浅谈多元函数微积分学理论与应用

1、浅谈多元函数微积分学理论与应用 机电工程学院 力学1班 刘俊 1203040110摘要：在我们的生活中，很多时候一个事物的变化是由许多其他事物共同作用的结果，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。我们在研究这类问题时，需要建立数学模型，来更好的研究变量的性质和它们之间的作用关系等等，这就是我们要学习多元函数微积分学。关键词：多元函数、偏导数、全微分、求导、隐函数等。1、多元函数的概念例、圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间的具有关系V=r2h 这里r、h在集合（r、h）r>0，h>0内取定一对值（r，h）时，V的对应值随之确定。定义 设D是R2的一个非空子集，称映射f：

2、DR为定义在D上的二元函数，通常记为 z=f（x，y），（x，y）D，把定义中的D换成n维空间Rn内的点集D，映射f：DR就称为定义在D上的n元函数。 多元函数的定义域的求法与一元函数类似，也是先写出其构成部分的各简单函数的定义域的不等式，然后解联立不等式组，得出各变量的依存关系，即定义域。与一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和定义关系有关，而与用什么字母表示自变量和因变量无关。第一节还有几个"集"的概念，比较重要的像连通集：点集D中任意两点均可用完全落在D中的折线连接起来。2、多元函数的极限定义 设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0

3、）是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点P（x，y）DU（P0，）时，都有f（P）-A= f（x，y）-A<成立，那么就称常数A为函数f（x，y）当（x，y）（x0，y0）时的极限，记作lim f（x，y）=A。与一元函数极限不同的是：二元函数的极限要求点P（x，y）以任何方式、任何方向、任何路径趋向于P0（x0，y0）时，都有f（x，y）f（x0，y0）。3、多元函数的连续性定义 设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，且P0D，如果lim f（x，y）=f（x0，y0），则称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）连续

4、。在有界闭区域上连续的函数有这样一些性质有界性最大值、最小值介值。定义 设函数f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点。如果函数f（x，y）在点P0（x0，y0）不连续，则称P0（x0，y0）为函数f（x，y）的间断点。4、偏导数的定义其实就是把一个自变量看成常数再对另一个自变量求导。要注意的就是：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数f（P）趋于f（P0），但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f（P）都趋于f（P0）。 多元函数对子变量可导与否与函数在某一点是否连续无关。

5、它的几何意义就是：Z在x0，y0处对X的偏导数表示曲面Z= f（x，y）与平行与xoz平面y= y0x交线上过点（x0，y0）的切线斜率。一般讲求某点处的偏导数是先求偏导函数，然后再求偏导函数在该点处的值。多元函数求偏导问题的实质仍是一元函数的求导问题，故一元函数的求导公式、法则仍可直接应用。求偏导时，关键是要分清对哪个变量求导，把哪个变量暂时当作常量。 分段函数在分界点处的偏导数用定义求。设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有增量如果极限存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，并记作即 (1)类似地，函数在点处对的偏导数定义为如果函数在区域内每一点处对的偏导数都

6、存在，那未这个偏导数就是的函数，称它为函数对自变量的偏导函数，记作 。类似地，可以定义函数对自变量的偏导函数，并记作由偏导函数概念可知，在点处对的偏导数，其实就是偏导函数在点处的函数值；就是偏导函数在点处的函数值。高阶偏导数:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关，同样，二阶以上的高阶混合偏导数在相应高阶偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。设函数在区域内具有偏导数于是，在内、均是的函数，若这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。按照对变量求导次序有下列四种二阶偏导数其中：称、为二阶混合偏导数，类似地，可得到三阶、四阶和更高阶的导数。

7、二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。对于二阶偏导数的符号，有必要引入如下简洁记法：，5、全微分的定义如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量z=f(x+x，y+y)-f(x,y)可以表示为z=Ax+By+o()，其中A、B不依赖于x, y，仅与x,y有关，=根号下（x）2+（y）2），此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，Ax+By称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=Ax +By。该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于x, y)的全微分。6.多元复合函数的求导法则复合函数的中间变量均为一元函数的情形如果函数及都

8、在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算： 复合函数的中间变量均为多元函数的情形设，复合而得复合函数 如果及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算： 7隐函数的求导二元方程所确定的隐函数的情形由二元方程可确定一个一元的隐函数,将之代入原方程,得到一个恒等式对恒等式两边关于变量求导,左边是多元复合函数,它对变量的导数为右边的导数自然为,于是有解出,得到隐函数的导数 。由多元复合函数的求导定理可知,当在具有一阶连续偏导数,而在可导时,才可求出复合函数的导数,若时,才有这一求导方法,实际上就是以往的直接求导数。由三元方程所确定的二元隐函数的偏导数既然二元方程可以确定一个一元的隐函数,那么三元方程便可确定一个二元的隐函数。下面,我们介绍用直接求导法求此函数的偏导数。对两边关于变量求偏导,并注意是的函数,有解出,得到二元隐函数的偏导数 。类似地，可得到, 。例如：设 , 求 。解: 将方程中的视为的隐函数,对求偏导数有再一次对求偏导数,仍然将视为的隐函数有小结：以上内容对多元函数微分法做了一个简单的总结，它能更好的使我们对多元函数的微分法的了解和学习，有一个总体的认识。参考文献：高等数学柳翠华、熊德之主编，科学出