202X年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质课件5新人教B版选修2_1

1、抛物线的几何抛物线的几何性质性质结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索探索其的几何性质其的几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点类比探索类比探索x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴对称轴又叫抛物线的轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.(4)离心率离心率(5)焦半径焦半径(6)通径通径始终为常数始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通

2、径的长度：2P思考思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？特点特点1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P越大越大,开口越开阔开口越开阔图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlF

3、yxOlFyxOlFyxOy2 = 2pxp0y2 = -2pxp0 x2 = 2pyp0 x2 = -2pyp0)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1例题例题例例1. 顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2, )的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程,2 2例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.当焦点在

4、当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可防止讨论可防止讨论y2 = 4x焦点弦的长度焦点弦的长度练习练习:1.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,那么被抛物线截得的弦长为那么被抛物线截得的弦长为y2 = 8x2.过抛物线的焦点做倾斜角为过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线的直线L,设设L交抛物线于交抛物线于A,B两点两点,(1)求求|AB|;(2)求求|AB|的最小值的最小值.045方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2pxp0y2 = -2pxp0 x2 = 2pyp0 x2

5、= -2pyp0lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称0,00,00,00,0.022正三角形的边长）上，求这个（两个顶点在抛物线点位于坐标原点，另外例、正三角形的一个顶ppxyyOxBA.|.0200. 02022|.222121212121212221222221212221212211轴对称关于，即线段由此可得，）（，即：，所以：又，），则，）、（，线上，且坐标分别为（在抛物、的顶点解：如图，设正三角形xAByyxx

6、pxxpxxxxpxpxxxyxyxOBOApxypxyyxyxBAOAB.342|.322.3330tan301121111pyABpypyxxyAOxABxoo，所以，且轴垂直于因为等腰直角三角形等腰直角三角形AOB内接于抛物线内接于抛物线y2=2px(P0),O为抛物线的顶点为抛物线的顶点,OAOB,那么那么AOB的面积为的面积为A. 8p2B. 4p2C. 2p2D. p2 1、抛物线的顶点在原点，对称、抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三

7、个顶点，都在抛物线物线 上，其中一个顶点为坐标上，其中一个顶点为坐标原点，那么这个三角形的面积为原点，那么这个三角形的面积为 。1648 324yx例例2 2、已知直线、已知直线l l：x=2px=2p与抛物线与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，求证：求证：OAOB.OAOB.2y证明：由题意得，证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)A(2p,2p),B(2p,-2p)所以所以 =1=1， =-1=-1因此因此OAOBOAOBOAKOBK推广推广1 1 若直线若直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)且与抛物线且与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，求证：两点，求证：OAOB.OAOB.2yxyOy y2 2=2px=2pxA AB BL:x=2pC(2p,0)C(2p,0)xyOy y2 2=2px=2pxA AB BlC(2p,0)证明：证明：设设l 的方程为的方程为y=k(x-2p) 或或x=2p 04)24(22222kpxppkxk24pxxBA2222164pxxpyyBABA24 pyyBA0BABAyyxx所以所以OAOB.OAOB.代入代入y2=2px得，得，可知可知又又小结小结: