工程数学线性代数第四章

1、 . 如如 向量组向量组 A:,a,a63321121因为因为 -3a1 + a2 = , 06336336332113所以线性相关所以线性相关. 而这两个向量的对应分量的比而这两个向量的对应分量的比都是都是 1/3.yOx1 2 3 4 5 6123456 M1(1,2)M2(2,4)M3(3,6) 在直线在直线 y =2x 取三点取三点M1, M2 , M3 , 作三个向量作三个向量: )21 (11,OMa)4 , 2(22 OMa)6 , 3(33 OMa. 2)(1,1,11 RMa) 2, 0 , 2(22 RMa2), 2 , 0(33 RMaM1M2M3Ox3y3z3R作三个向

2、量作三个向量: =3. 在在 上取三点上取三点: M1(1,1,1) , M2(2,0,1) , M3(0,2,1) , 如给定平面如给定平面 : x+y+z 设有四维向量组设有四维向量组,6914,13283,5421,41324321有有 3 = 2 1 - 2 , 4 = 1 + 2 2 , 所以向量组所以向量组 1,. 如图如图 3 2 , 3 , 4 线性相关线性相关, 其几何意义为其几何意义为: 从几何上讲从几何上讲, 若四维向量组所对应的平面组若四维向量组所对应的平面组同一直线则该向量组一定线性相关同一直线则该向量组一定线性相关.中至少有三个平面共线中至少有三个平面共线, 即至少

3、有三个平面交于即至少有三个平面交于.定理定理定理定理向量组线性相关的充分必要条件是向量组线性相关的充分必要条件是向量组线性相关的充分必要条件是向量组线性相关的充分必要条件是有有因因 k1, k2, . , km不全为不全为 0 , 不妨设不妨设 k1 0 , 于是便于是便k1a1+ k2a2+ . + kmam= 0 .使使性相关性相关, 则有则有 m 个不全为零的实数个不全为零的实数 k1, k2, . , km必要性必要性必要性必要性 设向量组设向量组 A: a1, a2, . , am线线示示示示.该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表该向量

4、组中至少有一个向量可由其余向量线性表该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表证明证明证明证明定理定理定理定理向量组线性相关的充分必要条件是向量组线性相关的充分必要条件是向量组线性相关的充分必要条件是向量组线性相关的充分必要条件是有有因因 k1, k2, . , km不全为不全为 0 , 不妨设不妨设 k1 0 , 于是便于是便k1a1+ k2a2+ . + kmam= 0 .使使性相关性相关, 则有则有 m 个不全为零的实数个不全为零的实数 k1, k2, . , km必要性必要性必要性必要性 设向量组设向量组 A: a1, a2, . , am线线示示示示.该向量组中至少有一个向量可由其余

5、向量线性表该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表证明证明证明证明.多余的方程多余的方程, 就称就称; 当方程组中没有当方程组中没有方程的线性组合时方程的线性组合时, 这个方程就是多余的这个方程就是多余的, 这时称这时称用于线性方程组用于线性方程组. 当方程组中有某个方程是其余当方程组中有某个方程是其余 向量组的线性相关与线性无关的概念也可移向量组的线性相关与线性无关的概念也可移 n 维向量组维向量组100,010,00121neee称为称为 , 试讨论它的线性相关试讨论它的线性相关性性. 讨论下列向量组的线

6、性相关性讨论下列向量组的线性相关性:;8213254167214102(1)4321a,a,a,a.b,b,b,b173341624685253413(2)4321;8213254167214102(1)4321a,a,a,a123421130241( ,)17524628a a a a13rr175202412113462813rr314124rrrr1752024101311702222163242611rrrr314124rrrr17520241013510066517520241013510066523322rrrr17520135100741006653434rrr175201351

7、0021006654333rr175201351002100038则则1234R( ,)=4a a a a故此向量组线性无关故此向量组线性无关.b,b,b,b173341624685253413(2)4321123435641243(b ,b ,b ,b )45233816171243356445230310134112rrrr321213rrrrr 12430165021210031013323223rrrr34rr12430165000000821243016500820000则则1234R(b ,b ,b ,b )=3,故此向量组线性相故此向量组线性相关关 已知向量组已知向量组 a1 ,

8、 a2 , a3 线性无关线性无关, b1= a1+a2 , b2 =a2 + a3 , b3 = a3 + a1 , 试证向量组试证向量组 b1 , b2 , b3 线性无关线性无关.x1b1+ x2b2+ x3b3= 0 ,即即x1(a1+ a2) + x2(a2+ a3) + x3(a3+ a1) = 0 ,亦即亦即(x1+ x3)a1+ (x1+ x2)a2+ (x2+ x3)a3= 0, 因因 a1, a2, a3线性无关线性无关, 故有故有例例例例 6 6已知向量组已知向量组 a1, a2, a3线性无关线性无关, b1= a1+a2 , b2 =a2 + a3, b3= a3+

9、a1, 试证向量组试证向量组 b1, b2, b3线性无关线性无关.证法一证法一证法一证法一 直接用定义直接用定义直接用定义直接用定义设有设有 x1, x2, x3使使例例例例 6 6已知向量组已知向量组 a1, a2, a3线性无关线性无关, b1= a1+a2 , b2 =a2 + a3, b3= a3+ a1, 试证向量组试证向量组 b1, b2, b3线性无关线性无关.证法二证法二证法二证法二 利用方程组有解的条件利用方程组有解的条件利用方程组有解的条件利用方程组有解的条件把把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,110011101),(),(32132

10、1aaabbb记记作作 B = AK . 设设 Bx = 0，以以 B = AK 代入得代入得方法评注方法评注方法评注方法评注本本例中给出了三种例中给出了三种证明向量组线性相关性的证明向量组线性相关性的常用方法常用方法. 证法一和证法二属于同一证法的两种证法一和证法二属于同一证法的两种不同语言的描述，证法一用几何语言，证法二用不同语言的描述，证法一用几何语言，证法二用矩阵语言矩阵语言. 这种方法的关键是：按定义把证明向这种方法的关键是：按定义把证明向量线性无关转化为证明齐次方程组没有非零解量线性无关转化为证明齐次方程组没有非零解.证法三用了矩阵的秩的有关知识，还用了定理证法三用了矩阵的秩的有关知识，还用了定理4从而不涉及线性