概率论与数理统计4

1、授课章节第一章 随机变量的数字特征授课形式授课时间第 周 周 （ 月 日） 第 至 节教学目标知识目标：能力目标：素质目标：教学重点教学难点补充内容教学场地及教具使用教学过 程方法手段时间分配导 入随机变量的概率分布完整地描述了随机变量统计规律，但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易，而且对某些问题来说，只需知道它的某些特征，我们把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。本章主要研究随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等数字特征。新 课4.1 随机变量的期望4.1.1 离散型随机变量的期望引例 10人参加考试，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平

2、均分。定义若X的分布律为 P（X=xi）=pi，i=1，2当级数绝对收敛时（即收敛）就说是离散型随机变量X的期望。记作EX，即说明：（1）若X取值为有限个x1，x2，xn则（2）若X取值为可列无限多个x1，x2，xn则这时才要求无穷级数绝对收敛。很明显，X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。4.1.2 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。1.两点分布随机变量X的分布律为分布EXX（0,1）XB（n,p）XP（）pnp4.1.3下面介绍离散型随机变量函数的数学期望。定理4-1 设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k=1，2，。令Y=g（X），若级数绝对收

3、敛，则随机变量Y的数学期望为特别情形4.1.4 连续型随机变量的期望对于连续型随机变量的期望，形式上可类似于离散型随机变量的期望给予定义，只需将和式中的xi改变x,pi改变为f（x）dx（其中f（x）为连续型随机变量的概率密度函数）以及和号“”演变为积分号“”即可。定义4-2 设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若广义积分绝对收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为EX，即1.均匀分布设随机变量X在a,b上服从均匀分布，其概率密度为则 在区间a,b上服从均匀分布的随机变量的期望是该区间中点。2.指数分布设随机变量X服从参数为0的指数分布，其概率密度为解：在微积分中有

4、即指数分布的数学期望为参数的倒数。3.正态分布设其概率密度为则X的期望E（X）=。（不证）上面三种情况列表如下（可以作为公式使用）分布EXXU（a,b）XE（）XN（，2）下面介绍连续型随机变量函数的数学期望。定理4-2 设X为连续型随机变量，其概率密度为fX（x），又随机变量Y=g（X），则当收敛时，有4.1.5二维随机变量函数的期望定理4-3 （1）若（X，Y）为离散型随机变量，若其分布律为pijPX=xi,Y=yi，边缘分布律为则（2） 其（X，Y）为二维连续型随机变量，f（x,y）,fx（x）,fY（y）分别为（X，Y）的概率密度与边缘概率密度，则证明略。定理4-4 设g（X，Y）为连

5、续函数，对于二维随机变量（X，Y）的函数g（X，Y），（1） 若（X，Y）为离散型随机变量，级数收敛，则（2） 若（X，Y）为连续型随机变量，且积分收敛，则4.1.6期望的性质期望有许多重要性质，利用这些性质可以进行期望的运算。下面列举的这些性质对离散型随机变量和连续型随机变量而言，都可以利用随机变量函数的期望与二维随机变量函数的期望公式加以证明。性质4-1 常数的期望等于这个常数，即E（C）=C，其中C为常数。证明 常数C作为随机变量，它只可能取一个值C，即PX=C=1，所以E（C）=C1=C性质4-2 常数与随机变量X乘积的期望等于该常数与随机变量X的期望的乘积，即E（CX）=CE（X）。

6、证明 设X是连续型随机变量，其概率密度为f（x），则有当X为离散型随机变量时，请读者自证。有E（CX+b）=CEX+b性质4-3随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）。证明 不妨设（X，Y）为二维随机变量，其概率密度为f（x,y）,Z=X+Y是（X，Y）的函数，有=E（X）+E（Y）。这一性质可作如下推广：E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1，C2为常数。结合性质4-2与性质4-3可证此性质。一般地，设X1，X2，,Xn为n个随机变量，则有E（X1+X2+Xn）= EX1+ EX2+ EXnE（C1X1+C2X2+CnXn）=C1EX1+

7、C2EX2+ CnEXn性质4-4两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若X，Y是相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y）。证明 仅证连续型情况，因为X，Y相互独立，所以f（x,y）=fX（x）fY（y），=E（X）E（Y）由数学归纳法可证得：当X1，X2，Xn相互独立时有E（X1X2Xn）=E（X1）E（X2）E（Xn）。4.2.1方差的概念定义4-3设随机变量的期望存在，则称为随机变量X的方差，记作D(X),即D(X)称为X的标准差（或均方差）。从随机变量的函数的期望看，随机变量X的方差D(X)即是X的函数的期望。由方差定义可知，当随机变量的取值相对集中在期望附近时，

8、方差较小；取值相对分散时，方差较大，并且总有.若X为离散型随机变量，其分布律为则（4.2.1）若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则（4.2.2）在计算方差时，用下面的公式有时更为简便；即X的方差等于的期望减去X的期望的平方。当X是离散型随机变量时，(4.2.4)当X是连续型随面变量时，(4.2.5)4.2.2常见随机变量的方差1.0-1分布设X的分布律为其中0P1,则X的方差D(X)=P(1-P).因为而故（2）二项分布设XB(n,p) 则有 (不证)（3）泊松分布设XP(),则有 (不证)（4）均匀分布设XU(a,b),则有（5）指数分布设(6)正态分布可以证明，若下表是六种常见分

9、布的期望和方差的结果。要求大家熟记下面公式。4.2.3方差的性质性质4-5常数的方差等于零，随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，即D(C)=0,D(X+C)=D(X). 性质4-6常数与随机变量乘积的方差等于这个常数的平方与随机变量方差的乘积，即，其中C为常数 性质4-7两个独立随机变量之和的方差等于它们方差之和，即若X，Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)上式最后一项E(XE(X)(YE(Y)=EXYXE(Y)YE(X)+E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)，因为X与Y相互独立，有E(XY)=E(X)E(Y)，因而上式为零因此D(X+Y)=D(X)+D(Y)注意：证明过程中得到有用结论E(XE(X)(YE(Y)=E(XY)E(X)E(Y)这一性质也可推广到n个相互独立的随机变量情况：若相互独立，则将这一性质应用于二项分布可知，二项分布随机变量X能表示成n个相互独立的两点分布随机变量之和：，因为的方差为pq,k=1，2，n，则4.3协方差与相关系数对二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的期望和方差之外，还需讨论X与Y之间相互关系的数字特征，本节主要讨论这方面的数字特征。4.3.1协方差定义4-4设有二维随机变量（X，Y），且E（X），E（Y）存在，如果存在，则称此值为X