2007年温州中学自主招生考试数学试卷

1、2007年温州中学自主招生考试数学试卷（A卷）说明:1、 本卷满分150分;考试时间：110分钟.2、 请在答卷纸上答题.3、 考试结束后,请将试卷、答卷纸、草稿纸一起上交.一、选择题（每小题6分，共计36分）1、方程实根的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个2、某班进行一次标准化测试，试卷由25道选择题组成，每题答对得4分，不答得0分，答错扣1分那么下列分数中不可能的是（ ）A95B89C79D75第3题图3、已知二次函数的图象如图所示，则下列6个代数式：、中，其值为正的式子的个数是（ ）A2个B3个C4个D5个4、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是，而在另一个瓶子

2、中是，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（ ）ABCD5、已知直角三角形有一条直角边的长是质数，另外两条边长是两个自然数，那么它的周长是（ ）ABCD第6题图6、如图，ABC中，AB=AC，A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是ABD的内心，则BPC=（ ）A145°B135°C120°D105°二、填空题：（共6小题，每题6分，共36分）7、设直线与坐标轴所构成的直角三角形的面积为，则 8、已知方程无解，则实数的取值范围是 9、已知，则 第10题图10、如图，电路中有4个电阻和一个电流表A，若没有电流通过电流表A，

3、问电阻器断路的可能情况共有 种？11、已知为正整数，若，当m最小时分数 第12题图12、如图所示，在中，已知BD=2DC，AM=3MD，过M作直线交AB,AC于P,Q两点则 三、解答题（共6题，共78分）13、（本题满分12分, 共2小题）已知二次函数的图象与轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且ABC的面积求的取值范围；若分别为一个两位数的十位与个位数字，求出所有这样的两位数14、（本题满分12分, 共3小题）第13题图如图，在半径为6，圆心角为90° 的扇形OAB的上，有一个动点P，PHOA，垂足为H，OPH的重心为G设PH= x，SPGH = y，求y关于x的函数解析式.PGH的

4、面积是否有最大值？如果有，求出最大面积，并求出此时PH的长度；如果没有，请说明理由如果PGH为等腰三角形，试求出线段PH的长15、（本题满分12分，共2小题）2001年某月某日午夜，某校师生收看在莫斯科即将产生的2008年夏季奥林匹克运动会主办城市的电视现场直播，结果北京获得主办权，欣喜之余，他们发现：在场的师生人数恰是该天日数，男生数就是该月月数，且师、生、月、日数皆为质数，男生数多于教师数，男生数多于女生数，女生数多于教师数经计算，学生数、月数、日数的和与教师数的差恰是2008年奥运会的届数，又知届数也是一个质数试问：北京获2008年奥运会主办权是几月几日？2008年奥运会是第几届？16、

5、（本题满分12分,共3小题）黑板上有三个正整数（不计顺序）允许进行如下的操作：擦去其中的任意一个数，写上剩下的两个数的平方和如：擦去，写上，这次操作完成后，黑板上的三个数为问：当黑板上的三个数分别为1，2，3时，能否经过有限次操作使得这三个数变为56，57，58（不计顺序）若能，请给出操作方法；若不能，请说明理由；是否存在三个小于2000的正整数，使得它们经过有限次操作后，其中的一个数为2007若能，写出正整数，并给出操作方法；若不能，请说明理由； 是否存在三个小于2000的正整数，使得它们经过有限次操作后，其中的一个数为2008若能，写出正整数，并给出操作方法；若不能，请说明理由；17、（本

6、题满分15分）如图，已知O2交O1于A、B两点，且过O1的圆心O1，AC是O1的弦，直线CB交O2于点D（异于A、B）求证：DO1AC18、（本题满分15分）已知为实数，且，一元二次方程的两根为试求的值数学答卷纸题号一二三总分1314151617得分评卷人一、 选择题（每小题6分，共计36分）题号123456答案二、 填空题（每小题6分，共36分）7、 8、 9、 10、 11、 12、 三、 解答题（共6题，共78分）得分评卷人13、（本题满分12分,共2小题）得分评卷人14、（本题满分12分,共3小题）得分评卷人15、（本题满分12分, 共2小题）得分评卷人16、（本题满分12分，共3小题

7、）得分评卷人17、（本题满分15分）得分评卷人18、（本题满分15分）备 用 题二次函数的图像上两点A、B的横坐标分别为，O是坐标原点如果AOB是直角三角形，求AOB的周长解：A()，B()，由勾股定理，OA边最短1°若OB为斜边，则OB2 = OA2 + AB2，即得，AOB的周长为；2°若AB为斜边，则AB2 = OA2 + OB2，即，得，AOB的周长为评注：较易，但容易漏一种情况，可考虑作靠前的解答题！说明：本份试卷较去年题目来说，选择题难度降低了一些；填空题相当或略高；解答题相当；但运算量及技巧有所提高。整体难度应与去年持平。本试卷对主干知识、基本数学思想、主要数

8、学方法覆盖较好。应有较好的信度、效度及区分度。可以的话，使用后反馈一下效果。数学试卷答案 一、 选择题（每小题6分，共计36分）题号123456答案CBADCA1答案：C，分类讨论去绝对值符号之后再求解之；另外，可以借助图像法；2答案：B3答案：A，由图像可知a <0，且，从而，又，令得，令得；4答案：D，由比例性质，5答案：C：6答案：A，连结PD，由内心性质知BPD=90° +A，又BCD=90° +A，从而B、D、C、P四点共圆易知，D=35°，故BPC=180°35° =145°二、 填空题（每小题6分，共36分）7答案

9、：，直线与两坐标轴交点分别为，故；8答案：m<18，由绝对值的几何意义知，函数当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立故由方程无解，得9答案：，另解：由，得代入计算，较烦！10答案：11种，分类讨论：若最右边的电阻断路，则左边并联的三个电阻，无论断路与否，电流表没有电流通过，共8种情况；若最右边的电阻通路，则左边并联电阻将断路，共3种情况11答案：，若均为正整数，且，求m最小时的分数由题意知nb>ma，mc>nd，可设（为正整数），解得，当时，又互质，故12解：法1：（特殊值法）考虑到P、Q的任意性，取点P与点B重合，由梅涅劳斯定理，有，又，；法2：延长QP交BC于点N，利用梅

10、涅劳斯定理可得三、解答题（共6题，共78分）13解：设，则是方程的两个不同的实根有，又点C的纵坐标因此，即，故由知，因为被4除余数为0或1，故被4除余数也为0或1从而这两个方程中符合题意的整数解有故所求两位数为23，65，34，8614解：延长PG交OH于点D，PG:GD = 2:1，SPGH =SPOH =SPOH 由勾股定理得OH；，令，则，是关于t的二次函数，当时，取最小值为，此时，即当PH=时，PGH有大面积3；延长HG交OP于点E，则HE =OP = 3，HG =HE = 2，又DH =OH =，DP =，PH =DP =PGH为等腰三角形，有三种可能情况：1°GP = P

11、H，即解得；2°GP = GH，即解得，不合；3°PH = GH，即综上，若PH为2或时，PGH为等腰三角形15解：设教师数为，学生数为，月数为，日数为，女生数为，奥运会届数为f，由题意得在中，由皆为质数，故中必有偶质数2，又，；在中，由为质数，故中必有一个是偶数，由得为偶数；又，c = 3, 5, 7,11当时，由知无解；当时，由及“为偶数”得，不合；当时，由及“为偶数”得或若，则，不合；若，则，当时，由及“为偶数”得若，则，不合；若，则，不合；若，则，不合；若，则，不合综上，答：北京获得2008年奥运会主办权是2001年7月13日，2008年奥运会是第29届注：该题只给

12、出答案而没有相应过程，不应给分！16解：不能；当黑板上的三个数为1、2、3时，不论进行哪种操作都不能改变3个数的奇偶性，即三个数必为2个奇数1个偶数，因此不能变为56、57、58。不能；若能，则2007一定可以表示为两个正整数的平方和，即又任意一个自然数m，必有，所以，而，因此不可能不能；若能，由知，因为，不妨设（其中m、n为正整数），因此又任意一个自然数m，必有，所以，而，因此不可能17解证：连接，因为，四点共圆，为等腰的角平分线18解：由已知，得及是方程的两根而方程的两根为，解得，于是，题设方程可化为由是方程的两根，则，且由得，从而显然，将两边分别除以得而备 用 题二次函数的图像上两点A、B的横坐标分别为，O是坐标原点如果AOB是直角三角形，求AOB的周长解：A()，B()，由勾股定理，OA边最短1°若OB为斜边，则OB2 = OA2 + AB2，即得，AOB