1212单位圆中的三角函数线

1、1.1.设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P P（x x，y y），角），角的三角函数是怎样定义的？的三角函数是怎样定义的？sinycosxtan(0)yxx2.2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？三角函数在各象限的函数值符号分别如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦. .3.3.公式公式 ， ， ( ).( ).其数学意义如何？其数学意义如何？ sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ终边相同的角的同名三角函数值相等终边相同的角的同名三角函数值相等. .4.4.角是一个几何概念，同时角的大小

2、也具有数量特征角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征. .我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一. . 问题问题1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆为第一象限角，其终边与单位圆的交点为的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是正数，都是正数，你能分别用一条线段表示角你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？的正弦值和余弦值吗？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM|sinMPy|cosOMx

3、问题问题2 2：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为P P（x x，y y），则），则 ， 都是负数，都是负数，此时角此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？sinycosx|sinMPy|cosOMxP P（x x，y y）O Ox xy yM M 有向线段的问题：有向线段的问题：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，我根据

4、实际需要，我们规定们规定1、起点和终点的规定、起点和终点的规定（特殊点为起点）（特殊点为起点） 线段端点中含有原点时，原点为起点；线段端点中含有原点时，原点为起点；不含原点时，落在坐标轴上的点为起点。不含原点时，落在坐标轴上的点为起点。2、线段从始点指向终点的方向即为有向线段的线段从始点指向终点的方向即为有向线段的方向。方向。3、当有向线段的方向与坐标轴正方向相同时为、当有向线段的方向与坐标轴正方向相同时为正方向，反向时为负方向正方向，反向时为负方向.规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段有向线段. .由上分析可知，当角由上分析可知，当角为第一、三

5、象限角时，为第一、三象限角时，sinsin、coscos可分别用有向线段可分别用有向线段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP= sin，OM=cosOM=cos，那么当角，那么当角为第二、四象限角时，你能检验为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？这个表示正确吗？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考：思考：设角设角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P，过点，过点P P作作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M M，称有向线段，称有向线段MPMP，OMOM分别为角分别为角的正弦线和余弦线的正弦线

6、和余弦线. .当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和余弦线的含义如何？的正弦线和余弦线的含义如何？P PO Ox xy yM MO Ox xy yP PP P思考：思考：设设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明明sinsincoscos1 1吗？吗？P PO Ox xy yMMPMPOMOMOP=1OP=1A AT T问题问题1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与单为第一象限角，其终边与单位圆的交点为位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，用是正数，用哪条有向线段表示角哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最

7、合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxAT T问题问题2 2：若角若角为第四象限角，其终边与单位为第四象限角，其终边与单位圆的交点为圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，是负数，此时用哪条有向线段表示角此时用哪条有向线段表示角的正切值最合的正切值最合适？适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxA AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考：思考：若角若角为第二象限角，其终边与单位圆的交为第二象限角，其终边与单位圆的交点为点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条是负数，此时用哪条有向线段表示角有向线段表示角的正

8、切值最合适？的正切值最合适？tanyxtanyATxtanyx思考：思考：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为P P（x x，y y），则），则 是正数，此时用哪条有向是正数，此时用哪条有向线段表示角线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MA AT TA AT TtanyATx思考：思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点过点A A（1 1，0 0）作单位圆的切线，与角）作单位圆的切线，与角的终边或其反的终边或其反向延长线相交于点向延长线相交于点T T，则，则AT=

9、tanAT=tan. .A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考：思考：当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正切线的正切线的含义如何？的含义如何？O Ox xy yP PP P当角当角的终边在的终边在x x轴上时，角轴上时，角的正切线是一个点；的正切线是一个点；当角当角的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角的正切线不存在的正切线不存在. .思考：思考：观察下列不等式：观察下列不等式：你有什么一般猜想？你有什么一般猜想？ sintan666pppsi ntan444pppsi ntan333ppp思考：思考：对于不等式对于不等式（其中（其

10、中为锐角），你能用数形结合思想证明吗？为锐角），你能用数形结合思想证明吗？si ntanaaaP PO Ox xy yM MA AT T解答解答 已知已知(0， )，试证明，试证明sintan .2证明：证明：sin=|ON|=|MP|, =APtan=|AT|.又又OATOAPSS扇形所以所以1122OAOA AT即即sinO Ox xy y2( ,)33ppaP PM MP P1 1P P2 232y=例例3 3 求函数求函数 的定义域的定义域. .( )2cos1f aa=-O Ox xy yP P2 2M MP P1 112x=2,2()33kkkZppapp -+P P1.1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具数图象的有效工具. .2.2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余正弦线的始点随角