最优化方法之存贮论的实例和源程序

1、 天津工业大学理学院 最优化课程设计论文 最优化方法课程设计关于存贮论的操作实践存贮论(inventory theory)又称库存理论，是运筹学中发展较早的分支。现代化的生产和经营活动都离不开存贮，为了使生产和经营活动有条不紊地进行，一般的工商企业总需要一定数量的贮备物资来支持。在企业的生产经营或人们的日常生活中，通常需要把一定数量的物质，用品或食品暂时储存起来，以备将来使用和消费，这就是所谓的存贮现象。存贮的存在主要基于社会经济现象的不确定性。一、存贮论的基本理论存贮系统是由存贮、补充和需求三个基本要素所构成的资源动态系统，其基本形态如图所示。需 求存 贮存贮系统示意图以下就上述结构图的三个

2、环节分别加以说明：1存贮（inventory）企业的生产经营活动总是要消耗一定的资源，由于资源供给与需求在时间和空间上的矛盾，使企业贮存定数量的资源成为必然，这些为满足后续生产经营需要而贮存下来的资源就称为存贮。2补充（replenishment）补充即存贮的输入。由于后续生产经营活动的不断进行，原来建立起来的存贮逐步减少，为确保生产经营活动不间断，存贮必须得到及时的补充。补充的办法可以是企业外采购，也可以是企业内生产。若是企业外采购，从订货到货物进入“存贮”往往需要一定的时间，这一滞后时间称为采购时间。从另一个角度看，为了使存贮在某一时刻能得到补充，由于滞后时间的存在必须提前订货，那么这段提

3、前的时间称为提前期。存贮论主要解决的问题就是“存贮系统多长时间补充一次和每次补充的数量是多少？”，对于这一问题的回答便构成了所谓的存贮策略。3需求（demand）需求即存贮的输出，它反映生产经营活动对资源的需要，即从存贮中提取的资源量。需求可以是间断式的，也可以是连续式的。存贮系统所发生的费用包括存贮费用、采购费用和缺货费用。存贮费用（holding cost）是指贮存资源占用资本应付的利息，以及使用仓库、保管物、保管人力、货物损坏变质等支出的费用。采购费用（order cost）是指每次采购所需要的手续费、电信费、差旅费等，它的大小与采购次数有关而与每次采购的数量无关。存贮系统所发生的费用除

4、存贮费用和采购费用之外，有时还会涉及缺货费用，缺货费用（stock-out cost）是指当存贮供不应求时所引起的损失，如机会损失、停工待料损失，以及不能履行合同而缴纳的罚款等。 在讨论确定性模型前，首先对一些常用符号的含义作必要的说明。 C：单位时间平均运营费用（或称单位时间平均总费用）， R：单位时间物品需求量（或称需求速度）， P：单位时间物品生产量（或称生产速度）， K：物品单价（外部订购）或单位物品成本费用（内部生产）， Q：订货量（外部订购）或生产量（内部生产），C1：单位物品单位时间保管费用（简称单位保管费用）， C2：单位物品单位时间缺货损失（简称单位缺货损失）， C3：订购费

5、用（外部订购）或生产准备费用（内部生产）， 以上定货量（生产量）Q和订购费用（生产准备费用）C3，都是对应于一次订购（一次生产）而言的。模型1，不允许缺货，且一次到货。 建立模型前，需要作一些假设： 缺货损失无穷大（即不允许缺货）， 当存贮量降至零时，可以瞬间得到补充（即一次到货）， 需求是连续和均匀的，需求速度R是固定的常数， 每次订货量（生产量）Q不变，订购费用（生产准备费用）C3不变。存贮状态的变化情况可用图74表示：Q0tTt0斜率= -R易知：平均保管费用=平均存贮量×单位保管费用， 平均订购费用， 平均物品成本费用。 由此可以推得模型1的单位时间平均运营费用函数： （71

6、）上述函数为决策变量t的函数，其中 R,K,C1,C3都是已知常数。模型2，不允许缺货，且分批到货。 模型1有一个假定条件是一次到货，即每次进货时能瞬时全部入库。但实际的存贮系统常常存在这样一种情形，即所需货物分批到货，并按一定的速度入库。因此模型2的假设条件与模型1相比，只需改写第二条，即： 当库存降至零时，以一定的供给率P得到补充（或称分批到货）。模型2的存贮状态的变化规律如图76所示。Q0tTT斜率= -Rt斜率=P - R单位时间平均运营费用函数可以推得最佳运营周期 最佳生产批量 最低运营费用P+时，此时模型2拓变成模型1，两组公式完全相同。因此模型1是模型2当 P+时的特例。模型3，

7、允许缺货，且一次到货把第1条假设改为： 允许缺货，单位缺货费用为C2，即可，其它假设条件不变。因此模型1是模型3当C2+时的特例。t0时间内的最大缺货量B0：模型4，允许缺货，且分批到货 本模型是模型2和3的综合，即同时对模型1的假设条件1和2进行修改: 允许缺货,单位缺货费用为C2， 分批到货,以一定的供应率P补充库存。 其它条件不变。最佳运营周期最优经济批量最大缺货量最大存贮量 最低费用 二、案例及操作实践例1. (抽取题目：P368第11.5第2问)对某电子原件每月需求量为40000件，每件成本为150元，每年的存贮费为成本的10%，每次订购费为500元。求：允许缺货（缺货费为100元/

8、（件.年）条件下的最优存贮策略。第一种Matlab程序求解过程：解：根据题意，取一年为单位时间，由已知条件订货费C3=500次/元， 单位存贮费 C1=10%*150=15元/（件·年） ， 单位缺货费C2=100元/（件·年），需求速度 r=48 000件/年，货物单价k=150元/件。根据判断，可知，该模型属于允许缺货，但补充时间极短的类型。利用书上的公式，可以编程如下：c1=input('请输入单位存贮费c1：');c2=input('请输入单位缺货费c2：');c3=input('请输入订货费c3：');r=input

9、('请输入需求速度r：');k=input('请输入货物单价k：');t=365*sqrt(2*c3*(c1+c2)/sqrt(c1*c2*r);Q=sqrt(2*c3*r*(c1+c2) /sqrt(c1*c2);tp=c1*t/(c1+c2);A=sqrt(2*c2*r*c3) /sqrt(c1+c2)*c1);B=sqrt(2*c1*r*c3) /sqrt(c1+c2)*c2);C=2*c3/t;输出报告：请输入单位存贮费c1：15请输入单位缺货费c2：100请输入订货费c3：500请输入需求速度r：48000请输入货物单价k：150>> tt

10、 = 14.5873>> QQ = 1.9183e+003>> tptp = 1.9027>> AA = 1.6681e+003>> BB = 250.2173>> CC = 68.5527结果分析：由程序运行结果，可知最优存贮周期为14.6天，经济生产批量为1918.3件，生产时间为1.9天，最大存贮量为1668.1件，最大缺货量为250.2件，平均总费用为68.5元。第二种lingo程序求解过程根据题意，取一年为单位时间，由已知条件订货费Cd=500次/元 存贮费 Cp=10%*150=15元/（件·年） 缺货损失费Cs

11、=100元/（件·年）需求率 D=48 000件/年编写 LINGO 程序如下model:min=0.5*C_P*(Q-S)2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S2/Q;n=D/Q;gin(n);data:C_D=500;D=48000;C_P=15;C_S=100;enddataend运行结果 Local optimal solution found. Objective value: 25021.74 Extended solver steps: 3 Total solver iterations: 1017 Variable Value Reduced Cost C_P 1

12、5.00000 0.000000 Q 1920.000 0.000000 S 250.4348 0.000000 C_D 500.0000 0.000000 D 48000.00 0.000000 C_S 100.0000 0.000000 N 25.00000 -0.8695667结果分析：由程序运行结果，可知最优存贮周期为15天，经济生产批量为1918.3件，生产时间为1.9天，最大存贮量为1668.1件，最大缺货量为250.2件，平均总费用为68.5元。例2. (书中例题：P349 例1)某商品单位成本为5 元，每天保管费为成本的0.1%，每次定购费为10 元。已知对该商品的需求是100

13、 件/天，不允许缺货。假设该商品的进货可以随时实现。问应怎样组织进货，才能最经济。解： 根据题意，Cp = 5×0.1% = 0.005 （元/件·天）， Cd=10元，D =100件/天。由公式式有=632件=632/100=6.32天所以，应该每隔6.32 天进货一次，每次进货该商品632 件，能使总费用（存贮费和定购费之和）为最少，平均约3.16 元/天。进一步研究，全年的订货次数为n=57.75次。但n必须为正整数，故还需要比较n = 57 与n = 58时全年的费用。lingo程序求解过程model:sets:times/1 2/:n,Q,C;endsetsdat

14、a:n=57 58;enddataC_D=10;D=100*365;C_P=0.005*365;for(times:n=D/Q;C=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q);end运行结果 Feasible solution found. Total solver iterations: 0 Variable Value C_D 10.00000 D 36500.00 C_P 1.825000 N( 1) 57.00000 N( 2) 58.00000 Q( 1) 640.3509 Q( 2) 629.3103 C( 1) 1154.320 C( 2) 1154.246分析结果：求得全年组织 58 次订货费用少一点。由于这个程序求出的是解不全，我们可以再编一个lingo程序，直接求出问题的整数解。lingo程序：model:sets:times/1.100/:C,Q; !100不是必须的，通常取一个适当大的数就可以了;endsetsC_D=10;D=100*365;C_P=0.005*365;for(times(i):Q(i)=D/i;C(i)=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q);C_min=min(times:C);Q_best=sum(times(i):Q(i)*(C(i)