矩阵的LU分解(自编MATLAB)实验报告

1、1矩阵的LU分解1.1 LU分解原理定理：设AC n n,如果A的顺序主子式?1?12?2?2,亠,?1?2?22. ?2|丸，l ?1工0?-11?-12?-1?-1? 02 少少那么存在唯一的主对角线上元素全为1的下三角矩阵L与唯一的上三角矩阵U，使得A=LU.证明：对矩阵A的阶数使用数学归纳法.显然，当n=1时，？?1=1 ?1就是唯一的分解式。现假定对n-1 阶矩阵，定理的结论成立。对 A进行分块?_?A=( ?歹其中？?？?？?-?.由于n-1阶矩阵？?_?的k阶顺序主子式就 是A的k阶主子式k=1,2,，n-2故它们都不为零.从而由归 纳法假设，？?_?有唯一的LU分解?_? =

2、?_?-?其中?-?的主对角线上的元素都1由于02少少?2| =1 ?-?-? 0?-11?2?2所以?-?及?-?是n-1阶可逆矩阵先假设已有A=LU，其中L = (?詁？ 0),/?-?、=(?1? ?尹?是待定向量。作乘积?=耀?-?-?二=严?？ ？?)=A ?_?+ ? ?壽？ ？?厶那么? ?必须满足注意到？?_?及77?-?都是n-1阶可逆矩阵，那么由上式可惟一确定?= ?-?-? ?，? ?= ? ?-?-?, ?= ? ?-这就证明了 A 的 LU 分解的存在性和唯一性1.2 LU 分解算法当 n 阶矩阵满足定理的条件时，可以用初等变换的方法求出 L 和 U.因为当 A=LU

3、 时，由于 L 可逆，故必存在可逆矩阵 P 使得 ?=? ?即PA=PLU=U .也就是说，可以先对 A施行行的初等变换得出 上三角矩阵U，而矩阵P可以通过对单位矩阵I进行相同的行初等变 换得出，即P(A,I) =(PA,PI) =(U,P)于是？?= ?为保持P为下三角矩阵从而？?也是下三角矩 阵，在进行行初等变换时，不能进行行的对换，上行的倍数应加到 下行的对应元 .1.3 LU 分解用于解方程组 矩阵的三角分解在求解线性方程组时十分方便 .如对线性方程组?=? ?设, ?= ?我. 们先求解方程组 ?=? ?.由于?是下三角矩阵， 那么解向量 ?可以通过依次求出其分量 ?1?, ?2?,

4、 ? ?而求出，在求解方程 组?= ?解. 向量 ?可以通过该方程组依次求出分量 ?, ? ,?2,?1而快 速得出 .于是由两个方程组 ?= ?， ?=? ?的求解而给出?=?=? ?= ?的?解.程序流程图1.5 MATLAB 程序fun cti on f=LU_decom(A)m, n=size(A)if m=nfprintf( Error:m and n must be equal!m=%d,n=%dn：m,n) endfor i=1: n-1if (det(A(1:i,1:i)=0)fprintf( Error:det A(%d,%d)=0!n ,i,i)flag二failurere

5、turn;elseflag=ok;endendL=eye(n); U=zeros(n);for i=1:nU(1,i)=A(1,i);endfor r=2:nL(r,1)=A(r,1)/U(1,1); end for i=2:n for j=i:n z=0;for r=1:i-1 z=z+L(i,r)*U(r,j);endU(i,j)=A(i,j)-z;endif abs(U(i,i) A=2 1 1;4 1 0;-2 2 1;LU_decom(A)m =3n =3L =100210-1-31U =2110-1-200-42解方程组，程序及结果如下%-用LU分解解线性方程组 y=zeros(n,1);y(1)=b(1);for i=2:ny(i)=b(i)-sum(L(i,1:i-1).*y(1:i-1); end y x(n)=y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-sum(U(i,i+1:n).*x(i+1)/U(i,i); end x=x 运行结果如下：y =102x =数据分析调用MATLAB固有的LU分解函数，以及解方程组相关函数对以上数据进行计算，运行结果如下： A=2 1 1;4 1 0;-2 2