复变函数的基本概念及运算（课堂PPT）

1、.1第第1章复变函数章复变函数.2本章内容提要本章内容提要.3iyxz)sin(cosiz3 指数式指数式iez 2 三角式三角式 1 代数式代数式 xyz(x,y)或(,)复平面一一 复变函数积分定义复变函数积分定义二二 复数的几何意义复数的几何意义欧拉公式的证明欧拉公式的证明.4三三 复数的四则运算复数的四则运算采用指数表示可方便乘除运算采用指数表示可方便乘除运算.5四四 乘方、方根乘方、方根五五 共轭复数共轭复数.6000121222)!12()!2()(!1nkkkkkknikikiine22100( 1)( 1)(2 )!(21)!kkkkkkikkcossini.7一一 基本初等函

2、数的定义基本初等函数的定义.8一一 基本初等函数的定义基本初等函数的定义.9一一 基本初等函数的定义基本初等函数的定义.10二二 复变函数的定义复变函数的定义.11三三 邻域、内点、外点、境界点邻域、内点、外点、境界点.12三三 区域、闭区间、单连域或复连域区域、闭区间、单连域或复连域.13三三 区域、闭区间、单连域或复连域区域、闭区间、单连域或复连域.14四四 复变函数极限复变函数极限.15一一 导数的定义导数的定义.16二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件.17二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件1 直角坐标系的柯西直角坐标系的柯西黎曼方程黎曼方程 xyxivyxuyx

3、xivyxxuzwxz),(),(),(),(limlim00 xyxvyxxvixyxuyxxux),(),(),(),(lim0 xvixu.18二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件1 直角坐标系的柯西直角坐标系的柯西黎曼方程黎曼方程 yiyxivyxuyyxivyyxuzwyz),(),(),(),(limlim00yyxuyyxuiyyxvyyxvy),(),(),(),(lim0yuiyv.19二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件1 直角坐标系的柯西直角坐标系的柯西黎曼方程黎曼方程 .20二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件2 极坐标系的柯西极坐标系的柯

4、西黎曼方程黎曼方程 izeivuivuzw)(),(),(),(),(limlim00ixevviuu),(),(),(),(lim0)(viuei.21二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件2 极坐标系的柯西极坐标系的柯西黎曼方程黎曼方程 izeiivuivuzw),(),(),(),(limlim00),(),(),(),(lim0uuivvei)(uivei.22三三 复函数可导的充分条件复函数可导的充分条件.23三三 复函数可导的充分条件复函数可导的充分条件.24三三 复函数可导的充分条件复函数可导的充分条件.25四四 求导规则及初等函数的导数都与实变求导规则及初等函数的导数都

5、与实变函数的相应公式一致函数的相应公式一致.26四四 求导规则及初等函数的导数都与实变求导规则及初等函数的导数都与实变函数的相应公式一致函数的相应公式一致.27一一 解析函数的定义解析函数的定义.28二二 解析函数的性质解析函数的性质.29二二 解析函数的性质解析函数的性质2sin2)cos1 (cos),(22yxxyxv2cos212cos21211vu2sin22sin212vu解解：方法一：方法一dddududu2sin22cos21)2cos(22cos22cos2ddd.30二二 解析函数的性质解析函数的性质解解：方法一：方法一2cos(1cos )cos2uCCCCyxx222s

6、in22cos2)(iCzfCzCi2)2sin2(cos2.31二二 解析函数的性质解析函数的性质解解：方法二：方法二2sin2),(yxviieievivdzdf2sin2122cos2121)1(zdzdzeeiii22121)2sin2(cos2122( )2222 (cossin)22iif zzCeCeCiCCyxxCCu22)cos1 (2cos2.32二二 解析函数的性质解析函数的性质1),(),(cyyxxuyxu0),(),(yxuyyxxuu0)()(jdyidxjyuixudyyudxxuuxyA(x,y)B(x+x,y+y)u(x,y)=c1曲线.33二二 解析函数的性质解析函数的性质xyA(x,y)B(x+x,y+y)u(x,y)=c1曲线.34二二 解析函数的性质解析函数的性质0)()(xuyuyuxuyvyuxvxunnvuxyA(x,y)B(x+x,y