普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题新课标卷I解析

1、绝密启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上

2、指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合Ax|x24x30,Bx|2x30,则AIB(A)(3，3)(B)(3，2)(C)(1令(D)g，3)【答案】D考点：集合运算(2)设。i)x1yi，其中x,y是实数，则xyi|=(A)1(B)展(C)73(D)2【答案】B【解析】试题分析：因为(1i)x=1+yi,所以xxi=1+yi,所以x=1,yx1,故|xyi|=|1+i|

3、衣,故选B.考点：复数运算(3)已知等差数列前9项的和为27,胡=8,贝恰00=(A)100(B)99(C)98(D)97【答案】C【解析】试题分析：由已知，9a136d27,所以a11,d1,a100a199d19998,&9d8故选C.考点：等差数列及其运算(4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)(B)(C)(D)【答案】B考点：几何概型(5)已知方程-=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(A)(-1,3)(B)(-1,)(C)

4、(0,3)(D)(0,)【解析】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以m2n3m2n4,解得：m21,因为方程二工1表示双曲线，所以1"0,解得"1,所以n的取值范1n3n3n0n3围是1,3,故选A.考点：双曲线的性质(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是(A)17兀(B)18兀(C)20兀(D)28兀【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是1个球，设球的半径为R,则VZfR3当8833解得R2,所以它的表面积是-42232217,故选A.84，考点：三视图及球的表面积与体积(7)函数y=2x

5、2-e|x1在-2,2的图像大致为考点：函数图像与性质(8)若ab10c1,则(AOacbc(B)abcbac(Qalogbcblogac(D)logaclogbc【答案】C图析】11I11试畛析，用特殊值注，今&-2,心二写得空>2工选项A错误，3X妙32父?，选前R南疆,Slog；1<2102,选项CIDS,og31>logll.选项D错误，故送C.L上上考点.<7八、指数函数与对数函数的性质(9)执行右面的程序框图，如果输入的x0,y1,n1,则输出X,y的值满足(AOy2x(B)y3x(Qy4x(D)y5x【答案】C【解析】试题分析：当x0,y1,n1时

6、，x0L,y1121,不满足22xy36；211n2,x0,y21222,不满足x2y236;n3,x13-,y236,满足2223xy36;输出x-,y6,则输出的x,y的值满足y4x,故选C.考点：程序框图与算法案例(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点.已知|AB=4T2,|DE|=2T5,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为y22px,圆的半径为r,AB,DE交x轴于C,F点,则AC2应，即A点纵坐标为2点，则A点横坐标为£,即OC由勾股定理知PPl2l2222a2222a

7、222日口，2,P、2,c71、2/4、24日/DFOFDOr,ACOCAOr,即(J5)()(2j2)(),解得p4,2P即C的焦点到准线的距离为4,故选B.考点：抛物线的性质(11)平面"过正方体ABCDABGD的顶点A,“平面CBD,al平面ABCgal平面ABEAi=n,则m,n所成角的正弦值为(A)(B)4(C)(D)12233【答案】Ar解析考点：平面的截试题分析:如图J设平面n平面泅CD=推1'平面CSQ1C平囱加及&=灯，因为以#平面eg,用以刑1斯"""，两帆用所成的角等于厮成的角过A作国力掘,交3的延长名灯点且连接3则

8、C后为加旌接4方，过瓦作珥胡皿交七1的延长线下息好，则见好为一连接电),则BDiCE,BEhAfi则用，"所成的角即为/"ED所成的角,为故解声所成角的正弦侑为平，选A面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角(12)已知函数f(x)sin(x+)(0,),x工为f(x)的零点，x"为yf(x)图像244的对称轴，且f(x)ft(,2)单调，则的最大值为1836(A)11(B)9(C)7(D)5【答案】B考点：三角函数的性质第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答.

9、二、填空题：本题共4小题，每小题5分.(13)设向量a=(m11),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.【答案】2【解析】试题分析：由|ab121a|2|b|2,得ab,所以ml120,解得m2.考点：向量的数量积及坐标运算(14)(2x4)5的展开式中，X3的系数是.(用数字填写答案)【答案】10【解析】_5r试题分析：(2x4)5的展开式的通项为C5(2x)5r(VX)r25rc5x2(r0,1,2,，5),令523得r4,所以x3的系数是2c510.考点:二项式定理(15)设等比数列出满足a1+a3=10,a2+a4=5,则aa鬃a的最大值为.【答案】64试题分析

10、：设等此翻列4的公比为3±0,由，乌二81 .所以 = .7)_L,J2噎64.f产"TZ)=炉虫，丁=2-i于是当并或E-4时，巧再取得最大值考点：等比数列及其应用(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【答案】216000【解析】试题分析：设

11、生产产品A产品B分别为x、y件，利润之和为z元，那么由题意得1.5x0.5y,150,x0.3y,90,约束条件5x3y,600,目标函数z2100x900y.x-0,y0.3xy?300,10x3y,900,约束条件等价于5x3y,600,x-0,y-0.作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将z2100x900y变形，得y7x2，作直线：y7x并平移，当直线y-x390033900经过点M时，z取得最大值.解方程组10x3y900,得M的坐标为(60,100).5x3y600所以当x60,y100时，zmax210060900100216000.故生产产品A产品

12、B的利润之和的最大值为216000元.考点：线性规划的应用三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知2cosc(acosB+bcosA)c.(I)求C；（II）若c"zABC的面积为封3,求4ABC的周长.2【答案】（I）c-（II）577【解析】试题解析：（I）由已知及正弦定理得，2coscsincossincossinC,2cosCsinsinC.故2sinCcosCsinC.可得cosC1,所以C-.23考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式（18）（本小题满分12分）如图，在以A,B,C

13、,D,E,F为顶点的五面体中，面ABE叨正方形，AF=2FQAFD90°,且二面角D-AEE与二面角C-BEF都是60o.（I）证明：平面ABEF平面EFDC（II）求二面角E-BCA的余弦值.【答案】（I ）见解析（II ）2 1919试题分析：（I）证明F平面FDC,结合F平面F,可得平面F平面FDC.（II）建立空间坐标系，利用向量求解.试题解析：（I）由已知可得FDF,FF,所以F平面FDC.又F平面F,故平面F平面FDC.（II）过D作DGF,垂足为G,由（I）知DG平面F.以G为坐标原点，器的方向为x轴正方向，器为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(I)知D

14、F为二面角DF的平面角，故DF60o,则DF2,|DG3,可得1,4,0,3,4,0,3,0,0,D0,0,曲.考点：垂直问题的证明及空间向量的应用(19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，

15、n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(I)求X的分布列；(II)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值；(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？【答案】(I)见解析(II)19(III)n19考点：概率与统计、随机变量的分布列(20)(本小题满分12分)设圆x2y22x150的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与X轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E(I)证明|EA|EB为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线C,直线l交。于MN两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPN面积

16、的取值范围.【答案】(I)士匕1(y0)(II)12,8网43【解析】试题分析：利用椭圆定义求方程；(II)把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。试题解析：(I)因为|AD|AC|,EB/AC,故EBDACDADC,所以|EB|ED|,故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216,从而|AD|4,所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0),B(1,0),|AB|2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:22人匕1(y0).43考点：圆锥曲线综合问题(21)(本小题满分12分)已知函数？?？=(?2)e?+?(?1)2有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设X1,X2

17、是？(?)两个零点,证明：?+X2<2.【答案】(0,)(II)见解析【解析】试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定(主要要根据导函数零点来分类)；(II)借组(I)的结论来证明，由单调性可知X1X22等价于f(X1)f(2X2),即f(2X2)0.设g(x)xe2x(x2)ex,则g'(x)(x1)(e2xex).则当x1时，g'(x)0,而g(1)0,故当x1时，g(x)0.从而gd)f(2X2)0,故X1X22.试题解析：(I)f'(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).(i)设a0,则f(x)(x2)ex,f(x)只有一个零点.(ii)设

18、20,则当x(,1)时，f'(x)0；当x(1,)时,f'(x)0.所以£(刈在(,1)单调递减，在(1,)单调递增.又f(1)e,f(2)a,取b满足b0且bIna，则一a_223_f(b)2(b2)a(b1)a(b2b)0,故f(x)存在两个零点.设bV。,由f*)=0得工=1或工=加(一切).若门?k】(一为»L扣当工尸(】产泗，/V)n,左此f(G在a+A苫诉逑增.只与X：1E寸/©,所以/工)不存在两个零点.若0t一，则故当JCE(Lkl(一如时，/340当上£侬(-2必2时J/X力9.因*此8在QW加单调递俺在3(2Gly再调

19、速博.又当时，乃冰心所以F®不存在两个零点.综上，。的取值范圉为(Q4足).,II)不妨设玉，由(I)如天9，匹e(l:+ro)p2-毛七(toJ)jFG)在(fD单调遑遍所以再+巧2等价于八冬»JQ巧"即八2七”。.由于/Q与)与晶与十仪-1巴而为”弟2k曲F为-以一所以/(2Xj)=_/一(x2-2派句.第工) V。考点：导数及其题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一1:几何证明选讲设冢制=一/工r-1苒一2*)则三制=»-0(/-二-吟+所以当工1时j婷任而系故当时p从而氟三)=/(?_/)式口，故看+及之2.应用请考生在第(22)、(23)、(24)题计分。(22)(本小题满分10分)选修4-如图，4OABM等腰三角形，/AOB120。.以。为圆心，OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与。相切；(II)点GD在。上，且AB,CD四点共圆，证明：AB/CD【答案】见解析(II)见解析【解析】情题分析：役E是的中点，证明上看OE=60,(II)谱(T是4B.C,D四占所在固的