2022年2022年高考数学数列知识点

1、高考数学数列学问点学问清单1数列的概念（ 1）数列定义 ：按确定次序排列的一列数叫做数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载数列中的每个数都叫这个数列的项.记作an ,在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项）,在其次个可编辑资料 - - - 欢迎下载位置的叫第 2 项,序号为 n的项叫第 n 项（也叫通项）记作an .可编辑资料 - - - 欢迎下载数列的一般形式：a1 , a2 , a3 ,an ,简记作an.可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 2）通项公式的定义 ：假如数列就叫这个数列的通项公式.说明： a n 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式可编辑资料 - -

2、 - 欢迎下载an表 示 数 列 ,an表 示 数 列 中 的 第 n项 ,an=fn表 示 数 列 的 通 项 公 式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载 同 一 个 数 列 的 通 项 公 式 的 形 式 不 一 定 唯 一 . 例 如 ,不是每个数列都有通项公式.例如,1, 1.4, 1.41,1.414,（3）数列的函数特点与图像表示：a= 1n =1,nn1,n2k1kZ .2k可编辑资料 - - - 欢迎下载序号： 123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射.从函数观点看, 数可编辑资料 - - - 欢迎下载列实质上是定义域为

3、正整数集N（或它的有限子集）的函数f n当自变量 n 从 1 开头依次取值时对可编辑资料 - - - 欢迎下载应的一系列函数值f 1, f2,f 3, f n ,通常用an 来代替 fn,其图像是一群孤立点.可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 4）数列分类 :按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列.按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列，递减数列），常数列和摇摆数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 5）递推公式定义 ：假如已知数列an的第 1 项（或前几项）,且任一项an 与它的前一项an 1 （或前可编辑资料 - - - 欢迎下载几项）间的关系可以用一个公式来表示,那么

4、这个公式就叫做这个数列的递推公式.S1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载6 数列 a n 的前 n 项和留意：此公式较重要。Sn 与通项an 的关系 ： anSnSn 1 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载等差数列学问点1，等差数列定义：一般地,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.用递推公式表可编辑资料 - - - 欢迎下载示为 anan 1d n2 或 an 1and n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载2，等差数列的通项公式：ana1n1d .可编辑资料 - - - 欢

5、迎下载说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性： d0 为递增数列, d减数列.3，等差中项 的概念：0 为常数列, d0为递可编辑资料 - - - 欢迎下载定义：假如 a , A , b 成等差数列,那么A 叫做 a 与b 的等差中项,其中Aab .即：a , A , b2可编辑资料 - - - 欢迎下载成等差数列Aab 2或者 2A=a+b.可编辑资料 - - - 欢迎下载4，等差数列的前 n 和的求和公式 ： Snna1an na1n n1d .可编辑资料 - - - 欢迎下载225，等差数列的性质 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1）在等差数列（ 2）在等差数列an中,从

6、第 2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项.an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载如： a1 , a3 , a5 , a7 ,. a3 , a8 , a13 , a18 ,.可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 3）在等差数列a中,对任意 m , nN, aa nmd , danam mn .可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 4）在等差数列nnmnman中,如 m , n , p , qN且 mnpq ,就 amanapaq .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载说明：设数列 an是等差数列,且公差为d ,可编辑资料 - - -

7、 欢迎下载（）如项数为偶数,设共有2n 项,就 S 奇S 偶nd . S奇S偶an.an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载（）如项数为奇数,设共有2n1项,就 S 偶S 奇S奇naa.可编辑资料 - - - 欢迎下载6，数列最值n中S偶n1可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1） a10 , d0 时, Sn 有最大值.a10 , d0 时,Sn 有最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 2） Sn 最值的求法：如已知Sn ,可用二次函数最值的求法（nN）.如已知an ,就Sn 最值时可编辑资料 - - - 欢迎下载n 的值（ nN）可如下确定an0或an 10an0.an 10可编辑资

8、料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载1等比数列定义等比数列学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载一般地,假如一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就可编辑资料 - - - 欢迎下载叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比. 公比通常用字母 q 表示 q（留意：“从其次项起”，“常数” q ，等比数列的公比和项都不为零）0 ,即：an1 ：anq q0可编辑资料 - - - 欢迎下载2等比数列通项公式为：anaq n1 aq0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载11说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d1 时该数列既是等比数列也是

9、等差数列. （2）可编辑资料 - - - 欢迎下载等比数列的通项公式知：如 an am为等比数列,就anq m n .可编辑资料 - - - 欢迎下载3等比中项可编辑资料 - - - 欢迎下载假如在a与 b 中间插入一个数 G ,使 a, G ,b 成等比数列,那么 G 叫做a与b 的等比中项（两个符号相同可编辑资料 - - - 欢迎下载的非零实数,都有两个等比中项） .4等比数列前 n 项和公式可编辑资料 - - - 欢迎下载一 般 地 , 设 等 比 数 列a1 , a2 , a3 ,L, an ,L的 前n项 和 是 Sna1a2a3Lan , 当 q1 时 ,可编辑资料 - - - 欢

10、迎下载a 1q n aa q可编辑资料 - - - 欢迎下载nnnS1或 S1n.当 q=1 时, Sna1（错位相减法）.可编辑资料 - - - 欢迎下载1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载说明：（ 1） a1, q, n, Sn和 a1,a n, q, Sn各已知三个可求第四个. （2）留意求和公式中是q n ,通项公可编辑资料 - - - 欢迎下载式中是q n 1 不要混淆.（ 3）应用求和公式时 q1 ,必要时应争辩 q1 的情形（确定要记住这有一点,可编辑资料 - - - 欢迎下载防止在解题时漏解） .可编辑资料 - - - 欢迎下载5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：假如

11、a n 是等比数列的第 n 项, am 是等差数列的第 m 项,且 mn ,公可编辑资料 - - - 欢迎下载nm比为 q ,就有 a nam q.可编辑资料 - - - 欢迎下载对于等比数列a n,如 nmuv ,就 anamauav ,其中 n,m,u,v 是正整数.可编辑资料 - - - 欢迎下载如数列a是等比数列,S 是其前 n 项的和, kN* ,那么S , SS , SS成等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载nnk2kk3 k2k可编辑资料 - - - 欢迎下载数列通项与求和可编辑资料 - - - 欢迎下载1数列求通项与和sn（ 1）数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关

12、系式： an=s1（ 2）求通项常用方法作新数列法.作等差数列与等比数列.sn 1n2 .n1可编辑资料 - - - 欢迎下载累差迭加法.最基本的形式是：an=an an1+an 1+an 2+a2a1+a1.归纳，猜想法.（ 3）数列前 n 项和重要公式： 1+2+n= 1 nn+1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载12+22+n2= 16nn+12n+1.可编辑资料 - - - 欢迎下载3332122.可编辑资料 - - - 欢迎下载1 +2 +n=1+2+n=n n+14可编辑资料 - - - 欢迎下载等差数列中, Sm+n=Sm+Sn+mnd.等比数列中, Sm+n=Sn+qnSm=

13、Sm+qmSn.裂项求和法将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=fn+1 fn ,然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂 后 消 的 求 和 法 叫 裂 项 求 和 法 . 用 裂 项 法 求 和 , 需 要 掌 握 一 些 常 见 的 裂 项 , 如 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载a111n1 ，1= 1 1，n·n。=n+1. n.，Cnr 1r=C1n可编辑资料 - - - 欢迎下载 AnB AnC CBAnBAnCn n1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载，1 Cn rn= 1 n1.n.1等.n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载可

14、编辑资料 - - - 欢迎下载错项相减法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和,常用错项相消法. a nbncn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载其 中bn是 等 差 数 列 ,cn是 等 比 数 列 , 记 Snb1c1b2c2bn 1cn 1bn cn, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载qSnb1c2bn 1cnbncn 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载并项求和可编辑资料 - - - 欢迎下载把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn.数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法.可编辑

15、资料 - - - 欢迎下载通项分解法： an2递归数列bncn可编辑资料 - - - 欢迎下载数列的连续如干项中意的等量关系an+k=fan+k 1,an+k 2,an称为数列的递归关系.由递归关系及k 个可编辑资料 - - - 欢迎下载初始值可以确定的一个数列叫做递归数列.如由an+1=2an+1,及 a1 =1,确定的数列 2 n1 即为递归可编辑资料 - - - 欢迎下载数列.递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳，猜想，数学归纳法证明.（2）迭代法.（3）代换法.包括代数代换,对数代数,三角代数.（4）作新数列法.最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题.方法技巧 :1判定和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载(1) 定义法：对于n2的任意自然数, 验证 an(2) 通项公式法：an 1an/ an1 为同一常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载如=+（ n-1 ） d=+（ n-k ） d ,就an为等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载如,就(3) 中项公式法：验证中项公式成立.an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2