指数与指数函数板块二学生版

1、Go the distance板块二.指数函数典例分析题型一 指数函数的定义与表示【例1】求下列函数的定义域æ 1 ö5 x1(4) y = (0.7)x(1) y = 23-x(2) y = 32 x +1(3) y = ç÷è 2 ø【例2】求下列函数的定义域、值域1 y = 3- x ；2 y = 0.51+2 x- x y = 2 x -1 ；【例3】求下列函数的定义域和值域：1211 y = 1- a x2 y = () x +3【例4】求下列函数的定义域、值域1(1) y = 0.4 x-1 ；(2) y = 3 5x-1

2、 .(3) y = 2x + 1Go the distance【例5】求下列函数的定义域1(1) y = 3x ;(2) y = 5 x -1 .已知指数函数 f ( x) = ax (a > 0 , 且 a ¹ 1) 的图象经过点(3 , ) ，求 f (0) ， f (1) ，【例6】f (-3) 的值若 a > 1， b > 0 ，且ab + a-b = 2 2 ，则ab - a-b 的值为（）【例7】A 6B 2 或-2C -2D 2题型二 指数函数的图象与性质【例8】 已知a > b > c > 1，比较下列各组数的大小：æ 1

3、 öbæ 1 öc11 abac ； ç； abac ； baca ÷ç ÷è a øè a ø【例9】 比较下列各题中两个值的大小： 0.8-0 1 ， 0.8-0 2 ； 1.72 5 ，1.73 ； 1.70 3 ， 0.93 1 【例10】比较下列各题中两个值的大小(2) 0.75-0 1 ，0.750 1(1) 30 8 ，30 7(3)1.012 7 ，1.013 5(4) 0.993 3 ，0.994 5Go the distance【例11】已知下列不等式，比较 m、n

4、 的大小2m < 2n(2) 0.2m > 0.2n(4) am > an (a > 1)(1)(3) am < an (0 < a < 1)【例12】图中的曲线是指数函数 y = ax 的图象，已知a 取 3 , 1 , 3 四个值，则相应于3 10 54曲线c1 , c2 , c3 , c4 的a 依次为yc 3c 2c 4P2c 1P1 P4P31xO【例13】已知a = 5 -1 ，函数 f (x) = ax ，若实数m，n 满足 f (m) > f (n) ，则m，n 的大小2为【例14】设 a = 4 24 ， b = 3 12 ，

5、c = 6 ，则a ， b ， c 的大小是 【例15】若对 x Î1, 2 ，不等式2x+m > 2 恒成立，求实数m 的取值范围Go the distance1函数 y = ( )31- x【例16】的单调性【例17】函数 f (x) = e|x| （）A是奇函数，在(-¥, 0 上是减函数C是奇函数，在0, +¥) 上是增函数B是偶函数，在(-¥, 0 上是减函数D是偶函数，在(-¥, +¥) 上是增函数f(x)为偶函数，当 x Î(0 ，+ ¥) 时， f ( x) = -2x+1 ,求当 x 

6、06;(-¥ ，0) 时，【例18】已知函数f ( x) 的式.【例19】证明函数 y = a x 和 y = a -x (a > 0且a ¹ 1) 的图象关于 y 轴对称。题型三 关于指数的复合函数1.二次函数复合型2æ 1 öx -2 x【例20】求函数 y = ç 2 ÷单调区间，并证明è øGo the distance2æ 1 öx -2 x【例21】函数 f (x) = ç 3 ÷的单调增区间为，值域为è ø【例22】函数 f (x) =

7、 3 × 4x - 2x ，求 f (x) 在 x Î0, +¥) 上的最小值【例23】求函数 f (x) = 4x - a × 2x+1 + 3 (x Î R) 的值域【例24】已知 y = 4x - 3 × 2x + 3 ，当其值域为1, 7 时， x 的取值范围是 【例25】求下列函数的单调区间2 y = a- x +3x+2 （ a > 0 ，且a 1 ）；已知9x - 10 ´ 3x + 9 0 ，求函数 y = (1)x-1 - 4 × (1)x-1 + 5 最值422【例26】函数 y = a-

8、2x -8x+1(0 < a < 1) 的单调增区间是【例27】设 f (x) = 1 + 2x + a × 4x (a Î R) ，当 x Î (-¥,1 时， f (x) 的图象在 x 轴上方，求a 的Go the distance取值范围【例28】如果函数 y = a2x + 2ax - 1(a > 0, a ¹ 1) 在区间-1,1 上的最大值是14 ，求a 的值æ 1 öxæ 1 öx【例29】求函数 f (x) = ç 4 ÷- ç 2 

9、7;+ 1 (x Î-3, 2) 的单调区间及其值域è øè ø【例30】已知-1 x 2 ，求函数 f (x) = 3 + 2 × 3x+1 - 9x 的最大值和最小值- 2a (2x + 2-x ) 的最小值，并指出使 f ( x) 取得最小值时 x 的【例31】求函数 f ( x) = 4值-2.分式函数复合型【例32】当 a1 时，证明函数 f (x) =ax + 1是奇函数ax -1Go the distance【例33】求证下列命题：ax - a- x(1) f ( x) =（a0，a1)是奇函数；2(ax + 1)x(2

10、) f ( x) =（a0，a1）是偶函数.ax -12x - 1【例34】已知函数 f ( x) =+ 1 ，2x函数 f ( x) 的奇偶性；(1)(2)求证函数 f ( x) 在(-¥ ，+ ¥) 上是增函数.2x - 1【例35】讨论函数 f (x) =的奇偶性、单调性，并求它的值域2x + 110x -10-x10x + 10-x【例36】已知 f (x) =，函数的单调性、奇偶性，并求 f (x) 的值域Go the distance及函数 f ( x) 满足4x = 1 + f ( x) ，且 f ( x ) + f ( x ) = 1，求 f ( x)+ x

11、【例37】正实数 x ，x1 - f ( x)121212的最小值2【例38】设a Î R ， f (x) = a -(x Î R) ，若 f (x) 为奇函数，求a 的值2x +1【例39】在计算机的算法语言中有一种函数x 叫做取整函数（也称函数），它表示 x的整数部分， 即x 是不超过 x 的最大整数 例如： 2 = 2 ， 3.1 = 3 ，2x1-2.6 = -3 设函数 f (x) =-，则函数 y = f (x) + f (-x) 的值域为 1 + 2x2题型四 其他综合题目【例40】小明即将进入一大学就读，为了要支付 4 年学费，小明欲将一笔钱存入，使得每年皆

12、有 40000 元可以支付学费而所提供的年利率为 6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入的钱的数额Go the distance- x2 +2 x+3 的单调区间【例41】求函数 y = 2【例42】已知函数 y =| 2x - 2 |，作出函数的图象；根据图象指出函数的单调区间；根据图象指出当 x 取什么值时，函数有最值【例43】方程2x = 2 - x 的解的个数为12|x| 【例44】已知函数 f ( x) = 2x -，若 f (x) = 2 ，求 x 的值；若2t f (2t ) + mf (t ) 0 对于t Î1，2 恒成立，求实数m 的取值范围【例45】函数 y

13、= lg(3 - 4x + x2 ) 的定义域为M，当 xM 时，求 f ( x) = 2x + 2 - 3´ 44 的最值.2【例46】设 a 是实数， f ( x) = a -(xR)2x +1Go the distance(1) 试证明对于任意af ( x) 为增函数；(2) 试确定 a 值，使 f(x)为奇函数.【例47】因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复合后得到的，比如下列函数： f (x) = 2x ，g (x) =x ，h(x) = x2 ，g éë f (x)ùû = g (2x )

14、 =f ( x) ，g ( x )2x则复 合 后 可 得 到 函 数和f ( x ) = 2 x ，像这样，一个函数的函数值作为另一个函数的自变量f éëg ( x)ùû =的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由 f ( x) ，g ( x ) 进行乘法运算得到函数 f ( x) g ( x) =x × 2x 所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究复合函数 f h éëg ( x)ùû 的为式为；其定义域f (x) g (x

15、) =x × 2x 是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是可否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；已知函数 f (x) =x - 2-x ，若 f ( x + 1) > f (2x - 1) ，则 x 的取值范围为请用函数 f (x) = 2x ，g (x) = x ，h(x) = x2 ，k (x) = ln x 中的两个进行复合，得到三个函数，使它们分别为偶函数且函数、奇函数且非偶函数、非偶函数a【例48】已知函数 f (x) =(ax - a-x ) ，其中a > 0 ， a ¹ 1a2 -1Go the distance函数 f (x)

16、 的奇偶性；函数 f (x) 的单调性，并证明a【例49】已知 f (x) =(ax - a-x )(a > 0 , a ¹ 1) 是R 上的增函数，求a 的取值范围a2 - 2【例50】已知函数 f ( x) = b ax (其中B(3,24).(1)求 f ( x) ；a，b 为，且 a>0，a1)的图象经过点 A(1,6)，æ 1 öxæ 1 öx³ m 在 x Î(-¥ ，1)+ ç 3 ÷成立，求实数m 的取值范围.(2)若不等式ç 2 ÷è

17、øè ø【例51】已知 f (x) = x æ+ 1 ö 1ç2 ÷2 -1xèø求证： f (x) > 0 ；若 F (x) = f (x + t) + f (x - t) （ t 为常数），F (x) 的奇偶性Go the distancemina ，b ，c【例52】用表 示 a ， b ， c 三 个 数 中 的 最 小 值 ， 设f (min2x ，x + 2 ，10 - x (x 0) ，则 f (x) 的最大值为（）A4B5C6D7【例53】已知函数 f ( x) = ax 满足条件：

18、当 x Î(-¥,0) 时， f ( x) > 1 ；当 x Î (0,1) 时，不等f (1 + mx - x2 ) >式， f (3mx -1) >f (m + 2) 恒成立，求实数m 的取值范围且a ¹ 1) 仔区间0, + ¥) 上是增函数，那么【例54】如果函数 f (x) = ax (ax - 3a2 -1) (a > 0,实数a 的取值范围是（）é 3B,ö1A æ 0, 2 ùC (1,D æ 2 , +¥ö3ùêçç 3÷3 ú÷ûèûèø