第二章数列导学案 (2)

1、第二章数列§2.1.1数列的概念授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标1.理解数列的定义、能够区分项与项数这两个不同概念；2.掌握通项公式概念，能够用不完全归纳法写出一些数列的通项公式.重点难点重点:数列的定义、通项公式.难点:应用不完全归纳法推导出数列的通项公式.学习过程与方法自主学习：探究任务：数列的概念 数列的定义： 的一列数叫做数列. 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 反思：茶杯每个1.5元，则购个茶杯所需钱数,购1个，2个，3个，,100个茶杯所需钱数（元）排成一列数： .问：如果改变前两个数的位置新成一列数和原有数列相同吗？ 同一个数在数列中可以重

2、复出现吗？3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第 项. 4. 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式.反思：数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列. 精讲互动： （自主完成）知识点一：会由各项不完全归纳法归纳出通项公式例1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1） （2） 2，0，2，0练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,； (2

3、) , , , , , ；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 18, 54, 162, .例2. 写出数列的一个通项公式，并判断它的增减性。思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？知识点二：能由通项公式写出各项例3根据下面数列的通项公式，写出前五项：（1） （2） 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（ ）.A. 数列中不能重复出现同一个数 B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列C. 1，1，1，1不是数列 D. 两个数列的

4、每一项相同，则数列相同 2. 下列四个数中，哪个是数列中的一项（ ）.A. 380 B. 392 C. 321 D. 2323. 在横线上填上适当的数：3，8，15， ，35，48.4.数列的第4项是 . 5. 写出数列，的一个通项公式 . 作业布置1. 填写在书上：第33页3、52.作业本上：第33页2、4 已知数列的通项公式是，写出这个数列的前5项，并判断220是不是这个数列的项，如果是，是第几项.(2) 数列的一个通项公式是 ,是这个数列的第 项(选作)在数列中，且，则的值为（ ）A、3 B、-4 C、-5 D、2学习小结/教学反思自我评价你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B

5、. 较好 C. 一般 D. 较差§2.1.2数列的概念授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同2. 会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系.重点难点重点: 根据数列的递推公式写出数列的前几项.难点: 理解递推公式与通项公式的关系.学习过程与方法一、复习：1).设数列为则是该数列的 ( )A.第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项 2).数列的一个通项公式为 3).图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一

6、个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。精讲互动： （自主完成）（一）、观察以下数列，并写出其通项公式： 思 考： 除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？（二）定义：已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的 .练习: 运用递推公式确定一个数列的通项： 例1:已知数列的第一项是1,以后的各项由公式给出,写出这个数列的前五项（三）、累加与迭乘例2.已知,求.例3:已知,求. （四）。练习: 已知数列的前n项和为:求数列的通项公式. 作业布置1. 阅读教材P30-33面2

7、.作业本上：第33页2、4数列满足，（n1），则该数列的通项（ ）. A.2n+1 B.2n-1 C. D. (2) 已知数列满足，（n2），则 .(3)数列满足，写出前5项，并猜想通项公式.(选作)数列中，0，(2n1) (nN)，写出前五项，并归纳出通项公式.学习小结/教学反思自我评价你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差§2.2等差数列(第一课时)授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标1.理解等差数列的定义，运用定义判断一个数列是否为等差数列，并确定等差数列的公差.2掌握等差数列的通项公式，能够应用其公式解决等差数列的问

8、题.重点难点重点：等差数列的定义，通项公式.难点：利用所给条件求解等差数列的通项公式.学习过程与方法自主学习： 观察：四个数列的通项公式为: 0，5，10，15，20，25， 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5 2，2，2，2，2，1、从第 项起，每一项与 的 是 （又称 ），我们称这样的数列为等差数列.从函数角度可知当时，数列的单调性分别为 ？ 当公差时，是什么数列？ 将有穷等差数列的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？ 判断一个数列是否为等差数列与无关的常数2、等差数列的通项公式为 （需知道） 精讲互动：求解通项公式关键把握好首相和公

9、差例1、求等差数列8，5，2，的第20项.-401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.练1. 等差数列1，3，7，11，求它的通项公式和第20项. 练2.在等差数列的首项是， 求数列的首项与公差. 例2 已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 等差数列1，

10、1，3，89的项数是（ ）.A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列的通项公式，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为2的等差数列 D.公差为n的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B .5. 等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那么a ，b . 作业布置1.课本40页习题2.2 A组第1题 2. 在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为（ ）A、18 B、9 C、12

11、 D、 15(选做题) 已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为（ ）A、 B、 C、 D、 学习小结/教学反思自我评价你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差§2.2等差数列(第二课时)授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标1.体会等差数列与一次函数的关系，能够应用一次函数的性质解决等差数列的问题2.掌握等差中项的定义和等差数列的性质，能够应用等差中项的定义和等差中项的性质解决问题重点难点重难点是等差数列性质的灵活应用学习过程与方法自主学习：如果与中间插入一个数，使成等差数列，那么叫作与的等差中项，即 精讲互动：探究任务：

12、等差数列的性质1. 在等差数列中，为公差， 与有何关系？2. 在等差数列中，为公差，若且，则，有何关系？小结：在等差数列中，公差d可以由数列中任意两项与通过公式求出. 重要推广公式：数列是等差数列，若2n=p+q，则 若m+n=p+q，则 可以使得计算简化. 例1 在等差数列中，已知，求首项与公差.变式：在等差数列中， 若，求公差d及.例2 在等差数列中，求和.变式：在等差数列中，已知，且，求公差d.练1. 在等差数列中，求的值. 练2.在等差数列中，若，则的值等于（ ）知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：（1）；（2）；（3）.当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一

13、个等差数列中，则（ ）. A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 492. 等差数列中，则的值为（ ）.A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列中，是方程，则（ ）. A. 3 B. 5 C. 3 D. 54. 等差数列中，则公差d .5. 若48，a，b，c，12是等差数列中连续五项，则a ，b ，c .作业布置1. 教材第39页练习第4、5题2. 若 ， ， 求.3. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数. 学习小结/教学反思自我评价你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差§2.3等差数列的前

14、项和（第一课时）授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标1.探索等差数列的前项和公式的推导方法；2.能应用等差数列的前项和公式解决等差数列的问题.重点难点重点:等差数列的前项和公式的推导过程和思想.难点:在具体的问题情境中，如何灵活运用这些公式解决相应的实际问题.学习过程与方法自主学习： 复习回顾：1等差数列的定义： 2等差数列的通项公式：（1） （2） （3） 3几种计算公差d的方法： 4等差中项： 5等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q N )6数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为. 你知道德国伟大的数学家高斯的故事吗？新知探究：1. 等差数列

15、的前项和公式的推导过程（“倒序相加”）结论：等差数列的前项和公式是（1）、 必须具备三个条件： （2）、 必须已知三个条件： （3）、 必须已知三个条件： .2等差数列的前项和公式的应用例1、特殊的等差数列求和 1+2+3+.+n 1+3+5+.+(2n-1) 2+4+6+.+2n2)直接代公式求和（前提在等差数列中） 已知，求； 已知，求； 已知，求； 已知，求.小结 “知三求二”问题，即：已知等比数列之五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个。练习：已知,求及知识拓展1. 若数列的前n项的和（A，A、B是与n无关的常数），则数列是等差数列.2. 已知数列是公差为d的等差数列，Sn是其

16、前n项和，设也成等差数列，公差为.例2、设等差数列的前n项和，若当堂检测：1. 在等差数列中，那么（ ）.A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）.A5880B5684C4877D45663. 已知等差数列的前的前n项和，若（ ）A. 7 B. 6 C. 2 D. 34. 在等差数列中，则 .5. 已知等差数列共十项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，求其公差（ ）A. 7 B. 6 C. 2 D. 3作业布置1课本P45练习1、22在等差数列中，已知求.（选做题）等差数列的前项的和为30，前项的和为100，则它的前项的和为

17、（ ）学习小结/教学反思自我评价你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差§2.3等差数列的前项和（第二课时）授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标1. 探索并掌握等差数列的前项和公式，了解等差数列的一些性质2. 能够应用等差数列的前项和公式解决等差数列的问题重点难点重难点是在具体问题情境中，如何灵活运用等差数列的前项和公式解决相应的实际问题学习过程与方法自主学习： 等差数列的通项公式 和其变形公式 等差数列的通项公式和一次函数比较图像为 等差数列的前项和公式是 和 等差数列的前项和公式化为二次函数一般式为 ，图像为 （5）如果A

18、n，Bn分别是等差数列an，bn的前n项和，则精讲互动：1、探究：等差数列的前项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列的前项和与的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n2时，=-，即=.练习：已知数列的前项和，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？由此，等差数列的前项和公式可化成式子：，当d0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前项和的最值问题： 例题讲解：例2、数列是等差数列，. （1）从第几项开始有；（2）求此数列的前 项和的最大值. 结论：等差数列前项和的最值

19、问题有两种方法：（1） 当>0，d<0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值；当<0，d>0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值.（2） 由利用二次函数配方法求得最值时n的值. 例如：求最小值 练习：在等差数列中, 15, 公差d3, 求数列的前n项和的最小值.归纳：（1）当等差数列an首项为正数，公差小于零时，它的前n项的和为有最大值，可以通过 求得n （2）当等差数列an首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和为有最小值，可以通过 求得n作业布置1、已知数列是等差数列，求 2、已知数列的前项和为，求证数列是等差数列学习小结/教学反思自我评价你完成本节导学

20、案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差§2.4等比数列（第一课时）授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标1.理解等比数列定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列，并确定等比数列公比2.探索并掌握等比数列的通项公式，能够应用其解决等比数列的问题重点难点重点:等比数列的定义和通项公式难点:灵活应用等比数列的定义和通项公式学习过程与方法自主学习： 观察：思考以上四个数列有什么共同特征？1，2，4，8，16， 1， 1，20， 2，2，2，2，2，1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数（又叫 ，通

21、常用字母 表示），那么这个数列叫作等比数列. 即：= （q0） 注： 等比数列中，能否有某一项为0？（ ）公比可以为0吗？（ ） 等比数列中时，数列有何特征？ 如何判断一个数列为等比数列？2. 等比数列的通项公式： ； ； ； 等式成立的条件 等比数列通项公式 3. 等比数列中任意两项与的关系是： 名称类别等差数列等比数列定义通项公式通项公式的变形公式中项的定义以及重要的推广公式精讲互动：例1 （1） 一个等比数列的第5项是，公比是，求它的第1项；（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项. 例2求下列各等比数列的通项公式：例3已知数列an满足，（1）求证数列是等比数

22、列；（2）求的表达式。小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式.知识拓展在等比数列中， 当，q >1时，数列是递增数列； 当，数列是 ； 当，时，数列是 ； 当，q >1时，数列是 ； 当时，数列是 ； 当时，数列是 .当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 某数列既是等差数列又是等比数列，那么这个数列一定是（ ）A. 为常数数列 B. 为非零的常数数列 C. 存在且唯一 D. 不存在 2等比数列，则（ ）. A. 36 B. 48 C. 60 D. 723. 在等比数列中，则公比q . 4. 设，成等比数列，公比为2，则 .5. 设是由正数组成的等比数列，公比，且

23、，那么的值是（ ） C D作业布置课本53页A组1（选做题）已知数列a，a（1a），是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）.A. a1 B. a0且a1 C. a0 D. a0或a1学习小结/教学反思自我评价你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差§2.4等比数列（第二课时）授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标1.回顾等比数列的定义、通项公式、以及推广公式2.熟记等差数列和等比数列性质的对比重点难点重点:等比数列的定义和通项公式难点:在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能灵活运用这些公式解决相应的实际问题学习过程与方法自

24、主学习：（学生回顾上节内容并独立完成下列概念的填写） 等比数列的定义 等比数列的通项公式 及其变形公式 an是等比数列精讲互动：阅读课本回答下列问题：思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？1等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项，即 即G=±（a,b同号）反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列 a,G,b成等比数列G=ab（a·b0）例1三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.2等比数列的性质：是否成立？若在等比数列中，m+n=p+q，则有什么关系呢？例2. 已知是等比数列，

25、且, 求变式：在等比数列中，已知，则 .练习：（1）. 在为等比数列中，求的值.（2）. 已知等差数列的公差d0，且，成等比数列，求.3判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法例3已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.（1）an是等比数列，C是不为0的常数，数列是等比数列吗？（2）已知是项数相同的等比数列，是等比数列吗？思考：通项为的数列的图象与函数的图象有什么关系？当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在为等比数列中，那么（ ）. A. ±4 B. 4 C. 2 D. 82. 若9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数

26、列，则b2(a2a1)（ ）.A8 B8 C±8 D3. 设，则数列（ ）A、是等差数列，但不是等比数列 B、是等比数列，但不是等差数列C、既是等差数列，又是等比数列 D、既不是等差数列，又不是等比数列4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列中，则log3+ log3+ log3 .作业布置练习册（选做题）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.学习小结/教学反思自我评价你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C.

27、一般 D. 较差§2.5等比数列的前项和（一）授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标1. 探索并掌握等比数列的前项和公式2. 能够应用其公式解决等比数列的问题重点难点重点:等比数列前项和公式的推导过程和思想难点:在具体的问题情境中，如何灵活运用这些公式解决相应的实际问题学习过程与方法自主学习： 等比数列的判断方法： 等比数列的通项公式： 及变形公式： 1 等比数列的前项和公式 (公式中涉及到哪几个基本量 ，这几个基本量中知道其中几个可以求出另外几个 )精讲互动：（师生互动）（一）提出问题 ：关于国际相棋起源问题例如：怎样求数列1，2，4，262，263的各项和？这种求

28、和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法（二）怎样求等比数列前n项的和？公式的推导方法一：则 当时， 或 当q=1时， 公式的推导方法二：由等比数列的定义，有，即 . （结论同上）公式的推导方法三：. （结论同上）三、例题讲解例1：求下列等比数列前8项的和（1）， （2）小结 “知三求二”问题，即：已知等比数列之五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个。变式：，. 求此等比数列的前5项和例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？知识拓展1. 若，则构成新的等

29、比数列，公比为.2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为.3. 证明等比数列的方法有：（1）定义法：；（2）中项法：.4. 数列的前n项和构成一个新的数列，可用递推公式表示.当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 数列1，的前n项和为（ ）.A. B. C. D. 以上都不对2. 在等比数列中，q2，使的最小n值是（ ）.A. 11 B. 10 C. 12 D. 93. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数(11111111)转换

30、成十进制的形式是（ ）. A. B. C. D. 4.等比数列的各项都是正数，若则它的前4项和为 5. 在等比数列中，则q ，n .作业布置课本第58页练习1、第61页B组第1题（选做题）等比数列的前n项和，则a .学习小结/教学反思自我评价你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差§2.5 等比数列的前n项和（二）授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标能通过前项和公式求出等比数列前项和的性质 重点难点重难点是等比数列前项和的性质学习过程与方法自主学习： 一、复习引入：1等比数列求和公式：2等比数列的通项公式. = . 那么与前项

31、和公式有什么关系？探究 1等比数列通项an与前n项和Sn的关系？例1数列的前n项和（a0，a1），试证明数列是等比数列.知识拓展：an是等比数列其中.练习：若等比数列an中，则实数m .2Sn为等比数列的前n项和, ，则是等比数列例2在等比数列中，则S30= .变式1：在等比数列中，已知，求.变式2.等比数列中，求.例3：在等比数列中,若项数为2n (nN *),S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和,则 .变式：等比数列an共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q = .知识拓展1. 等差数列中，；2. 等比数列中，.当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 等

32、比数列中，则（ ）. A. 21 B. 12 C. 18 D. 242. 等比数列中，已知，则（ ）. A. 30 B. 60 C. 80 D. 1603. 一个等比数列前项和为48，前项和为60，则前项的和为（ ）4.等比数列中，如果，则 5. 在等比数列中，若，则公比q .作业布置1、练习册2、（选做题）（1）求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，的前n项和Sn.（2）在数列中，求数列的通项公式学习小结/教学反思数列的前n项和的方法授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标掌握求前项和的方法重点难点重难点是：求前项和的方法学习过程与方法复习引入：1、等差数列前n和

33、公式及方法：2、等比数列前n和公式及方法： 精讲互动：倒序相加法：如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：*记住常见数列的前项和公式：错位相减法若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.将数列的每一项分别乘以的公比q，然后在错位相减，进而可得到数列的前项和.例 1: 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.例2：求数列前n项的和。变式：裂项相消法一般地，当数列的通项 时，往往可将变成两项的差，采用裂项相消法求和.*记住常见数列列项的公式：（1）（2） （n=1，2，3， n,k为常数）例3：求和： 变式: 作业布置课本习题课本习题第4题1. 求数列的前n项的和。2.求和：（选做题）求数列：的前n项和。学习小结/教学反思第二章数列复习课授课时间第 周 星期 第 节课型新授课主备课人学习目标1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题2. 突出方程思想的应用，选择简捷合理的运算途径，提高运算