数值分析期末复习(整理版)

1、精品文档Chapter1误差误差限计算、有效数字分析精品文档相对误差历为准确直.V.为X的一个近似值称relative error0/）=型2 =三 为近似施的超过鱼可端岂定.为近似1取的相对误差限"绝对误差设X为准确值，1为X的一个近似值，称=X*X为近似值/的维对误差，简称谀差，可简记为£e（x*）|=|x"-x|<s（x*）数值称为F的绝对误差限或误差限.有效数字若丁作为工的近似值，其绝对误差的绝对值不超过某一位数字的半个单位,而该位数字到父的第一位非零数字共有.包则够用/近f%时具有用位有效数字前称工带内位有效数字.Chapter2插值法差值条件（唯

2、一性）1、拉格朗日差值a）插值基函数b）差值余项2.2拉格朗日插值2.2.1 堂南教考虑最俺单、最基本的插值问题.求"次插值多项式九代）。=0,1一./），使其满足插值条件（*/）=：'7:（7=0,1,-*,«）口，J=l可知，除占点外,其余都是奴工）的零点，故可设43）=-%&一,%）“7丈一9tMh一A'a>i>-=*计）小_#1）摄一1）一、）其中为常数,由小）=1可得A=-Xt-l）（Xr-Artl）'（Xt-An）,二（丁二与）CM-./.|乂工.*川）.（#.）'（巧一/卜一（韦一韦）（巧一$*卜，+巧一三&

3、gt;u=oj.、）nxXjKXt-xfJ*称之为拉格朗日基函数,都是再次多项式.2.2.2 拉格朗日播值窸项式利用拉格朗日基函数，（谓构造次数不超过"的多项式4。）="（，+贴+-+yMx）=力对可知其满足，、.ni4）=*/=0TlT-摩为拉格朗仃插值多项式,再由插值客项式的唯一性,得（v）=zjx）特别地，当”=1时又叫线性插值其几何意义为过两点的交线.当=2时又叫抛物（线）插值，其儿何意义为过三点的抛物线.精品文档这是因为若取=。L讯),由插值多项式的唯一性有=/，#=乩，苒I4n£40)三1if例1已知产&,$=*=*用线性插值(即一次插值多项式

4、求行的近似值.解为=2,网=3,基函数分别为：y-91v-41*时=：=-?,9M(刈=gU)插值军项式为“*)=M+MC)=lKy(jc-9)+3号住-4)=-1(.v-9)+(.y-4)<=1a+6/所以新片卬7)=史=2.65精品文档则拉格朗U的二次插值多项式为工式方=J1/式寸+F/1住)+J翱B)+J%也)-2xGy-1)Gv-5)(x-<)+0x(r+l)(.v-3XA-1)+(Tx(aH+3x(r41)(jcK15=Gy-1)(.y-J)Gy-4)+(.r+IHx-lXv-)ZU4+*+1肛-1业-3)(=/一4*3)2.2.3 插值余项截断误差町温)小欣)-工式*)

5、也称为II次LEiKranxe插值多项式的余项，以下为拉格朗日余项定理。定理2设/的在区间m期上存在m+i阶导数，芭E，,叫为”+1个互舁节点，则对任何xea,br有产，目典(2=汽2-4(刘=勺谭吗鼠用其中叫“1幻=11(”一*/J-4例之求过点（1,6%（44的抛物线播值（即三次插值型项式）.解以xD=-1#A-|=L&=IX3=4以为节点的基函数分别为：(-l-l)(-L-3)(-L-4)皿(工_1)(工_3”“_4)勺(*)/工二(+1)(a;-3)(JC4)1.*、=(工+1Hx-3)(JV-4)(1+1X1-3M1-4n=一-(xI(3+1)(3-1)(3-4)8,、(*+

6、1)(*-1)(*-A1.,11/11/式2=(A41)(X-l)(x-3)(4+1)(4-1X4-3)IS例3设/（博=1,节点-%巧=五&三=4,求3的抛物插值多而式用I噂/的近似值并估计误差.解几寸=0与内=3司=3第以=/口）=025插荷基项式为工式用=仆,5x(x-L5)(x-4|(2-2.5)(2-4)Cr-2HA'-2-5)(4一双4一工身=0-(1.425¥41,15精品文档精品文档于是=心(3)=0.325因为/"(#)=$,二吁|d)4x网IS故|纲g络I任一2X工2冏-4)|VF4；IGv-2Xtv-2.5)(a-4)|6o/3)143

7、)-4区昊10-2)(3-2.5)(3-4)|DCT=0.03125I10111213Ins2J025S52.3978952J84907£564仪9例4给定函数表用二次插值计算IniL25的近似值,并布计误差.解取节点、=10,%=11,胡=12,作二次插值有Ini1.25(11,25)=(1L25-11XUJ5-12网一卿t-唠=1420426(11用-电口口5-叫112-10)(12-11)在区间叱上6的三阶导费的上限即业0值可得溪养计式If|Jt(11阖i|(1125-10)(1125-11X1UST研aW73!实扁上El,25老例羯%11,嚣)卜。.卿风2、牛顿插值构造差商表

8、性质4若黄#在电力上存在/j阶导数，且节点所,.V/£卬川，则至少存在一点发画句满足下式n:例1 /(A)=-外叶亦一地求/口 Z必及. .,10卜解,师尸一64!,"lN.Qi/僧/)=0,/02,10印.解 相应的函数值袅差分表如下:Wfg一除裁分_阶差分三所差分四防差分12.7182SIG63411.54.481692.903471.143960.7421027.289064 门9343.88606K223560,481462.5J2482497.903053.1092320,08554；Vj(a)=0.41075+I.l16H.V-0140+CL2800(v-也40

9、)(*-0.55)故/(殖S9mtoJV:(ft59(S)=(1632010又.yj.v0.VjJlj=01970可得过前四点的二次牛顿插值事项式必=JV式冉+e4kO(国一小MKk-O.SS)(x-IJ.fiS)故以0.596)H心心96)=06319145/!所,Yj=00344可得小(工)的魂断误差|£$行)«|i.0344(jr0.4U)(jc0乃5)工。.酌其”0.90)|投骗)|h0.34kI0-4例2设Jpbr)=t工产1,1后见工5,3,用三次皤值多项式求/0#及工期的近似值.1)%FCQ一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分12,718281*76341L54.

10、481692.903471443960.7421027.28JJU64.793431朋6061.223S6IL-ISUii2.513,1«2497.903053J096232也08554求K1.芬用牛顿前插公式，且由1.之=1+0向,得片在4/(l+2)ffiA；(1.2)-X7lR281L7(34l或4i咛学(14网(1447W一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分1L522.532.718284.481697.2890612.1S2-I9却.08554L76M2.903474.793437%。3既143%1加6063.10962fl.742101.223560.4814E邮2.8)用牛

11、顿后插公式里由得上-0.4求川1呢?11)9.=2U0Ki5l17905x(0l4)+(E4)x(-a4+l)+1 卫竺(旬明+I'T &+Q = 15.7680S72ft10(L4x(L4-lX04-7=A3A3S&523、埃尔米特插值构造三次埃尔米特插值多项式如下2.5埃尔米特便前mite)插值2.5A三次埃尔米特插值多项式设,1弓门)是区间句上的实函数，*0*1是因叫上相异两点，且Vii，jWW)在修上的南载值和一阶早数值分别为力(1句,1)和明=/国)(f-0,1),求三次窸项式H3(x),使其定理3蹒足条件式用式毛)=尸."式/)=叫0=0,1)的三

12、次埃尔米特插值宓项式存在且唯一.构造三次埃尔米特播值多项式如下：H<x)=£/(#)+J11al(#)十%用I*)+叫向(#)由多(巧)=/($)=0口将它巧成/(，忙)=|+例支一事)(禽-巧工由=1*得b=T(ja-xi)瞒足:"=o,】)用口麻为三次埃尔米特插值塞项式.褊-函数值导致值%、与1*】峋*1%3)1Q00值0100国0Q10P30Q01再由/(事)=0，得白=一；,Cvq一巧)所以M=H+2士当(三二L#1一项所一项同理(将与ex1)=+2士斗(f)工/一项V-Xtj同样由禺®）=国（.）=用（.）=0，可令Aj（x）=f（X-A0）（,V

13、一巧小再由式（不）=L得£=一1一g-对）/(x)=Gv-x0X-一5i一M工一峋外仃六口十2土田|（上豆汽林伊人伊水三二生了，餐餐一餐因一巧叼3=口+2士斗（士凡）:用=住_芮）（上）XLi的一餐阳一餐即,（h）1+招（.，"）«#）用（X）=（X-5用。4- 2（.v）Zj（x）科1犯）=1工一iMI度）（v），4（a）为饮餐济认巧小插值点的Lagrange一次基函数.可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为凡=蚪%。）+Ji«i（-T）+叫43+吗4（功,X-JCa.x-x.,»,Jf-X.X-Xnxi二为u十工M（Lr+jji+2q（-）

14、*1一小了一Xq_天玉一/十%（二一/）'+,（父一。.修町-K招-K252误差估计定理4设昇叫花包含“四的区间俗创内存在四阶导数，则为£囿用时有余项国国二/一场二:产（纵七一汽厂中,中楂ES，如且与4有关）设以"*/（"则当工Eg,巧）时，余项有如下估计式（误差限），悬例2已知婚）4四及其一阶襁的数据见下我同埃尔米特插值公式计算12sl上的近似值，并估计其截断误塞解(v)=llx|用士史丫士里、144-121A121-14JJ；+2±_¥_7121144+Ux加）11121121-144A144-121)门*)1/221/241+Mr

15、a-121Y,r-144V221144-121X121-144JH式，)=春(X21幻(支-1型)卜春匕652.y)(x121)"十-；(X121)(a-144)+1,(x-144)(jf121)22-2jr,24a23，"f/得力芯片凡(125)=11JS03S尸"卬=可求得国式12考|=151511(a-144Vm-121)424Xlt21-144J1144-121J384-16IS193£a324121s114T9工«0*0000124、分段低次插值例3构造函数/a=lnx在1£理1。上的数表,应如何选取步长A才能使利用数表进行

16、分段插值时误差不超过0.5X10，解r(x)=,f2=max|/"(A')|二L歌使,，|/(a)-P(x)Wmas八刈=gM|xl0-'")(幻=一1.%=m司尸)(x)|=6.欲使j|/(Jt)-日住max/(K)|二L<工113B4iE642得在42啦xlO即进行分段二款埃尔米特插值时，应取A,2V2X10-1误差不超过0石XI°即进行分段线性插值时，应取Agxio%误差不超过0.5XI045、三次样条插值(概念)2.7三欷样条插值2.7.1 问题的提用定义给定区间血切的一个划分门：产1产，y-f(v)(r=flJ,如果函数我<)

17、满足：(1)S8KU,岫(2)在诲个小区间除支出(4,1,“用/)上是次数不超过3的多项式；在每个内节点ggl2H必)上具有一阶连续导数,则称5(a)为关于上述划分的一个三次多项式样条函数，简称三次样条。Chapter3函数逼近与曲线拟合(送分)1、最小二乘法写出法方程例 已知一组观测数据如表所示，试用最小二乘 法求一个多项式拟合这组数据口X012345y521123解作散点图如右，从右图可以看出这些点接近一条抛物线，因此设所求公式为P（x）=/+（1tx代入法方程（Z3.4（£工）的4（£薄；）用二Zmi-li-1i-j-lb66"（光+X；）l+（2k；）G=

18、22JU1Ml而。怅6（£。）4+（2*：）密十（£。）公=£v?yrL百if-11-1f6c0+15g+55q=14代人数据得d15c+55勺+22"$=301550+225门+979q=122解之可得%=4.7143,/=2,7857,口工=0.500。故所求拟合多项式为P（x）=4.7143-2.7857a-i0.5000例7已知一组实验数据如下，求它的拟合曲倏.SJ.V）=aa+aL.r,这勤/=4,*=L,=L啊甯）二x,故1145I Z44,56g85研21311解根据所哈数据，在 坐标维卜标出各点，见图. 从图中看到各点在一条直 线附近，故

19、可选择线性函 数做拟合曲线，即令解得4=2.77声产1.13.于是所求拟含曲线为处，物）=工叫=&I,侬,门=涓Q47,（科，吗）=（%闻=£斡玉=工盘i（聃，/）二工%1'/=1455屈序）=Z3足=74,得法方程现小22。1=47,22afl+74w,=1415.S；（.r）=2.77+1.13.v.2、范式计算（向量、矩阵）例1R"的内积土设MjER%=（1宜%必再则其内积定义为（X,仍二（12）i=i由此导出的向量2-范数为若给定实数e产。（Ml,闻.铀称为权函数*则在R"上可定义加权内枳为不难蕤函13）给出的&j）捕足内积定其的4

20、条.当电二1Q=l,时，13）就是门2）.定义引向量的范数）如果向孰七即（或的某个实值函数方加户|刑，满足条件：1|网>啊|团|印当且仅当xO）（正定性），Q）|必|二回|阳|,对任何（ZER（或武丘。（芥次性），|忤+刈引国|+脚（三角不等式）.则称*3户闺|是肥（或C）上的一个向量范数（或模）.由3可推出不等式.（4）I-而后"I，下面给出几种常用的向量范数，设#=（为4工，e咒1.*|=max.yj,向量的瓶数最大范数）2-114=XI-向量的i-范数i-l13.m=（xL信同.向量的欧氏范数14,同/WM响量的沛数。5支容易证明前三种范数是断范数特殊情况,其中仁出例6计

21、算向量.v=（l,27的各种范数.解Lk/hg也卜斗q=3,工M=1+17+3=6,&1闻=犷卜卜21+于二定义3设W网为R"中一向量序列，工飞改”,记3士气打叫.，尹网今“*=（修<MF如果1皿+=重；”以声hfr-则称伊'收敛于x"+记为lim工，"xJt-HDChapter4数值积分与数值微分1、梯形公式、辛普森公式当，尸1时.柯特斯奈数为G" =_£"_冲=_；（_ 1）丁1>)2(9+/团这时的牛顿-柯粒斯公式为一阶求积公式, 所熟悉的梯形公式，即例如,用区间|附句两端点的函数值黄G与贝的算术平均

22、值作为*,的近似值，可导出求积公式当=2时a柯将斯系数为中=-J?”""''就是我们相应的牛顿-柯特斯公式为二阶求枳公式，就是辛普森姬3峙口0公式（又称为抛物的求枳公式），即这便是人们所熟知的梯形公式.例题分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公 式计算积分由柯特斯公式得11 Udr«1+JT901 1 , 1=+32 x=-*-12x=1 + 0.6-1+0. 丁1+小旷得求积公式为砂84 S二L J心力欣栉？欣0）+ 3硕回解：由梯形公式得Z S r = 1 0 6 rr +-r = 0.247058821+06 1 +-F+32 x1 I 0.炉

23、d = 0.2449787】+F由辛普森公式得6 -!-+4x!-+_L =024495466 1+0.6-1+0 相 1+)1积分的精确值匕一:dx = arctan -v a4 + A-2= 0244978660.6丁（1工=3%-城+利二。故求机公式具有3次代数精度.2、代数精度判断4.1?代数精度的概念数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对.尽可能多”的函数准确他成立，这就提出了所谓代数精度的概念.定义1如果求积公式1)对所有次数不超过内的多项式都精确成立；(2至少对-个股+1次多项式不精确成立，则称该公式具有m次代数粘渡.例1验证梯形公式/=r/(Ajd-Vf

24、(a)+/(6)|具有一次代数精度：2解当*1时，右二手口+1二自一里当作E时，左=J*NdX=；伊一/)右=W叫=bj公式也精酶成立.左二ldrV=&-fl,此时公式精确成立n当作:户。时，左4了改=纲一)公式对不精确成立.故由定理1知，梯形公式的代数精度为1次.例工确定求积公式中的待定系数.使其代数精度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精.度.1=，/V川玲4/(一处+4/(0)+4/(柏。一7#解令/(工尸|,工;小代入公式两端并令其相等,得4+4+4=41*Aj(-A)+A=O=>-/l=04(一前+4标=|Q盯=d产4=；方解得a产月三g人4三一：13、龙贝格求积公式4

25、、高斯求积公式5、高斯-勒让德求积公式6、数值微分了解即可Chapter5解线性方程组的直接方法1、消元法2、LU分解法5.4.1直接三角分解法分解）在522已经通过高斯消去法得到个将分解为 一个单位下三角矩阵上和一个上三角矩阵匕的乘积， A=LU,其中并由定理7得到这种分解是唯一的.5.4矩阵三角分解法高斯消去法有很名变形，有的是高斯消去法的改进，改写,有的是用于某一类特殊矩阵的高斯消去法的简化，下面我们将介绍矩阵的直接三角分解法,解特殊方程组用的平方根法及追赶法.定义如果£为单位下三角阵，E为上三角阵，则称寸="，为杜里特尔（DoolitHe）分解：如果E为下三角阵，工

26、为单位上三角阵，则称4女工为克劳特（Crout）分解.Chapter 6解线性方程组的迭代法1、2、雅克比迭代法、高斯-塞德尔迭代法公式（会写）621雅可比旧8明迭代法于是雅可比迭代法可写为矩阵形式 产0 = 2）1（£卜0利）十犷% 其hcnhi迭代矩阵为建立迭代格式设n*口（上12选取H为J的对角元素部分,即选取对角阵卜二D-M由QJ）式得到解方程级4a=8的雅可比Q状口助迭代法.又称简笔迭代法.（初始向第其中W=JDTA=I户仆+EA人尸力-】人称J为解/v=i的雅可比迭代法的迭代矩阵.6.2,2高斯一赛德尔迭代法在Jacobi迭代中，计算工产时，使用货*川代替巧叫1引41-1

27、,即有例1用雅可比迭代法解方程组 10- 巧-2x3 = 7.2* A 4-10 A'j 233 =8+3 一项一吗+ 5号4+2解：Jacobi迭代格式为精jl.11确了，= 1.2解1电靖蝶。24。7.2）+ W + 83钊=力。+”尸+4.2）或缩写为号*用一&）（箕4,现仃H；=J=r+）称为高斯S德尔（Gau鹑一加kkl）迭代法.于是高斯一塞德尔迭代法可写为矩阵形式工皿）=（D-上尸公加+（Z»-L）lb其Gau相一容由#1迭代矩阵为£心=5-£尸口这就是说，选取分裂矩阵改为1的下三角部分，即选取“二下三角阵），A=M-Nt由3）式得到解

28、*。的高斯一塞德尔（Gau钻舐id叫迭代法.卜阳（初始向量d+D=氏阳*/（A=0,1,、）,.其中月=尸（。-£尸4=（。-1尸户G,户出-疗也称矩阵GWYN为解HE的高斯塞德尔法代法的法代矩阵.球到='(x-+2+7.2)定*句=白用+3.3)例2用Gau&sWeidel迭代法解上题.1O«VXj2Km=7.2"Aj+IOjCj2x3-8.3-x1-*+5x3=4.2解；Gau为Seidel迭代格式为k工产x中10.720.830.8420.971L071.15*V1113)999931.1999931.299991121.0999981.19

29、99981.299997取。）=（0,0,0）丁计算结果如下士V(+D=_L*110.$2+2.0打卜7.2)x'D=(x+ly+2x+83)患用(荣严)十%，。+4.2)5工产/武+2工+7.2）3*碍=（承"+2看）+&3）铲）京铲1+e+42）取A=（0,0叫T计算结果如下:k的因.立阳%明10.720.9021.164494“*81.099998199期9133、4、给迭代公式，判断收敛性，谱半径。例4设有矩阵序列仪,其中口广£&而且设同b考查矩阵序列极限.z() o、解显然，当心1时,则有场4 =触炉=|。o,6.3迭代法的收敛性G31-阶

30、定常迭代法的基本定理设线性方程组4x=b,(3,1)其中，叼)为非奇异矩阵，记m为岛1)精确解，旦设有等价的方程组Ax=6。H=fiv+/.于是(3.2)设有解k=A的一阶定常迭代法工a+"=品H/.(33)有意义的问题是：迭代矩阵曜足什么条件时,由迭代法产生的向量序列口啊收敛到引进误差向量信=02.由QJ)式减(3.2遭到误差向量的递推公式/孙二魇叫皆阳=8,四5=0,12).由节可知，研究迭代法。3)收敛性问题就是要研究迭代矩阵月满足什么条件时，有.那0(零矩阵定义2设有矩阵序列一4广楂严)E到mm及4=(n)£心乂1如果标个数列极限存在且有lim=a(/,7=1,2,

31、*,«).ik®#7则以心称收敛于X,记为Ibn(A-3).若取区间%,九的中点“ = (On + ()作为V的近似值，则有下述误差估计式* 1 1x f江彳(4一%)二产 Git只要月足够大，(即区间二分次数足够多)，误差就可 足够小,由于在偶重根附近曲线片里I)为上凹或下口，即 与/W)的符号相同，因此不能用二分法求偶重根.Chapter7非线性方程求根1、二分法(先判断有根区间)7.12二分法设/在区间口间上连续,外0加)0,则在应句内有方程的根.取|明句的中点与二，4十分，将区间一分为二若/(用尸。,则此就是方程的根,否则判别根#*在用的左侧还是右侧.苟S)则x*E

32、(a,令1产由力1=X口；苟(/)*8)必则已伏"於，令的=*炉bi=b.不论出现哪种情况,(与)均为新的有根区间，它的长度只有原有根区间长度的一半，达到了压缩有根区间的目的.对压缩了的有根区间,又可实行同样的步骤,再压缩.如此反复进行，即可的一系列有根区间套明封风出口也口由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间工"的长度为%-%=齐方-G若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限进行下去.当打一工时，区间必将最终收缩为一点小,显然M就是所求的根.例2用二分法求例1中方程H工产的实根,要求误差不超过解由例1可知V£（1,L5）,要想满足题意，即：炭*-彳0

33、.ons则要和）二击55-1）二击£0.005由此解得力之费T%5工,取片6,按二分法计算过程见下表，x产1,3242为所求之近似根.n%心Jr说明01.0L51.25fia)<Qr1L25L5IJ75+幽>021.2513751.3125（2）根据精31J1251.3751.3438+度要求，41.312S1.34381.3281+取到小数51J1251,32811.3203点后四位61.32031.32811.3242即可.二分法的优点是算法简单，且息是收敛的，缺点是收敛的太慢，故一般不单独将其用于求根，只是用其为根求得一个较好的近似值.二分法的计算步骤：步骤1准备计

34、算函数;在区间以何端点处的值步骤2二分计算函数非、）在区间中点（日明工处的值AS切.步骤3判断切g+W0=。，则（a+"2即是报，计算过程结束，否则检物.若人刈负S+W疗）CU,则以（"+可代替匕，否则以代替外反复执行步骤2和步骤3,直到区间两句长度小于允许误差小此时中点（行加工即为所求近似根.2、迭代的收敛性7.2迭代法及其收敛性721不动点迭代法将方程4a=0改写为等价方程形式是=双必（2.1）若要求x"满足式x"）=0,则a"二孤:反之亦然，松/为函数飙X）的个F动点.求人工）的零点就等于求孤v）的不动点，选择一个初始近似值与，将它代入Q

35、1）右端,即可求得可以如此反复:迭代计算,%尸姓%）（40,12一.（2，分内、）称为迭代函数.如果对任何豌£口阴，由。必得到的序列有极限liin=工”.上一fro!则称迭代方程（工外收敛.且/=取直.）为出工）的不动点，故称（2.2）为不动点迭代法，上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式方程（11）归结为一组显式的计算公式QN）,送代过程实质上是一个逐步显式化过程./+i=次*±）（*=0,1,2,）Linixt-kToo当以I）连续时，显然，.就是方程之报（不动点）.于是可以从数列优心中求得满足精度要求的近似根.这种求根方法称为不动点迭代法，*+1=中（$）（&

36、quot;=0,1.乙）称为迭代格式，妣制称为迭代函数，/称为迭代初值，数列$称为迭代序列.如果迭代序列收敛,则称迭代格式收敛，否则称为发散.（儿何意义的解释见Hp26s贝）例3表明原方程化为Q.l）的形式不同，有的收敛, 有的不收敛，有的发散，只有收敛的的迭代过程2） 才有意义，为此我们首先要研究网工）的不定点的存 在性及迭代法（2劣的收敛性.例3用迭代法求方程/十2a"aT=0在区间1".引内的实根.解对方程进行如下三种变形t1.V=瞿（x）=（3x-2xyX4+2.V2一.V3=口一犬=的。）=+4-1X=审3（k）=K*+2X1-3分别按以上二种形式建立一迭代公式，

37、并取进行迭代计算，结果如下二3、4、牛顿迭代法（代公式）工的产的g）=（3E-况=1424123=仍GJ=灰14-1$=$=1241工3%+1二中式七）二式十词3三二96,占=S.49s307x10准确根x*=1.124123029,可见迭代公式不同,收敛情况也不同,第二种公式比第一种公式收敛快得多，而第三种公式不收敛.参见书p266虫例3.例7用牛顿迭代法求方程在03附近的根.解将原方程化为ITT=O,则/（X）=A-£ 巴 /?£）=1 + I牛顿迭代公式为一小取与二03迭代得界=0.566311,叫=也5671431, g=0.5671433.参见书p”7的例工牛顿法

38、的计算步骤见书p27余7.4牛顿法7.44牛顿法及其收敛性对于方程/MA0,如果/（M是线性函数，则它的求根是容易的.牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是符非线性方程/卜尸。逐步归结为某种线性方程来求解.设已知方程凡有近似枇”,且在与附近找的可用一阶泰勒多项式近似，表示为/岩/g）+八/川-/）当门国）用时，方程小）=0可用线性方程（切线）近似代替,即Ao）Wq）（o）=0-（4-1）解此线性方程得得迭代公式/上1=巧a二（4.2）此式称为牛顿（Newmn）诙代公式.Chapter9常微分方程初值问题数值解法1、公式计算：四种，欧拉公式、改进的欧拉公式、隐式、梯形公式心)欧拉公式数值魁外

39、准确解】»误差021.1918181.1832160.0086020.4135S2131 3416410.0165720.61.5089661.1832400.0257260.81 6497831 6124520,037331L01.7847701.7320510 052719依次计算下去，部分计算结果见下表.一般地，设已做出该折线的顶点产"，过HA'jj依方向场的方向再推进到？+i(/+”/+】)，显然两个顶点入，尸出的坐标有关系%二&='二基=/住*,储)，斜率即RufW以止)(2-1)这就是著名的(显式)欧拉CEukr)公式.若初值均已知，则依

40、公式(2.1)可逐次逐步算出各点数值解.%=所/用卜月二匕+修(孙11例1用欧拉公式求解初值问题2tJ/=J,(0<.v<1),|>(0)=L解取步长A=0.L欧拉公式的具体形式为72J4|=几网片yK其中;<“3=0程5句,1,已知Fu=1,由此式可得/=yQ+/4.rfl->=i+o.i=1.】打人=M十川抗一生)=11+0,1(1.1-)=L191S1KLn1与准确解J二&十八相比,可看出欧拉公式的计算结果精度很差.如果对方程(1.1)从与到瑞+1积分，得F区也州“ (14)右端积分用左矩形公式句MmRJ)近似，再以立代替 式小卜J51代瞽也得到欧拉

41、公式(2J)*局部截 断误差也是亿3)*如果右端积分用右矩形公式始灯+2小日)斑似, 则得到另一个公式九二E+帆%，乂 J(均称为(隐式)后退的欧拉公式.后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别，后者是关于的一个直接计算公式，这类公式称作是显式的；前者公式的右端含有未知的北中它实际上是关于J3的一个函数方程,这类方程称作是跄式的.显式与隐式两类方法各有特点，考了到数值稳定性等其他因素，人们有时福要选用隐式方法，但使用显式穿法远比隐式方便.隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显式化.922悌形方法为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式(2.4)右端枳分用梯形求枳公式近似，并用以代替代替M/+)，则得久+=以+：/(三*以)+/住7，久对)1，伍7)称为矩形方法矩形方法是隐式单步法.用迭代法求解.同后退的欧拉方法一样，仍用欧拉法提供法代初值，则矩形迭代公式为黑二人卜照或4;力T"=用）为了分析迭代过程的收敛性将（工7肖Q.8）相减,得J3-篇”=，/（"卜/除口咸）1，于是有限-瑞”|彳-瑞|，hl使得万1,则当A-g时有2TJ.“，这说明送代过程Q£）是收敛