空间几何体的外接球与内切球

1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1 .球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球而，简称球.2 .外接球的定义：若一个多而体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多而体是这个球的内 接多而体，这个球是这个多而体的外接球.3 .内切球的定义：若一个多而体的各而都与一个球的球而相切，则称这个多面体是这个球的外切 多而体，这个球是这个多而体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1 .性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等：性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆：性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小

2、圆所在的平而（类比：圆的垂径定理）：性质4：球心在大圆而和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在2 .结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心：结论2：若由长方体切得的多而体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多而体与原长方体的外接球相同：结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此而垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆：结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底而圆的圆心连一段中点处：结论5：圆柱体轴截面矩

3、形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球：结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上：结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3 .终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）：三、内切球的有关知识与方法1 .若球与平而相切，则切点与球心连线与切而垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2 .内切球球心到多而体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与 多边形的内切圆）.3 .正多而体

4、的内切球和外接球的球心重合.4 .正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5 .基本方法:（1）构造三角形利用相似比和勾股定理：（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲柱体背景的模型图11图L2由L4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2=/+c：图13即2R = Jl+/+c?,求出R类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）A. 167rB. 20乃C. 24万D. 32万例1 （1）已知各顶点都在同一球而上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表而积是（2）若三棱锥的三个侧而两两垂直，且

5、侧棱长均为则其外接球的表面积是（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的而积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形, 则该几何体外接球的体积为N题图类型二、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB = CD, AD = BC9AC=BD)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异而直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为AD=BC=xtAB=CD = yt AC=BD=zt 列方程组，cr +b2 =X2222< b2 +c2 =y2 =&g

6、t;（2R）2 =a2 +b2 +c2 = ",），2=zr补充：图 2T 中，Vig = a be -abcx4 = abc.63第三步：根据墙角模型，2/?=力2+02+。2cl+：1 , R?二十 V1+:28年产求出K.例2 （1）如下图所示三棱锥A BCD,思考：如何求棱长为"的正四面体体积，如何求其外接球体积？其中 AB = CD = 5,AC = BD = 6,AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的表面积为图(2)在三棱锥A 38中，AB=CD = 2, AD=BC = 3, AC=BD = 4,则三棱锥A 8C£)外接球的表面积为（3）正四而体

7、的各条棱长都为、反，则该正而体外接球的体积为类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图3T,图3-2,图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底而 可以是任意三角形） 第一步：确定球心。的位置，。】是MBC的外心，则平而ABC：第二步：算出小圆。1的半径AO|=，oq=：AA=g/?（也是圆柱的高）;第三步:勾股定理：OA2=OxA2+ op2 z=>R2= ()2 + r2 => /? =+ ()2 ,解出 R例3 （1） 一个正六棱柱的底而上正六边形，其侧棱垂直于底而，已知该六棱柱的顶点都在同一个球9而上，且该六棱柱的体积为一，底面周长为3

8、,则这个球的体积为 8（2）直三棱柱A8C 4瓦G的各顶点都在同一球而上，若A8 = AC = A4=2, N8AC = 120。,则此球的表面积等于.（3）已知拉枳3所在的平面与矩形A3C3所在的平而互相垂直，E4 = E8 = 3,40 = 2, ZAEB = 60°,则多面体后一ABC。的外接球 的表面积为.(4)在直三棱柱A8C A4G中，A8 = 4,AC = 6,A = 2,AA =4,则直三棱柱ABC 481G的外接球的表面积为第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径正弦定理求大圆直径是通法）图44图42图431 .如图4-1,平面尸AC

9、_L平面ABC,且43_L8C （即AC为小圆的直径），且P的射影是AA8C 的外心O三棱锥尸 A3C的三条侧棱相等O三棱尸一 ABC的底而AABC在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心。的位置，取AA8C的外心01,则P,O,q三点共线：第二步：先算出小圆。I的半径AO| =，再算出棱锥的高产OI二（也是圆锥的高）：第三步：勾股定理：OA1 =O+OXO2 R1 = （h - R）2 + r2 ,解出 R；事实上，A4"的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R.2 .如图4-2,平面R4C_L平面A8C,且AB_L3C （即AC为小圆的直径），且PA

10、_LAC,则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2/?尸=PA2 + （2r）2 O2R =尸片+ : R?=尸 + OO O R = " +OO；3 .如图4-3,平面PAC_L平面A8C,且A8_L3C （即AC为小圆的直径）"2 =002+002=/+o02 oac = 2/j2_Q024 .题设：如图4-4,平面PAC_L平面A8C,且A8_L8C （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心。必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径4c = 2,:第二步：在APAC中，可根据正弦定理一 =/一 =/一 = 2R,求出R.sin A sin B s

11、inC例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底而边长为2JJ,则该球的表面积为（2）正四棱锥S-A8CD的底而边长和各恻棱长都为、反，各顶点都在同一球面上，则此球体积为其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,（3） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球而上,则该正三棱锥的体积是（）D.3D.正12（4）在三棱锥P A3C中，PA =尸8 = ，侧棱与底而A8C所成的角为60° ,则该三棱锥外接球的体积为（）A.汽（5）已知三棱锥S-A8C的所有顶点都在球。的求面上，AA8C是边长为1的正三角形，SC为球736。的直径，且SC = 2,则此棱锥的体积为（）A.6类

12、型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1 .题设：如图5, 平面A8C,求外接球半径.解题步骤：第一步：将MBC画在小圆而上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AO,连接PD,则尸。必过球心O；第二步：。1为AA8C的外心，所以OO|_L平而A8C,算出小圆的半径。=一(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得'=_丝=2/)，OOX=-PA, sin A sin 8 sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2/?尸=+ (2/尸O2R = JpH +(2/.尸:R2 = r2 + OO Q R = yj户+OO： .2 .题设：如图5-1至5-8这七个图形，P的射影

13、是A48C的外心U*三棱锥。一 A8C的三条侧棱相等O三棱锥尸一 A3C的底面AA8C在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.图5图52图53第一步：确定球心。的位置，取A48C的外心Oj则P,O,Q三点共线：第二步：先算出小圆。的半径=厂，再算出棱锥的高产。|二"（也是圆锥的高）:第三步：勾股定理：OA2=O,A2+ Op2 => 7?2 = （/- R）2 + r2 ,解出 R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表而积为（）A. 31B. 2万C. D,以上都不对俯视图解答图第四讲多面体的内切球问题

14、模型类型八、锥体的内切球问题1 .题设：如图8-1,三棱锥夕一43C上正三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现出内切球的截面图，eH分别是两个三角形的外心：第二步：求DH = LbD, PO=PH - r,尸£>是侧面AABP的高： 3OF PO第三步：由石相似于£)，建立等式： =，解出rDH PD2 .题设：如图8-2,四棱锥P A8C是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,。”三点共线：第二步：求FHBC, PO=PH r, PE是侧而好。的高： 2第三步：由"OG相似于AP/77,建立等式：,解出HF PF3 .题设：三棱锥P-

15、A8C是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表而的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为，建立等式：匕匕33+%_咏.+%_咏=>P-ABC = _ S'lBC ,_ a SpAB，r+ - Spac , r+ - SPBC , r = a (S8C + S羽AB + SpAC + Sygc) 一第三步：解出=一S3V八 8C'O-ABC + S()-Pab + Sq-Pac +例8 （1）棱长为的正四面体的内切球表而积是解：设正四面体内切球的半径为,，将正四而体放入棱长为的正方体中（即补形

16、为正方体），如V2图，则匕-A8c = ?匕E方体1 a3"3 272 "672 *乂 丁 Vp_/l8C=4心,r 23" =， = '，,内切球的表面积为 36、£2屈. mrS” =4加、（注：还有别的方法，此略） 6（2）正四棱锥S A8C。的底面边长为2,侧棱长为3,则其内切球的半径为解：如图，正四棱锥S A8C。的高 =J7,正四棱锥S 48C。的体积为匕Y8m =尊 侧面斜高 = 2桓,正四棱锥S ABC。的表面积为力=4 + 8衣,正四棱锥S - ABCD的体积为匕_八8=1s/=上三", 34 + 8&4/7/

17、.- r =,334V7S百q及-1)2VT5V74 + 8 及 1 + 2 衣77（3）三棱锥P A3C中，底面AA8C是边长为2的正三角形，P4_L底面A8C,。4 = 2,则该三棱锥的内切球半径为题解：如图，S羽bc = 6，S*3p = Smcp = 2，S百，羯=括+ 4 +/，三棱锥尸一 A8C的体积为，另一表达体积的方式是匕TBC = ! S” =史+ 1 1 人V3 + v'7+42V32、Q r = r =33 Q + V7 + 4习题：1 .若三棱锥S -43c的三条侧棱两两垂直，且S4 = 2, SB = SC = 4,则该三棱锥的外接球半径为（）A. 3B. 6C. 36D. 9【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2 .三棱锥S A3c中，侧棱SA_L平而A3C,底而A3。是边长为有的正三角形，S4 = 2, 则该三棱锥的外接球体积等于.外心法（加中