表示两条射线；当时，无轨迹。推理与证明一、合情推理：包括归纳推理和类比推理根据一类事物的部分

11、对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳），归纳是从特殊到一般的过程，属于合情推理。归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想），归纳推理的条件与结论具有或然性关系。根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存

12、在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。二、演绎推理：推理的每一个步骤都是根据一般性命题推出特殊性命题的过程，这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。数学中常用的演绎推理规则：假言推理、三段论推理、传递性关系推理和完全归纳推理。三、直接证明与间接证明：1、综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的

13、性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。2、分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式： 要证明命题为真，只需要证明命题为真，从而有，这只需要证明命题为真，从而又有这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。3、反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证

14、明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的方法。即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。注意：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾在证明过程中，推出自相矛盾的结论。4、数学归纳法：对于由归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题，先证明当取第一个值时命题成立，然后假设时命题成立，证明时命题也成立。在完成这两个步骤以后，就可以断定命题从开始的所有自

15、然数都成立。上述证明中的第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。两者缺一不可。应特别注意第二步的证明中：“当时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用；“当时结论”则是求证的目标。注意：数学归纳法可以用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题、几何问题等。数列中的归纳-猜想-证明是对观察、分析、归纳、论证能力的综合考查，是连年高考的热点之一。常用逻辑用语复习要点：1.命题命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题常用小写的拉丁字母p，q，r，s，表示命题，故复合

16、命题有三种形式：pq；pq；p2.复合命题的真值“p”形式复合命题的真假可以用下表表示： pp真假假真“pq”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqpq真真真真假假假真假假假假“pq”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqpq真真真真假真假真真假假假注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“pq”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“pq”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容3.四种命题如

17、果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假4.条件一般地，如果已知pÞq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件可分为四类：（1）充分不必要条件，即pÞq,而qp

18、；(2)必要不充分条件，即pq,而qp；(3)既充分又必要条件，即pÞq，又有qÞp；(4)既不充分也不必要条件，即pq，又有qp一般地，如果既有pÞq，又有qÞp，就记作：pq.“”叫做等价符号pq表示pÞq且qÞp这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件判断方法：（1）定义法（2）传递法（3）包含法（4）等价法5.全称命题与存在性命题这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示含有全体量词的命题，叫做全称命题短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中

19、表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题椭圆方程及性质1（1）椭圆概念：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距若为椭圆上任意一点，则有（2）椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或 （）（焦点在y轴上）注：以上方程中的大小，其中；在和两个方程中都有的条件，要分清 焦点的位置，只要看和的分母的大小例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆2.椭圆的性质范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，

20、所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称所以，椭圆关于轴、轴和原点对称这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，且，即；

21、离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为3.椭圆的参数方程为参数 或 为参数双曲线方程及性质1.双曲线的概念：平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）（*）注意：（*）式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）；当时，表示两条射线；当时，不表示任何图形；两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距椭圆和双曲线比较：椭 圆双 曲 线定义方程焦点注意：如何有方程确定焦点的位置！2.双曲线的性质

22、范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧即，即双曲线在两条直线的外侧对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线

23、的虚半轴长渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线定义式：；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直注意以上几个性质与定义式彼此等价亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了抛物线方程及性质1.抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的

24、距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线方程叫做抛物线的标准方程注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；2.抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐

25、近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离直线与圆锥曲线的位置关系1点M与椭圆的位置关系：若，则点在椭圆上；若，则点在椭圆外；若，则点在椭圆内2直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究因为方程组解的个数与交点的个数是一样的直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注

26、意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件3直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac则弦长公式为：d=曲线方程1求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步 骤含 义说 明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点(2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系2、“列”：由限制条件，列出几何等式

27、写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简形式要注意同解变形5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设列代化”2.求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入

28、法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程定义法：对于给出的问题，当已知条件或者经过适当的变换适合某种曲线定义时，就可直接写出曲线的方程概率一、离散型随机变量的分布列1、随机变量：随机试验的结果用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母表示（1）离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值

29、，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量（2）连续型随机变量：如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量（3）若是随机变量，其中是常数，则也是随机变量2、离散型随机变量的分布列（1）概率分布（分布列）：设离散型随机变量可能取的值为取每一个值的概率，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列（2）性质：二、随机变量的均值与方差 （1）随机变量的均值；反映随机变量取值的平均水平（2）离散型随机变量的方差：；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度基本性质：；三、几种特殊的分布列（1）两点分步两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变量，来描述这个随机试验的结果如果甲结果发生的概率为，则乙结