北京市西城区2018—2019学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题

1、北京市西城区2018 2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2019.1第I卷（选择题共40分）选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.2已知集合 A=x|x=2k,k WZ, B=x|x0 5,那么 Ap|B(A)0,2,4(B)-2,0,2(C) 0,2(D)-2,2第17页共14页2.(A) 10(B) 16(C)24(D)32在等比数列an中，若a3 =2 , a5 =8,则& =3.(B)(C)(D)4.5.,510在极坐标系中，点(A) 1在平面直角坐标系(A) 3.一1一俯视图P（23）到直线PcosH =

2、-1的距离等号 2(B) 2(C) 322xOy中，点A(1,1),点B在圆x +y =4上,(B) 1 +夜(C) 2+V2(D)2侧（左）视图|OAOB|的最大值(D) 4一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为6.设 M,N >0, 0 <a <1 ,则 “ logaM >logb N ” 是 “ M cN +1 ” 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2.一7 .已知函数 f(x)=sin 冰，g(x)=x x+2,则(A)曲线y=f(x)+g(x)不是轴对称图形(B)曲线y = f (x)g(x

3、)是中心对称图形f (x)4(C)函数y = f(x)g(x)是周期函数(D)函数y= i '最大值为g(x)78 . 一个国际象棋棋盘(由 8 M8个方格组成)，其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定).“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示.现要将这个破损的棋盘剪成L”形骨牌国际象棋棋盘数个“ L”形骨牌，则(A)至多能剪成19块“L”形骨牌(B)至多能剪成20块“L”形骨牌(C) 一定能剪成21块“L”形骨牌(D)前三个答案都不对第II卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9 .复数z满足方程1 i z = i,则z =10 .

4、已知角的终边经过点(-3,4),则tana =; cos(a +兀)=11 .执行如图所示的程序框图，若输入的m=1,则输出数据的总个数为2x-y 3> 0,12.设x, y满足约束条件x y 3< 0,则z = x +3y的取值范围是、x+2y> 0,13 .能说明“若定义在 R上的函数f(x)满足f(0)f(2)>0,则f(x)在区间(0,2)上不存在零点”为假命题的一个函数是14 .设双曲线C： x2-上=1的左焦点为F ,右顶点为A.若在双曲线C上，有且只有2个不 _13T同的点p使得PFPA，成立，则实数九的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解

5、答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分13分)在 AABC 中，a=3, b=26 , B=2A.(I)求cos A的值；(n)试比较/B与/C的大小.16 .(本小题满分14分)如图，在三棱柱 ABC AB1C1中，侧面B1BCC1为正方形,中点， AB_L平面BCM .(I )求证：平面 B1BCC1 _L平面 A ABB1 ；(n)求证：AN 平面BCM ；M , N分别是AB , AC的AN与平(出)若A1ABB1是边长为2的菱形，求直线 面MCC1所成角的正弦值.17 .(本小题满分13分)为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，

6、分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下:质量指标值15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45等级次品二等品一等品二等品三等品次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表(图表如下,其中a >0)甲企业质量指标值频数15,20)220,25)1825,30)4830,35)1435,40)1640,452合计100乙企业(I)现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率;(n)为守法经营、提高利润，乙企业将所

7、有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元.一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求 X的分布列和数学期望；(出)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.18 .(本小题满分13分)已知函数f (x) =ln xx+a ,其中aW R.(I )如果曲线 y = f (x)与X轴相切，求a的值；(n)如果函数g(x)=f(x)在区间(1, e)上不是单调函数，求 a的取值范围. x19 .（本小题满分14分）22已知椭圆C: 1 + =1（a X的离心率为2-,左、右顶点分别为 A,B ,点M是椭圆 a

8、222C上异于A, B的一点，直线 AM与y轴交于点P.（I ）若点P在椭圆C的内部，求直线 A M的斜率的取值范围;（n）设椭圆C的右焦点为F ,点Q在y轴上，且AQ/BM ,求证：/PFQ为定值.20.（本小题满分13分）设正整数数列A: a1,a2,HI,aN（N >3）满足ai <包，其中1& i < F N.如果存在kE2,3| N,装得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称a为"k阶平衡数列”.（I ）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“4阶平衡数列”？（）若N为偶数，证明：数列A： 1,2,3,W

9、,N不是“k阶平衡数列”，其中kW2,3,|,N.（出）如果aN<2019 ,且对于任意kW2,3,|,N,数列a均为“ k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值北京市西城区2018 2019学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.1. B2. D3. C4. A5. C6. A7. D8. C、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共30分.9. -1 -i10.11. 612. -1,二)13.答案不唯一，如 f(x)=(x1)214. (-2,0)注：第10题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题

10、共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15.（本小题满分13分）解:（I ）在MBC中，由正弦定理asin Ab，sin B32 6得 ="，即sin A sin 2A分sin A 2sin Acos A(H)一.6解得cos A = 3由 A w (0,另，得 sin A = 71-cos2因为B =2A,2 ,所以 cosB = cos2 A = 2cos A -1所以 sin B = . 1 -cos2 B = 223又因为A+B +C =兀,6所以 cosC - -cos(A B) - -cosAcosB sin Asin B =-911所以 cos B

11、cosC .又因为函数y=cosx在（0,©上单调递减，且B, CW（0,叽13分16.（本小题满分14分）解：（I）因为 AB_L平面BCM , BCu平面BCM ,所以 AB _L BC .由正方形 B1BCC1 ,知BB1 IBC ,又因为ABC BB1 =B ,所以BC _L平面AiABBi .又因为BC U平面B1BCC1 ,所以平面 BiBCCi _L平面 AABBi .(n )设BC中点Q ,连结NQ, MQ .因为M , N分别是AiBi , AC的中点,i所以 NQ / AB ,且 NQ =一 AB . 2又因为AB AB ,且AB = AB ,所以 NQ/AiM

12、,且 NQ =AiM .所以四边形AiMQN为平行四边形.6分所以AN MQ .又因为MQ U平面BCM , AN辽平面BCM所以AN 平面BCM .（出）由（I）可知BA, BM , BC两两互相垂直,因此以B为原点，以BA,BC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B -xyz ,如图所示.因为AABBi是边长为2的菱形，M为ABi的中点，且 AB _L BM ,易得 ZBBiAi =60，则 B0,A(2, 0,0) , M(0,石,0),C(0,0,2), Ai(i,V3, 0),i0分Bi(-1，疝 0), Ci(-1,43, 2), N(i,0,i).所以 AN =(0,一点,i

13、) , MCi =(-1,0,2) , CCi =(-i,3, 0).设平面MCCi的法向量为n =（xy,z）,则 n MC；=0，3n CCi =0,即一“=°，|1 x ' "/3y =012令 y =2 ,则 x=2曲,z=73.所以 n 二(2曲,2，曲).设直线AN与平面MCCi所成角为口则 sin =二|cos n, AiN | 二n ANI n IIAN'I57 1457因此直线AiN与平面MCCi所成角的正弦值为 -一3817 .(本小题满分13分)解：(I)由(a+0.020 +0.022+0.028+0.042+0.080)父5 =1

14、,得 a =0.008, 2 分所以甲企业的样本中次品的频率为(a+0.020)父5=0.14 ,故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率约为0.14. 4分(H)由图表知，乙企业在100件样品中合格品有96件,则一等品的概率为48 118 14 116 1=，一等品的概率为=，二等品的概率为 =,96 296396 6 5分由题意，随机变量 X的所有可能取值为：120, 150, 180, 210, 240.L -1且 P(X =120) = 6136x 1,P(X=150)=C23X 1 1P(X=180尸 C2 :1 15十一式一=.3 3 18* 1 1P(X =210尸C2

15、 ：1 11P(X =240)2 2 4所以随机变量 X的分布列为:X120150180210240P1151136918341所以 E(X) =120 36151110分150 180 210 240 =200.91834(m)答案不唯一，只要言之有理便可得分(下面给出几种参考答案)(1)以产品的合格率 (非次品的占有率)为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86,乙企业产品的合格率约为 0.96,即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.(2)以产品次.品率.为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较(略)(

16、3)以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4；乙企业产品中一等品的概率约为0.48 ,即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高.(4)根据第(n)问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，进而比较甲、乙两个企业产品的优劣(略) 13分18 .(本小题满分13分)解：(1)求导，得 f (x) = 1 -1 =>X , 1 分x x因为曲线y = f (x)与x轴相切，所以此切线的斜率为0, 2分由 f (x) = 0 ,解得 x =1 ,又由曲线y = f (x)与x轴相切

17、，得f(1) = -1+a=0, 解得a =1 . 4分(n)由题意，得,、 f (x) ln x - x ag(x) = =2xx求导，得g (x) ax -2 ln x 1 -2a3x因为x w (1, e),所以g '(x)与h(x) = x -2ln x +1 -2a的正负号相同 6分2 x - 2对 h(x)求导，得 h (x) =1 一一=,x x由 h (x) = 0 ,解得 x=2, 7 分 当x变化时，h'(x)与h(x)的变化情况如下表所示:x(1,2)2(2,e)h(x)0+h(x)极小值所以h(x)在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增又因为 h

18、(1)=2-2a, h(e) =e-1-2a,所以 h(x)min =h(2) =32ln22a；h(x)max = h(1)=2 2a. 9 分如果函数g(x) = f2°在区间(1, e)上单调递增，则当xw(l,e)时，gx)>0. x所以 h(x)>0 在区间(1,e)上恒成立，即 h(x) min = h(2)=32ln 22an0,.一 3. .3解得a< ln 2 ,且当a = ln 2时 g (x) =0的解有有限个，22即当函数g(x)在区间(1,e)上单调递增时，a<- -ln 2 ; 11分2如果函数g(x) = f2O在区间(1,e)上

19、单调递减，则当 xw(1,e)时，g'(x)w0, x所以 h(x)W0 在区间(1 , e)上恒成立，即 h(x)max = h(1) = 22aw0,解得a>1,且当a=1时，g'(x)=0的解有有限个,所以当函数g (x)在区间(1,e)上单调递减时，a>1. 12分因为函数g(x) = f (x) 在区间(1 , e)上不是单调函数， x，八3结合，可得金Tn 2 <a <1 ,所以实数a的取值范围是-ln 2 <a <1. 13分219.(本小题满分14分)解：(1)由题意，得 c2 =a22,勺=蛆， 2分a 2 22解得a=2,

20、 c=J2,所以椭圆C的方程为2+上=1. 3分42设P(0,m),由点P在椭圆C的内部，得一&<m<J2, 又因为A(-2,0),m -0 m/2 . 2所以直线AM的斜率kAM = W (,),0 2 22 2又因为M是椭圆C上异于A, B的一点，所以 kAM W(¥，0)U(0,零). 6 分2222(n)由题意F(后),设Md,%),其中#±2,则=+/=1.所以直线AM的方程为y=y(x + 2). 7分X02令x=0,得点P的坐标为(0,且匕). 8分X 2因为 kMB =y° c，所以 kAQ = y° cx0 - 2X

21、0 - 2所以直线AQ的方程为y = -y(x+2). x0 -2令x =0 ,得点Q的坐标为（0,_2纹）.x0 - 2由 FP=（-V2,-y）, FQ = （乏 ）, x0 2x0 -2得 fpfq=2 十至=&0m二8=0,x0 -4x0 -4T 所以 FP _LFQ ,即dPFQ =90,所以/PFQ为定值.10分12分14分20.(本小题满分13分)解：(I)数列2, 4, 6, 8, 10不是4阶平衡数列； 数列1,5, 9, 13, 17是4阶平衡数列.(n)若k为偶数，设k=2m(me N坤).考虑1,2, 3,1代k这k项，其和为S = k(k+1) , 2, 一

22、S (k 1) 2m 14所以这k项的算术平均值为 一 =()=,此数不是整数. k 22若k为奇数，设k=2m+1 (mW N*).考虑 1,2, 3, H|, k -1, k 划这 k 项，其和为 S，= k(k+1)+12S (k 1) 11所以这k项的算术平均值为 一=() + =m +1 +,此数不是整数.k 2 k2m 1故数列A: 1,2,3,W,N不是“k阶平衡数列”，其中kw2,3,|",N . 8分(出)在数列A中任取两项as, at(s/t),对于任意kw2,3,W,N 1,在A中任取与as，& 相异的k-1项，并设这k -1项的和为S0.由题意，得 SO+as, &+a都是 k 的倍数，即 S0+a$ = pk, S0+a =qk ( p,q w Z),因此 as -at =(p-q)k ,即数列中任意两项的差as-at都是k的倍数，其中kw2,3