空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案[2]

1、空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1. 能够利用共线向量、共面向量、空间向量根本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题;3. 培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；【知识梳理】、空间向量的运算1、向量的几何运算，即-1向量的数量积: 向量F那么叫做八的数量积，记作空间向量数量积的性质：丨1 ；.-.；2向量共线定理：向量 a a 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a.2、向量的坐标运算卩假设我丙厲，/心乃®，那么也=叼_ %比兀习引.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这

2、个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。华三叫，幻宀日三切妇鸟二曲+ b二年+坯卫2 +虬® 士堀a-b = 3厂优忌_对也_垢 加=加*池巧，兄運丘琦a居=%的+勺®+凸点? ?r:.:;厂?& -Lh O 占占 4&込 +(3 = 0?3夹角公式:印对+a血+口 +色2尿+；十血'4两点间的距离公式：假设，.，贝U山人儿巧第打| AB = J勺一筍尸+ 3 一乃尸+ 可一二、空间向量在立体几何中的应用2. 利用空间向量证明平行问题对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.3. 利用空间向量证明垂直问题对于垂直问题，一般是利用 -

3、' ' 进行证明;4. 利用空间向量求角度|线线角的范围0°,90°I纠1线线角的求法：I a设直线ABCD对应的方向向量分别为 a、b,那么直线AB与CD所成的角为 arc cos2线面角的求法:设n是平面二的法向量,T-是直线'的方向向量，那么直线；与平面二所成的角为3二面角的求法： 设ni, n2分别是二面角 其补角的大小如图a-i-的两个面I A3 胡 I|的|溯|就是二面角的平面角或arcc os I坷II弓丨5.利用空间向量求距离1平面的法向量的求法：设n=x,y,z，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一

4、次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量如图2利用法向量求空间距离a点A到平面比的距离：HE 茹，其中BEG,菇是平面的法向量。d ，其中7是平面二的法向量。|5|b直线：与平面二之间的距离：d =c两平行平面弘戸之间的距离：】 曲呵，其中且亡Q，恳是平面圧的法向量。a 二【例1】2021全国卷1理正方体【经典例题】ABCD-ABGD,中，BB,与平面ACD,所成角的余弦值为2C2【例3】2021全国卷三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等,【解析】D【例2】2021全国卷2文三棱锥S ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面 ABC，SA=3,那么直

5、线AB与平面SBC所成角的正弦值为A-3(B)5 (C)7(D)444【解析】DBAACAA1 60，那么异面直线 AB1与B®所成角的余弦值为 【解析】【例4】2021重庆如图，在直三棱柱 ABC-ABQ中，AB=4, AC=BC=3 D为AB的中点。I求异面直线 CG和AB的距离;假设 AB丄AC,求二面角 Ai CD-B的平面角的余弦值。【解析】513【例5】2021江苏如图，在直三棱柱 ABC ABiCi中，ABiACi , D , E分别是棱BC , CCi上的点点D不同于点C，且AD DE , F为BiCi的中点.求证：I平面ADE 平面BCCIBi ；2丨直线AF /平

6、面ADEB【例6】20I2山东在如下列图的几何体中，四边形丄 BD CB=CD=CFABCD是等腰梯形，AB/ CD / DAB=60 , FC丄平面 ABCD AEI求证：BD丄平面AED求二面角 F-BD-C的余弦值.I【解析】二面角F-BD-C的余弦值为【例7】20I2江西在三棱柱 ABC AG中，AB AC AA J5 , BC 4,点A在底面ABC的投影是线段BC的中点O 。I证明在侧棱AAi上存在一点E ,使得OE 平面BBiCiC ,并求出AE的长;2求平面AiBiC与平面BRGC夹角的余弦值。【例 8】2021 湖南四棱锥 P-ABCD中，PU平面 ABCD AB=4, BC=

7、3 AD=5, / DAB2 ABC=90 , E是 CD的中点.I证明：CD丄平面PAE假设直线 PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD的体积.【解析】V 1 S PA 1 16 匕仝128 L 533515【例9】2021广东如下列图，在四棱锥 P ABCD中，AB平面 PAD，AB/CD, PD AD，E 是 PB 中点,1F是DC上的点，且DF -AB，PH为 PAD中AD边上的高。21证明：PH 平面ABCD ；2假设PH 1,AD 2,FC 1，求三棱锥E BCF的体积；3证明：EF 平面PAB .1 1 2 16 2 12【解析】三棱锥E

8、 BCF的体积VS BCF h 1 1 FC AD h33 2【例10】2021新课标如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=Bc2aA, D是棱 AA的中点,2DC 丄 BD1证明：DC丄BC;2求二面角A-BD- C的大小.【解析】二面角A1 BD C1的大小为30C1【例11】如下列图，在四棱锥 p ABCD中，底面ABCD为矩形， 面 BDE .1证明：BD 平面PAC ；2假设PA 1, AD 2，求二面角B PC A的正切值.【解析】二面角B PC A的平面角的正切值为3PA 平面ABCD点E在线段PC上，PC 平【例12】2021天津如图，在四棱锥PABCD中，PA丄平面ABCD

9、 , AC 丄 AD , AB 丄 BC ,ABC=450,P.PA=AD=2, AC = 1.(I)证明PC丄AD ;n求二面角 A PC D的正弦值;川设E为棱PA上的点，满足异面直线 BE与CD所成的角为300，求AE的长.【解析】7306 ' 10【课堂练习】1、 2021上海假设n ( 2,1)是直线l的一个法向量，那么丨的倾斜角的大小为 用反三角函数值表示2、 2021四川如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，那么异面直线 AM与DN所成角的大小是3、2021全国卷如图，四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，

10、AC 2.2，PA 2，E是PC上的一点，PE 2EC。I证明：PC 平面BED ;n设二面角APB C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。4、 2021 辽宁理三棱锥 P- ABC中，PAI ABC AB丄 AC, PA=AC=AB, N 为 AB上一点，AB=4AN,M,S分别为 PB,BC的中点.I证明：CM丄SN；n求SN与平面CMN所成角的大小5、2021辽宁文如图，棱柱 ABC ABG的侧面BCGB是菱形，BiC ABI证明：平面AB1C 平面A1BC1 ；n设D是ACi上的点，且 AB平面BCD，求AD:DCi的值.6、 2021全国文如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，

11、AC=BC AA 1 =AB, D为BBj的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1I证明：DE为异面直线 AB1与CD的公垂线;7、 2021江西理如图 BCMA MCD都是边长为2的正三角形,(1) 求点A到平面MBC的距离；(2) 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。平面MCD平面BCD AB 平面BCD AB 2丁3。8、 2021重庆文四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形,PA 底面QB5设异面直线 AB1与CD的夹角为45° ,求二面角A1-AC1-B1的大小ABCD , PA AB , 2，点E是棱PB的中点.I证明：AE 平面PBC ;n假设 AD 1

12、，求二面角B EC D的平面角的余弦值9、2021浙江文如图，在平行四边形 翻折成 A' DE使平面A DE!平面I求证：BF/平面 A' DE;n设M为线段DE的中点，求直线ABCD中, AB=2BC / ABC=120。BCD F为线段A C的中点。FM与平面A DE所成角的余弦值。E为线段 AB的中点，将 ADE沿直线DED10、 2021重庆理四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为矩形，PA 底面ABCD PA=AB= 6，点E是棱PB的中点。1求直线AD与平面PBC的距离;2假设AD=, 3，求二面角 A-EC-D的平面角的余弦值。，CE=EF=1.点B和11、20

13、21北京理如图，正方形 ABCD四边形 ACEF所在的平面互相垂直,I求证：AF/平面BDE n求证：CFL平面BDE 川求二面角 A-BE-D的大小。12、如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点,点C为线段AD的三等分点，平面 AEC外一点F满足FC 平面BED,FB= 5a1证明：EB FD2求点B到平面FED的距离.13、2021 江苏卷如图，在四棱锥 P-ABCD中，PDL平面 ABCD PD=DC=BC=1 AB=2, AB/ DC / BCD=90。求证：PC丄BC;求点A到平面PBC的距离。14、2021 上海如图，在四棱锥 F-ABC中，底面 ABCD是

14、矩形，PA丄底面 ABCD E 是 PCAB=, AD=2/2 , PA=2. 求：1三角形PCD的面积；2异面直线BC与 AE所成的角的大小15、2021四川如图，在三棱锥P ABC中, I求直线PC与平面ABC所成角的大小； n求二面角B AP C的大小。APB 90 , PAB 60 , AB BC CA,平面 PAB 平面 ABC 。C16、2021安徽长方体ABCD ABGD中，底面ABiGU是正方形，O是BD的中点，E是棱AA,上任意一点。I证明：BD EG ；n如果 AB =2, AE =-；2 , OE EG ,求 AA 的长。17、2021北京文如图1,在Rt ABC中,C

15、90 , D, E分别为AC, AB的中点，点F为线段CD上的一点,将 ADE沿DE折起到 ADE的位置，使 AiF CD，如图2。I求证：DE /平面 ACB ；n求证：AF BE；川线段AB上是否存在点Q，使AC 平面DEQ ?说明理由。18、2021湖南如图6,在四棱锥 P-ABCD中, PU平面 ABCD底面ABCD是等腰梯形，AD/ BC, AC丄BD. I证明：BD丄PC;n假设 AD=4 BC=2直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥 P-ABCD的体积.19、如图，在三棱锥P ABC中，PA丄底面ABC , D是PC的中点，/ BAC = - , AB 2 ,

16、 AC 2 3 ,2PA 2 ,求：1三棱锥P ABC的体积2异面直线BC与AD所成的角的大小结果用反三角函数值表示20、2021安徽文如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD四边长为1的 菱形OA 2, M为OA的中点。I求异面直线 AB与MD所成角的大小;n求点B到平面OCD的距离。底面ABCD【课后作业】1. 2021 全国 n如图，正四棱柱 ABCD AB1C1U 中，AA 2AB 4，点 E在 CCi上且 GE 3EC.I证明：AC平面BED ;n求二面角 A DE B的大小.2、2021湖南四棱锥 R ABCD勺底面 ABCD是边长为1的菱形，/ BCD= 60°, E

17、是CD的中点，PA!底面 ABCDPA= 2.I证明：平面 PBEL平面PABn求平面 PAD和平面PBE所成二面角锐角的大小 3、2021福建如图，在四棱锥 P-ABC中，那么面PADL底面 ABCD侧棱PA=PD=返，底面ABC为直角梯形, 其中 BC/ ADABL ADAD=2AB=2BC=2, O为 AD中点.I求证：PCL平面ABCD求异面直线 PD与 CD所成角的大小；川线段AD上是否存在点Q使得它到平面PCD的距离为丛?2假设存在，求出A2的值；假设不存在，请说明理由.QDBD上，/ PDA=60。4、2021海南、宁夏理如图，点 P在正方体 ABCD- A1B1C1D的对角线1

18、求DP与 CC所成角的大小；2求DP与平面AADD所成角的大小。5、2005湖南文、理如图1,ABCD是上、下底边长分别为 2和6,高为.3的等腰梯形，将它沿对称轴 OO折成直二面角，如图 2。1证明：AC丄BO;n求二面角 O- AC O的大小。6、 2007安徽文、理如图,在六面体ABCD A1B1C1D1中，四边形ABC是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1 平面A1B1C1D1, DD1 平面ABCD DD=2。 I 求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面.n 求证：平面A1ACC1 平面B1 BDD1;川求二面角A BB1 C的大小.7、2007海

19、南如图，在三棱锥S ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC 90° , O为BC中点.I证明：SO 平面ABC ；n求二面角A SC B的余弦值.8、2007四川理如图,PCBM是直角梯形，/PCB = 90PM / BC , PM = 1, BC = 2,又 AC = 1,/ ACB = 120° , AB丄PC ,直线AM与直线PC所成的角为60°I求证：平面PAC丄平面ABC ;n求二面角MAC B的大小；川求三棱锥 P MAC的体积CN10、 2006福建文、理如图，四面体ABCD中, ° E分别是BD BC的中点，CACBCDB

20、D 2,AB AD 2.9、(2006全国I卷)如图，li、|2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段点A、B在h上，C在I?上,AM MB MN。I证明 ACL NB;(n )假设 ACB 60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值。I求证：AO 平面BCDII丨求异面直线 AB与CD所成角的大小;III丨求点E到平面ACD勺距离。11、 2021福建文如图，在长方体ABCD- AiBGD中，E, H分别是棱 AB,DiG上的点点 E与Bi不重合，且EH/AQ。过EH的平面与棱 BB,CC1相交，交点分别为 F, GI证明：AD/平面EFGHII丨设AB=2AA=2a。在长方体

21、ABCD-ABQD内随机选取一点，记该点取自于几何体AABFE - DQCGF内的概率为 p。当点E, F分别在棱A1B1, B 1B上运动且满足 EF=a时，求p的最小值。12、如图，四棱锥 P ABCD的底面是正方形，PD 底面ABCD，点E在棱PB上.I求证：平面 AEC 平面PDB ;当PD2AB且E为PB的中点时，求 AE与平面PDB所成的角的大小4，AB 2.以AC的中点13、在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA ADO为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N .MND.yNA1求证：平面ABM丄平面PCD ；2求直线CD与平面ACM所成的角的大小；3求点N到平面ACM的距离.AE 。14、如图4，在正三棱柱 ABC ABG中，AB J2AA。 D是AB的中点，点E在ACi上，且D