反比例函数的图像和性质(第一课时)

1、反比例函数的图像与性质用课时教学目标1 .能用描点法画出反比例函数y=的图象.2 .能根据图象理解和掌握反比例函数y=的性质.3 .能运用反比例函数的性质解决有关问题.1 .经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程，获得研究函数性质的经验.2 .通过函数图象探究函数性质，进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.3 .经历知识的形成过程，了解从特殊到一般的认识过程，培养学生观察、探究、归纳及动手能力1 .经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动 ，获得研究问题和合作交流的方法与经验，体验数学活动中的探索性和创造性.2 .在数学学习过程中，体验与领悟数学发现的成功感，感受数学美，发现学习的

2、乐趣.教学重难点【重点】用描点法画反比例函数的图象；探索反比例函数的图象特点和性质【难点】探究反比例函数的图象特点和性质的过程.【教师准备】【学生准备】多媒体课件14.在练习本上画两个平面直角坐标系教学过程导入一：【课件1展示】校园内有一块矩形草坪面积为200 m2,它的长y(单位:G与宽x(单位:m)之间满足的函数关系是什么 ？当它的长y(单位：m增加时，它的宽x(单位:m)将怎样变化？【师生活动】学生思考回答，并观察该反比例函数中 y随x的增大而减小，教师引出课题.设计意图由生活实际情景导入新课，让学生体会生活中处处有数学，激发学生学习兴趣，同时通过观察， 思考问题中长y与宽x之间的关系彳

3、艮自然地由实际问题抽象出本课时学习重点之一的反比例函数图象的增 减性.导入二：【复习提问】(1)以前学习一次函数、二次函数时，是用什么思路和方法研究的 ？(先根据函数解析式画出函数的图象 ，然后观察、分析、归纳得到函数的性质)(2)一次函数、二次函数的图象分别是什么？(直线、抛物线)(3)请你说出一次函数、二次函数的性质是什么(一次函数增减性、图象所经过象限；二次函数图象开口方向、对称轴、增减性等)(4)画函数图象的基本步骤是什么 ？(列表、描点、连线)【导入语】我们可以类比研究一次函数、二次函数性质的方法来研究反比例函数的性质，如果可以，应先研究什么？设计意图通过复习画函数图象的基本步骤，为

4、本节课的学习做好铺垫，复习通过画函数图象来研究一次 函数、二次函数性质的方法，让学生用类比的方法自然地构建出新知识，降低本节课的学习难度.F新知构建过渡语这节课我们通过画反比例函数的图象来研究它的一般性质一、描点法画反比例函数图象画函数丫=与y=的图象.思路一教师引导，师生共同完成，同时展示画图象的过程.(1)自变量x的取值范围是什么？函数值y的取值范围是什么？(2)画函数图象时取哪些 x的值列表，使函数图象完整、准确？(师生共同完成列表)(3)在平面直角坐标系中描点.(4)如何用平滑的曲线连接各点 ？(5)从左到右连线时，图象与x轴、y轴有没有交点？为什么？教师强调连线时从左到右依次用平滑曲

5、线连接，由自变量X、函数值的取值范围可得函数图象与两坐标轴，坐标轴把图象分成两部分没有交点，故画反比例函数图象时与画一次函数、二次函数图象时不同设计意图通过师生合作，经历用描点法画函数图象的过程，培养学生动手操作能力，理解描点法画函数图 象的本质，经历知识的形成，进一步体会数形结合思想，通过课件展示画图的过程，直观形象，学生既感兴趣又 记忆深刻.思路二【任务】同桌合作，每人在课前准备的平面直角坐标系中画一个函数图象【师生活动】学生独立完成列表、描点、连线 ，画图后，小组合作交流，发现组内成员的画图错误，并帮助改正,教师在巡视过程中及时发现常见典型错误，进行汇总，在展示完整画图过程后展示典型画图

6、错误.【课件2展示】(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表 ：(教师强调冽表时取值不能太少，也不能只取正值)X-6-4-3-2-112346y=-1-1 . 5-2-3-66321. 51y=-2-3-4-6-12126432(2)描点.(教师强调寸苗点时横、纵坐标易混淆)(3)连线.(教师强调：连线时用平滑曲线，不能画成折线，因为自变量x不等于0,所以画函数图象时，不能将左 右两个图象连接起来)设计意图通过动手操作，让学生自己经历画反比例函数图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象 的基本步骤，培养学生动手操作能力，经历知识的形成过程.通过小组合作交流，培养学生合作精神，在讨论画 图

7、结果时互相纠错的过程中，加深了学生对画函数图象的理解和认识.二、反比例函数y=(k0)的性质过渡语通过函数图象可以得到函数的有关性质，让我们一起观察所画的函数图象有哪些性质吧思路一观察教材图26.1 - 2的函数图象，学生在教师的引导下思考回答：(1)你能描述反比例函数图象的形状吗？(教师给出双曲线定义)( 2) 反比例函数图象无限延伸后与x 轴、 y 轴有公共点吗? 与函数解析式之间有什么关系 ?(因为自变量x、函数值y不能等于0,所以函数图象与x轴、y轴没有交点)(3)函数图象在哪个象限内？该图象关于原点 。对称吗？(在第一、第三象限，关于原点。对称)(4)观察函数图象 ,当 x0 时呢

8、?你能根据函数解析式说明理由吗?(当 x0 时,随着 x 的增大 ,y 也减小 )( 5)对于反比例函数y=(m0), 以上结论还成立吗?【师生活动】 学生在教师设计的问题下边思考边回答,教师提示学生可以通过表格和图象两个方面思考解决问题,对回答有困难的问题, 教师要给学生足够的时间思考、交流. 设计意图 将探究函数的性质设计成问题的形式, 使学生在探究过程中有方向和目的 , 降低学习新知识的难度,同时进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的研究方法.【共同总结(课件3 展示 ) 】( 1)反比例函数y=(k0) 的图象是双曲线;( 2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;( 3)在每个象限内

9、,y 随着 x 的增大而减小;(4)两支双曲线向两边无限延伸 ,与坐标轴没有交点 ;( 5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称.思路二类比以前研究的一次函数、 二次函数的性质的方法,根据所列表格、函数解析式、 所画函数图象 ,你能得到哪些结论 ?看看哪个小组得到的正确结论最多 .【师生活动】 学生观察函数图象后先独立思考,再小组合作交流,然后学生展示,教师在巡视过程中及时帮助有困难的学生,发现学生思考片面时,可以及时提醒学生从图象形状、 增减性、 对称性等多个角度观察思考 , 学生展示后, 教师点评 ,师生共同归纳函数的性质.【共同总结】 (板书)( 1)反比例函数y=(k0) 的图象是双曲线;

10、( 2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;( 3)在每个象限内 ,y 随着 x 的增大而减小;( 4)双曲线两支向两边无限延伸 ,与坐标轴没有交点 ;( 5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称. 设计意图 通过小组合作交流, 归纳反比例函数的性质, 学生之间的合作交流, 培养了学生合作精神 ,同时提高分析问题的能力 . 类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结, 让学生体会数学中重要的学习方法类比法 , 同时进一步体会数形结合思想是学习数学最常用的思想方法之一.三、反比例函数y=(k0)的图象与性质【导入语】 回顾以上探究过程，你能用同样的方法探究函数y=(k0)的图象与性质吗？【师生活动】学生

11、在刚才的平面直角坐标系中画函数y=-与y=-的图象.观察函数图象，小组合作交流归纳反比例函数y=(k0)的性质.教师巡视过程中帮助学习有困难的学生，引导学生归纳反比例函数的性质【共同归纳】(1)反比例函数y=(k0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内7随*的增大而减小；(2)当k0)(4)你能确定函数图象的位置吗 ？(由k2+10得函数图象在第一、三象 限)(5)自变量x的取值范围是什么？(自变量x的取值范围是 计0)故选D若点(-2,yi),(-1加,(1皿在反比区J函数丫=的图象上，则下列结论中正确的是()a. yiy2y3B.y 2yiy3C.y 3yiy2D.y 3y2

12、yi解析(i)已知三点的横、纵坐标分别是什么？(2)函数值yi,y2,y3与已知点的横坐标有什么关系？(点的横坐标和纵坐标满足函数解析式)(3)已知函数解析式和自变量的值，怎样求出对应的函数值？(把点的横坐标代入函数解析式求出对应的函数值)(4)你能分别求出yi,y2,y3的值吗？三者的大小关系是什么？(把xi=-2 ,X2=-i,X3=i分别代入函数解析式求出yi,y2,y3)(5)反比例函数y=的图象及增减性是怎样的？(反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小)(6)你能根据函数增减性判断yi,y2,y3的大小关系吗？(第三象限图象上的点的纵坐标小于0,且y随x的增大

13、而减小；第一象限图象上的点的纵坐标大于0)【师生活动】学生独立思考，并回答问题，教师及时点评，然后归纳两种比较函数值大小的方法.解法i:把三个点的横坐标分别代入y=,得 yi= ,y2=-i ,y3=i, - y3yiy2 .故选 C.解法2：可以看出点(-2,yi),(-i ,y2)在同一象限，k=i0, ,在每个象限内,y随x的增大而减小，-2-i0 , ：y2 V yi0,: y30, : y3yiy2 .故选 C.设计意图通过例题加深学生对反比例函数的图象和性质的理解与掌握，体会运用数形结合思想解决函数问题的方法和技巧，提高学生分析问题、解决问题的能力.例2中用不同思路解决问题，培养学

14、生多角度思考问题的能力.知识拓展(i)反比例函数的图象是双曲线，它有两支，它的两个分支是断开的.(2)当k0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k0时，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，但 不能笼统地说：当k0时,y随着x的增大而减小.同样，当k0时，在每一个象限内，y随着x的增大而增大，也 不能笼统地说：当k0时，图象经过第一、 第三象限当k0时，图象位于第一、第 三象限当k0时,y随x的增大而增大当k0时在每一象限内,y 遁x的增大而减小当k0时，函数y=-的图象在()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析：二反比例函数y=-中,k=-50时，函数的图象位于第四象限

15、故选A2 .对于反比例函数y=，下列说法正确的是()A.图象经过点(1,-3)B.图象在第二、四象限C.x0时,y随x的增大而增大D.x0,： x0时,y随x的增大而减小，故C错误;. k0, . x0时,y随x的增大而减小，故D正确.故选D.3 .反比例函数丫=的图象如图所示，以下结论：常数m-1 ;在每个象限内，y随x的增大而增大；若A(-1,h),B(2,k)在图象上，则h0,所以错误;观察图象可得，在每个象限内，丫随*的增大而减小，所以 错误；当x=-1时,y=h0,所以hk,所以正确;反比例函数图象关于原点成中心对称 ，所以点 P(x,y)关于原点的对称点为 P(-x,-y),所以正

16、确.故选C4 .设有反比例函数 y=,(xi y),(x2,y2)为其图象上两点，若xi0y2,则k的取值范围是解析：因为xi0y2,所以双曲线在第二、四象限，则k+20,解彳导k-2 .故填k-2.5 .已知反比例函数y=(m2).(1)求m的彳1;(2)它的图象位于哪些象限？(3)当0x02时，求函数值y的取值范围. 一一 2解:(1)依题意可得m-5=-1，且m2，0,解彳导m=-2.:当m=-2时，函数y=(m2)是反比例函数.(2)当n=-2时,代入函数解析式可得 y=-.k=-40, .,它的图象位于第二、第四象限(3) ,反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，且wxW2

17、,.-8 y0)的性质3 .反比例函数y=(k1,则 0y24.如图所示的是反比例函数y=（k为常数，k，0）的图象，则一次函数y=kx-k的图象大致是5 . （2015 淮安中考）若点p（-1 ,2）在反比区J函数丫=的图象上，则k=6 .已知反比例函数y=（k是常数，k，0）,在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，那么这 个反比例函数的解析式是 .（只需写一个）7 .已知y=（m+1）是反比例函数，若其图象位于第二、四象限，则m的值是8.若反比例函数y=(k=羹)9.已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数 y=(k，0)的图象都经过点 A(a,2).(1)求a的值及反比例函数的表达式；(2)判断点B是否在该反比例函数的图象上，请说明理由.【能力提升】10 .已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数 y=的图象相交，其中有一个交点横坐标是 2,则k的值是.11 .如图所示，菱形OABCJ顶点C的坐标为(3,4)，顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=(x0)的图象经过顶 点B,则k的值为.12 .已知反比例函数y=(m为常数)的图象在第一、三象限.(1)求m的取值范围；(2)如图所示，若该反比例函数的图象经过 ？ABODJ顶点D,点AB的坐标分别为(0,