圆锥曲线解题的七种题型和八种方法

1、解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法(点参数、 K参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型(1)中点弦问题(2)焦点三角形问题(3)直线与圆锥曲线位置关系问题(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题(5)求曲线的方程问题1 .曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。2 .曲线的形状未知-求轨迹方程(6)存在两点关于直线对称问题(7)两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中，n+r2=2a。第二定义中，ri=edi r2=ed2。(2)双

2、曲线有两种定义。第一定义中，r1 - r2 =2a,当ri>r2时，注意2的最小值为c-a：第二定义中，ri=edi,2=ed2,尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准 线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用 定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不 要忽视判别式的作用。3、设而不求法解析几何的运算

3、中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法"，即设弦的两个端点 A(x i,yi),B(x 2,y2),弦AB中点为M(xo,yo),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不 求”法，具体有：22(1) 二+冬 =1(a >b A 0)与直线相交于 A、B,设弦 AB中点为 M(Xo,yo),则有 a b与+空卜=0。(其中K是直线AB的斜率) a b22x y(2) 三%=1(a >0,b A0)与直线l相父于

4、A、B,设弦AB中点为M(xo,yo)则有 a bxT 当卜=0(其中K是直线AB的斜率) a b(3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y。),则有 2yok=2p,即 yOk=p.(其中K是直线AB的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为,则Vl+k2 -一，若直接用结论，能减少配方、开|a|方等运算过程。5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来2 / 34考虑问题，在解题时要充分

5、利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。如"2x+y”,令2x+y=b,则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令Jx2 +y2 =d ,则d表示点P (x, y)到原点的距离；又如" ±13”，令上:另二口则kx 2 x 2表示点P (x、y)与点A (-2, 3)这两点连线的斜率6、参数法(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点” )，以此点为参数，依次求出其他 相关量，再列式求解。如 x轴上一动点P,常设P (t, 0);直线x-2y+1=

6、0上一动点P。除设P (xi,yi)外，也可直接设 P (2yi-1,y 1)(2)斜率为参数当直线过某一定点 P(x0,y0)时，常设此直线为 y-y0=k(x-x 0),即以k为参数，再按命题 要求依次列式求解等。(3)角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求(或求证)目标Q',方法1是将条件Pi代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件P1, 方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度

7、，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法、定义法【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4 V2 )与到准线的距离和最小，则点P的坐标为(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为。分析：(1) A在抛物线外，如图，连 PF,则PH = PF ,因而易发现，H Q /QH«人P当A、P、F三点共线时，距离和最小。P一2 2) B在抛物线内，如图，作 QRH交于R,则当B、Q、R三点共线时，距离和最 小。解：(1) (2, <2 )连PF,当A、P、F三点共线时， AP + PH = AP

8、+ PF最小，此时 AF的方程为丫 =422 0(一 即 双(x-i)，代入 y2=4x 得 P(2,2 J2 ),(注：另一交点为 J ,J2),3 -12它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)1 ,2 2) (,1)4过Q作QRL 交于R,当B、Q、R三点共线时，BQ+|QF| =| BQ+|QR最小，此时 Q1 1点的纵坐标为1，代入y =4x得x= , Q( ,1) 44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。2 2P为椭圆y1AP H-F 0 F )例2、F是椭圆x_+_y_ =1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点,43上一动点。(1) P

9、A +|PF|的最小值为(2) PA +2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF'或准线作出来考虑问题。解：(1) 4- <15设另一焦点为F',则F'(-1,0)连AF',PF'PA +|PF|=|PA + 2a PF' =2a(PF ' PA)至 2a AF' =475当P是F 'A的延长线与椭圆的交点时，PA +|PF取得最小值为4- V5。1(2)作出右准线 l,作 PH _L l 父于 H ,因 a =4, b =3, c =1a=2, c=1 , e=_ ,2. PF =1PH，

10、即2PF| = PHPA +2 PF =|PA +|PH2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为 a-_xA=4_1 = 3Ac例3、动圆M与圆Ci：(x+1)2+y2=36内切，与圆C2：(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的 轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M、C共线，B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半 径”(如图中的MC = MD )。解：如图，MC = MD. AC - MA =|MB - DB即6 - MA =|MB -2MA + MB =8(*)22x y点M的轨迹为椭圆，2a=8, a=4, c=1

11、, b2=15轨迹方程为 +工=1 1615点评：得到方程(*)后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出J(x+1)2 +y2 +G(x 1)2 +y2 =4,再移项，平方，相当于将椭圆标准 方程推导了一遍，较繁琐！例 4、AABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 3 sinA,求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R ( R为外接圆半径) 可转化为边长的关系。解：sinC-sinB= 3 sinA 2RsinC-2RsinB= 3 - 2RsinA 553AB AC =- BC 5即

12、 AB - AC =6(*).点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)-2a=6, 2c=10a=3, c=5,b=422所求轨迹方程为 -=1(x>3)916点评：要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)6 / 34例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M ,求点M到x轴 的最短距离。分析：(1)可直接利用抛物线设点，如设A(Xi,xi2), B(x2, X22),又设AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出yo关于xo的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。想到用定义法。(2) M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到

13、准线的距离,解法一：设 A(xi, xi2), B(x2, x22), AB 中点 M(xo, yo)7xi x2)2 十(xi2 x；)2 =9 则仅+x2 =2x。22xix2 = 2y0由得(xi-x2)21+(x 1+x2)2=9即(xi+x2)2-4xix2 1+(x i+x2)2=9 由、得 2xix2=(2xo)2-2yo=4xo2-2yo代入得(2xo)2-(8xo2-4yo) 1+(2xo)2=9 ,9一 4yo -4xo =2，1 4x°i) 29- -i4xo 1,29, , 24 yo 4xo '2 = (4x04xo2、9-1=5, y°.

14、9. 25. 2 5当 4x02+1=3 即 x0=± 时，(yo)min =此时 M (士，一)242 4M2R法二：如图，2 MM 2=aa2 +bb2|=|af| + |bf| |ab| = 3A； MM 23>-一25，一，MM1,当AB经过焦点F时取得最小值。45.M到x轴的最短距离为 -4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消Xi, X2,从而形成yo关于xo的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M至ij x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三

15、边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】例6、已知椭圆22十一y =1(2 <m<5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线m m 7从左到右依次交于 A、B、C、D、设f(m)=|IAB-CDI分析：此题初看很复杂，对A在准线上，B在椭圆上，同样“投影”到x轴上，立即可得防,(1)求 f(m), (2)求 f(m)的最值。f(m)的结构不知如何运算，因 A、B来源于“不同系统”C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段f (m) =

16、(xb -xa)亚-(xd -xc)炎卜 V2|(xb -xa) -(xd -Xc)|2 (xb xc ) -(xa xd2(Xb Xc天1/ BA0 F2此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。18 / 3422解：(1)椭圆+ =1 中，a2=m , b2=m-1 , c2=1,左焦点 Fi(-1,0)m m -1则 BC:y=x+1，代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-i)=0得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m 2=0设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x+x2=- 2m (2 < m < 5)2m-1f (m)

17、 = AB-CD = 2KxB - xA) - (xD - xc )二2(x1 x2) -(xaxc) = 2 X x2S嘲17一, 一10.2. .当"5时""7当m=2时,f (m) max4.23点评：此题因最终需求xb +xc,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设 BC中点为M(xo,yo),通过将B、C坐标代入作差，得x0y0一 十 k = 0 ,将 y0=x0+1, k=1 代入得m m 72m2m -1迎 x一- = 0 , x0 = 一m,可见 xB + xC = m m -12m -1当然，解本题的关键在于对f (m) =|AB - CD|的

18、认识，通过线段在 x轴的“投影”发现f (m) =|xB +xC是解此题的要点。三、点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次 方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。1.以定点为中点的弦所在直线的方程22例1、过椭圆 上工=1内一点M (2,1)引一条弦

19、，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线164的方程。解：设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2)； M (2,1)为 AB 的中点 二 x1+x2=4y+y2=22.22.2A、B两点在椭圆上，则 x +4y =16, x? +4y2 =16, 22、.，22、 一两式相减得(为-x2 ) 4(y1 - y2 ) -0于是(x1 x2)(x1 -x2)4(y1 y2)(y1 - y2)= 0y1 -y2X =241， ， ， X -x24(y1 y2)4 221. . ,. . _.1 .即kAB故所求直线的方程为 y-1 = -(x-2),即x + 2y4 = 0。2例2、已知

20、双曲线x2 -4 =1 ,经过点M (1,1)能否作一条直线l ,使l与双曲线交于 A、B ,且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l ,求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点 M平分的弦AB ,且A(x1，y。、B(x2,y2)贝U x1x2 =22 x222 y1.x1 - =1 ,2两式相减，得y1 - y2 o二 2x1 -'x21 ，函 x2)(x1 -x2) -(y1 y2)(y1一y2)=okAB2故直线 AB: y -1 =2(x

21、1)、-1 =2(x1)2 y2 消去 y ,得2x24x+3=o x 二12，、2一一 一 一-： = (-4)-4 23= -8：二 o这说明直线 AB与双曲线不相交，故被点 M平分的弦不存在，即不存在这样的直线评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的 M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点 M平分的弦一般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点 M平分的弦可能不存在。2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹221例3、已知椭圆 匕十二=1的一条弦的斜率为 3,它与直线x=的交点恰为这条弦的中点75 252M ,求点M的

22、坐标。解：设弦端点P(x1,y1)、1Q(x2, y2),弦 PQ 的中点 M (xo,yo)，则 =万x1，x2 =2x0 = 1 )yi y2 = 2 y022红豆=17525即 2yo(yi - y2) 3(x1 -x?) = 0y1 一 y2xx22yok=y=3x1 - x22yo二点M的坐标为2)。22又江+- =1,7525两式相减得 25( y1y2)( y1 - y2 ) 75(x1x2)( X1 - x2) = 0y x例4、已知椭圆 二十=1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹万程。75 25解：设弦端点P(x1，yJ、Q(x2,y2),弦PQ的中点M (x, y),则x1 +

23、 x2 = 2x ,y1 y2 =2y2222上+巳=1,且+2=1 75257525两式相减得 25(y1y2)(y1 - y2) 75(x1 x2)(x1 -x2) = 0即 y(yi y2) +3x(x1 x2) = 0 ,yi - y即112x1 x23xk =y_»=3x - x23x注=3,即 x + y = 0y由x*y0 彳曰 p( 5M 5d3 5d3 由 <y , x ，倚 p(，丁)Q(丁 二12227525丁点M在椭圆内:它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x y = 0(-5.3:x :-222例1已知椭圆 人+y2 =1 ,求斜率为2的平行弦中点的轨迹方

24、程 2解 设弦的两个端点分别为 P(x1, y1 ),Q(x2,y2 r PQ的中点为M (x, y).则父+ y12=1, (1) x-+y22=1, (2) 22(1)-(2 擀： x-+(y； -y： )=0,二 土十11二+ y2 )=0. 224一x2一y y。又 x1 +x2 =2x, y1 +y2 =2y, - = 2 ,x + 4y = 0 .x1 - x2弦中点轨迹在已知椭圆内，二所求弦中点的轨迹方程为 x +4y = 0 (在已知椭圆内)2例2 直线l : ax - y -( a +5 ) = 0 (a是参数)与抛物线 f : y = ( x+1)的相交弦是AB ,则弦 A

25、B的中点轨迹方程是 .解设人区，%> B3)，AB中点M (x, y ),则xI + x2 = 2x .y 5 l : a(x-1 )(y+5 )=0,l 过定点 N (1,-5kAB = kMN .x -122又 y1 =(x1 +1) , (1) y2 =也 +1 ),22(1)-(2 弼:5-y =(Xi +1) "2+1)=(x -X2 J X1 + X2 +2),kAB = y1 -y2 = X1 X22.X1 -'X2一 i V 5r 一2于是=2乂+2,即丫=2* -7 .x -1;弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为 y =2x2 -7 (在

26、已知抛物 线内).3.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,d'50)的椭圆被直线l:y = 3x-2截得的弦的中点的1横坐标为1,求椭圆的方程。222解：设椭圆的方程为 4 +之=1 ,则a2 -b2 =50 -一a b设弦端点 P(X1，y1)、Q(X27 y2)弦 PQ 的中点 M (Xq, yo),则1 1_/八 xo= 2 ,y0=3xo2 =一万X1X2= 2xo= 1 , y1 + y2=2y0 = 72 222又*+、=1,与+与=1 2222a b a b两式相减得 b2( y1 y2)(y1 - y2) a2(x1 x2)(x1 - x

27、2) = 0即一 b2(y1 y2) a2(x1 x2) =022V1 、2 _ a_a22x1 - x2bb联立解得a2 =75, b2 =2522_(，、一 y x二所求椭圆的方程是,十=175 25例3已知 MBC的三个顶点都在抛物线 y2 =32x上，其中A(2,8 ),且 MBC的重心G是抛物线的焦点，求直线 BC的方程.解 由已知抛物线方程得 G(8,0 ).设BC的中点为M (x0,y0 ),则A G、M三点共线，且AG = 2 GM，-G分TM所成比为2 ,于2 2x01 28 2y°1247 / 34X 111V。-设 B(K,y1 )C(X2,y2),则 yI +

28、y2 = 8.又 y12 =32x1, (1) y22=32x2, (2)= 32(x1 x?)，二 kBcy1 - y232X - x2y1y2:4.-80.BC所在直线方程为 y+4 = -4(x-11),即4x + y4022例4已知椭圆3?+3?=1(aAbA0 )的一条准线方程是 x = 1 ,有一条倾斜角为 a b1 1,求椭圆方程.直线交椭圆于 A B两点，若AB的中点为C -1,1 I2,4解设A(斗，y1B(x2,y2 ),则 x1 +x2,1=T,y1 丫2 =二22 x1 -2 a2+ -yL = 12b2 义 2 a2V2+ 勺=1 , (2)(1)-(2 四2 x12

29、一 x222y 一、2b2,2y1 - y2bx1x2x1 - x2a2 V1V2bj2 a-112y1 - y2-x22b22a22b , (3)2, .a =c,(4)而a2.22=b +c ， (5)由(3), (4), (5)可得 a21 .22b1-， 一一,所求椭圆方程为4b24.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题22例6、已知椭圆 勺+匕=1 ,试确定的m取值范围，使得对于直线 y=4x + m,椭圆上总 43有不同的两点关于该直线对称。解：设Pi(xi，yi) , P2(X2,y2)为椭圆上关于直线 y=4x + m的对称两点，P(x,y)为弦RP?的中点，则 3x12+4y12

30、 =12 , 3x22+4y22=122222、两式相减得，3(x1 -x2 ) 4(y1 -丫2 ) = 0即 3(x1 x2)(x1 -x2) 4(y1 y2)(y1 一 y2) =0y1 - 丫21: x1 +x2 =2x , y1 + y2 =2y,=x1 - x24，y =3x这就是弦R B中点P轨迹方程。它与直线y=4x+m的交点必须在椭圆内3 c则必须满足y2 <3-x2, 4联立，得;m y=4x + mj = _3m2.132 13:m 131339即(3m) <3-m ,解得45. 求直线的斜率x2y29一 例5已知椭圆'=1上不同的三点A x1, y1

31、 ,B . 4,- ,C x2, y2与焦点2595F (4,0 )的距离成等差数列.(1)求证：为+x2 = 8 ； (2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T ,求直线BT的斜率k.(1)证略.(2)解'；x1 +x2 =8,.设线段AC的中点为D(4,yo又A、C在椭圆上，.y- =1 , (1) x2-十七一=1,(2) 259259(1)-(2 碍:22x1-x222y1 -y225y1 _ y29 X X29 836=- = - =-X1 -'X225 yi y2 I 25 2y025 yo一，25y° 25y0二直线DT的斜率kDT = ，二直线DT的

32、方程为y y0 = -(x-43636人664令 y =0,得 x = ？4, 25即 T 65,09-0，二直线BT的斜率k = -5/ 644一256.确定参数的范围例6 若抛物线C : y2 = x上存在不同的两点关于直线 l : y = m(x-3)对称，求实数m的取值范围解当m=0时，显然满足当m¥0时，设抛物线C上关于直线l:y = m(x-3)对称的两点分别为22P(x1，yi 卜 Q(x2,y2 ),且 PQ 的中点为 M (x°, y° ),则 y =x1，(1)y? = x?, (2)22,yi _ y21(1 )(2 %导：y1 - y2 =

33、 x1 X2 ,，kpQ =x - x2y1 y2p 1m又 kpQ = yO-m2; 中点 M (x0 ,y0 底直线 l : y = m(x 3 )上，y0 =m(x0 -3 ),于x0中点在抛物线y2 = x区域内2f m'25M/. y0 <x0,即叫 < -,解得一屈< m <屈.I 2 J 2综上可知，所求实数 m的取值范围是(_标,而).7.证明定值问题22例7已知AB是椭圆xF+yT=1(a >b>0 )不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的 a b中点，O为椭圆的中心.求证：直线 AB和直线OP的斜率之积是定值证明设 A(x1, y1

34、 B(x2,y2 )且 #x2,2 x2 (i) F a22则Wi,a b2V2,+ 0 =i, (2)b2Xi22yi- y22-x2-2ay1 1y2x1 一 x2 2bxix2-2ayiy2yi ry2x1 _ X2,2bKx2-2ayiy2又 kop= j， xix2b2a-,二 kABkOP段(定值).a8.其它。看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。>0),作两条直线分别交抛物例 9,过抛物线 y2 = 2 px( p >0)上一定点 P ( X。，y。)( y。 线于 A ( xi, yi), b ( X2, y2),(i)求该抛物线上纵坐标为 p-的点到其焦点

35、F的距离；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y 的值，并证明直线 ab的斜y。率是非零常数.解(i)略(2):设 A (yi2,yi) ,B(y22,y2),则kAB= y2 _ yi2y2- yiy2yi“ _ 必 一 y。- kPA= 22y1 一 y。y1-*pby。V2 70y2 v。由题意，kAB=-k AC,yi y。 y2y。，则 yi + y2 = 2y°则：kAB=i 为定值。2y。例10、(1)(2)求证：直线与抛物线总有两个不同交点设直线与抛物线的交点为 A、B,且OALOB,求p关于t的函数f的表达式。(1)证明：抛物线的准线为由直线x+y=t与x

36、轴的交点(t,。)在准线右边，得故直线与抛物线总有两个交点。（2）解：设点 A（xi, yi）,点 B（X2, y2）QOA _ OB . koAkoB = -1【同步练习】1、已知：Fl, F2是双曲线4=1的左、右焦点，过 Fi作直线交双曲线左支于点a bA、B,若 AB = m, 4ABF2 的周长为（）A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点P到点F（4,0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是（ ）A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x3、已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且 AB > AC ,

37、点B、C的坐标分别为（-1, 0）, （1, 0）,则顶点A的轨迹方程是（）A、=12xB、 一42y=1(x 0)322xyC、+ =1(x <0)432_ xD、一44、过原点的椭圆的一个焦点为F(1, 0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是A、（x-1）2 + y2 =9（x#1）-2，1、29, 八C、x +（y-）=在¥1）/1 22 9 /B、（X+万）+v =4（x#-1）一 2 ,1、2 9,、D、X +（y+-） =4（x#_1）5、x2已知双曲线92=1上一点16M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是6、抛物线y=2x2截一组余率为2的平行直线，所得弦中

38、点的轨迹方程是 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2, 0),则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则 k=2210、设点P是椭圆 + =1上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求 sin/FPF2的259最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距 离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M为(-2,1), AB =4/3 , 求直线l的方程和椭圆方程。12、已知直线l和双曲线222,2a b=1(a &

39、gt; 0,b > 0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、Do 求证：AB = CD。参考答案1、CAF2 - AF1| =2a, BF2 - BF1| =2a ,AF2|+|BF2 AB =4a, AF2|+|BF2 +|AB=4a+2m,选 C2、C 点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为 y2=16x,选 C3、D. AB + AC| =2父2,且 AB >|ACC三点不共线，即yw0,故选Do,点A的轨迹为椭圆在 y轴右方的部分、又 A、B、4、A设中心为(x, v),则另一焦点为(2x-1 ,2y),则原点到两焦点距离和为4得 1

40、+J(2x1)2 +(2y)2 =4, (x-1)2 +y2又c<a,.'. . (x -1)2 y2 : 2 .(x-1)2+y2<4 ，由，得 xw-1,选 A5、离为ed299 9一 左准线为x=- , M到左准线距离为 d =4-()3555 29 2929.则M到左焦点的距56、3 531,1、x = (y > )设弦为 AB, A(x1 , y1)，B(x2, y2)AB2中点为(x, y),则 yi=2xi ,y2=2x2 ， yi-y2=2(xi -x2 )丫1-丫21-1.21,、=2(x1 + x2)2=2 - 2x, x = 将 x =代入 y=

41、2x 得 y =,轨迹 x1 -x2222、11方程x (y>)22设 A(x1，y1), B(x2, y2), AB 中点 M(x, y),则7、y2=x+2(x>2)2222y1 - y2小 =2x1，y2 =2x2,y1 一y =2(x1一x2), (y1 yz)=2x1 - x2kAB = kiMP =y- 2y = 2 ,即 y2=x+2 x 2 x 2又弦中点在已知抛物线内P,即y2<2x,即x+2<2x,x>28、4 a2 =b2 =4,c2 =8, c = 2j5,令 x = 2后代入方程得 8-y2=4 . y2=4 , y=±2,弦长

42、为49、±'2或 ±1 y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0J k2 #0,° oLo得 4k2+8(1-k2)=0, k=± 72 1«2=0得卜=±1& =010、解：a2=25, b2=9, c2=16设 Fi、F2 为左、右焦点，则 Fi(-4, 0)F2(4, 0)设 PFi =1,PF2|=r2,'弟”则，1 +r2 =2 日r12 +r22 -2r1r2 cos日=(2c)22-得 2门r2(1+cos 0 )=4b24b22b21

43、+cos 0 =2 r1r2r1r2.1 +2 之 212 ,r1r2的最大值为a21+cos 0的最小值为 空一，即1+cos 0之18a2257-7.： 一cose之一,0 <0 <n -arccos则当日=一时，sin。取值得取大值1,25252即sin / F1PF2的最大值为1。22 x y11、设椭圆方程为 T .七二1(a b 0)a b2由题意：C、2C、"ai + c成等差数c列,2a22 .4c=c+c即a =2c , c.a2=2(a2-b2),，a2=2b222椭圆方程为-x + yy =1 ,设 A(x1，Yi), B(X2, y2) 2b2 b

44、22Xi2b2X22b2=12222-得Xi+ y1 t =o+与卜=0 即三+k=。k=i2bb2bb2直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3 ,代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3) 2-2b2=0-3x2+12x+18-2b2=0,1 1;5t rAB = x1 -x2 <1+1 =-j122 12(18_2b2)T2 =4j3 3 '22解得b2=12,椭圆方程为 + =1 ,直线l方程为x-y+3=0241212、证明：设 A(x1, y1)，D(x2, y2), AD中点为M（x。，y。）直线I的斜率为k,则2-=1b221212x1%TT

45、ab1212x2y2 ,2 ab=00-得2x；C 12y02.2a b由、知M、M'均在直线I'：2x乌 a2 b2若I过原点，则B、C重合于原点，命题成立k = 0上，而m、M '又在直线I上，若I与x轴垂直，则由对称性知命题2x0 2y0-得1°-T°a2b2B(x；, y；),C(x2y2), BC中点为 M '(x0, y0),成立若I不过原点且与x轴不垂直，则 M与M '重合AB = CD四、弦长公式法 若直线l : y = kx+b与圆锥曲线相交与 A、B两点，A (x1, y1), B(x2, 丫2)则弦长 AB =

46、. (Xi - X2)2 (yi - y2)2=(% _ x2)2 kx1 b - (kx， b)2=W1 + k I x1 x2=v-1 +k2J(x1 +x2)2 -4x1x2 同理：1AB|= 1 ： -2 1y2 - yi | . ( y2 yi) - 4y2yi k特殊的，在如果直线 AB经过抛物线的焦点，则|AB|=?一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为4,则ji+k2 E,若直接用结论，能减少配方、开方等运算过|a|程。例 求直线被椭圆所截得白线段AB的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆

47、锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。2例题i :已知直线y =x +i与双曲线C : x2 - =i交于A、B两点，求AB的弦长4解：设 A (xi, yi), B(x2, y2)y=x 12222由1 2 得 4x (x+1) 4=0 得 3x 2x5 = 0x2 -=14xi + x2 - -得,则有35xix2 二 一一3AB "中，xi+xj-4xix2*R4Y=|Jx 21练习1:已知椭圆方程为 + y =1与直线方程l：y = x+相交于A、B两点，求AB的 22弦长练习2:设抛物线y2 =4x截直线y = 2x+

48、m所得的弦长AB长为3、'5 ,求m的值分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 A (x1, y1), B(x2, y2)y =x联立方程221+ 2 得 6x2+4x-3 = 0x1x22:3-二 AB=1 k2 , (x1 x2)2 -4x1x2= &(-2)2 -4x(-)=:322.11解：设 A (x1, y1), B(x2, y2)y =4xcc得 4x +(4m 4)x + m =0 y =2x + mXiX1 x2x2 =1 - m2m丁 AB=1 k2 v (x1 x2)2 - 4x1x2 = 5 (1 - m)2 - m2 =

49、35例题2 ：已知抛物线y = -x2AB分析：A、B两点关于直线x + y.m - -4+ 3上存在关于直线x+y=0对称相异的两点A B,求弦长=0对称，则直线AB的斜率与已知直线斜率的积为 -1且AB的中点在已知直线上解：丫 A、B关于l : x + y =0对称kAB = 1ki kAB - -1ki - -1设直线 AB 的方程为 y=x+b , A (x1, y1), B(x2, y2)化简得x2 x b -3 -0J =xx1x2 - -111，,AB中点M (-,十b)在直线x + y =0上22. x2 x - 2 = 0x-x2 = -1- 222、(-1)2 8 =3、，

50、2AB = 1 k2 1(x1 x2)2 -4x1x2/、结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点T联立方程T消元T韦达定理T弦长公式作业:(1)过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为 口的直线交抛物线于A, B两点，且(2)已知椭圆方程+ y2 =1及点B(0,-2),过左焦点Fi与B的直线交椭圆于C、D两点,F2为椭圆的右焦点，求 ACDF2的面积。AB点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注：可令根式内为t消元【典型例题】 五、数形结合法例1：已知P(a,b)是直线x+2y-l=0上任一点，求S=；a2 +b2+4a 6b +13的最小值。分析：由此根式结构联想到距离公式, 解：S=f(a+2)2 +(b3)2 设 Q(-2,3), 则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离.Q | -2 2 3 -1| 3 5, Smin -二后，它是一个一元二次函数)例2:已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上一动点，求_y的最值。解：设o(0, 0),则Y表示直线op的斜率，由图可知，当直线 op与圆相切时, x得最值，设最值为 k,则切线:y=kx,即 kx-y=0圆(x-3) 2+(y-2) 2=1,由圆心(3,