反比例函数常见几何模型

1、、知识点回顾反比例函数常见模型1.反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= （ kw。）.其解析式有三种表示方法： xky 二一x(k # 0); y = kx，( k ¥ 0)； xy = k2.反比例函数y=k （kw。的性质x(1)当k>0时U函数图像的两个分支分别在第一，三象限内a 在每一象限内，y随x的增大而减小.(2)函数图像的两个分支分别在第二，四象限内u 在每一象限内，y随x的增大而增大.(3)在反比例函数y二'中，其解析式变形为 xy=k ,故要求xk的值（也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积）.(4)若双曲线y=k图像上一点（a, b） x满足a

2、, b是方程Z24Z 2=0的两根，求双曲线的解析式.由根与系数关系得 ab= 2,又ab=k, k= 2,-2故双曲线的解析式是y=x（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势.:、新知讲解与例题训练模型一:如图，点A为反比例函数y = K图象上的任意一点，且 xS.OabBDAB垂直于x例1：如图RtMBC的锐角顶点是直线 y=x+m与双曲线y=m在第一象限的交点, xaob = 3 , (1)求 m的值 （2）求AABC的面积变式题且1、如图所示，点 Al,A2,A3在X轴上，且O A = AA2= A

3、2 A3,分别过A,y轴轴平行线，与反比例函、.，8数y=- （x>0）的图像交于点Bi, B2, B3,分别过点Bi, B2, B3作x轴的平行线，分x交于点Ci，C2，C3,连结OBi,OB2, OB3，那么图中阴影部分的面积之和为1 , 一 3， 一2、如图，点A在双曲线y =一上，点B在双曲线y=一上，且 xxAB/ x轴,t G D在X轴上C用若四边形 ABCD为矩形，则它的面积为模型二：k如图：点A、B是双曲线y =-(k¥0)任意不重合的两点，直线AB父x轴于M点，父y轴 x于N点，再过A、B两点分别作AD _Ly轴于D点，BF _L x轴于F点，再连结DF两点，

4、则有：DF |ABH BM=AN确的结论是例2:如图，一次D图象相交于C0DE有革AC =BD 其y=ax+b的图象与x轴，y轴交于D点，分别过C, D两点作y轴，x轴的垂论：5酣壬=5期尸；AAOB相似于A为E, F,连接CF,点，与反比例函数y = X的 .xy| y/dFOE ； (3昨ACDF;x.(把你认知:确结论的序号都填1例3: 一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M,N ,与反BF x k比例函数y=-的图象相父于点 A,B.过点A分别作AC_Lx轴, xAE 1 y轴，垂足分别为C,E ;过点B分别作 BF _L x轴，BD _L y轴，垂足分别为F, D, AC

5、与BD交于点K ,连接CD .(1)若点A, B在反比例函数y=k的图象的同一分支上，如图1,试证明: x瓯边形AEDK =%边形cfbk ；AN=BM . . k .若点A, B分别在反比例函数y = k的图象的不同分支上，如图2,则AN与BM还相等吗？试证明你的结论.模型三：如图，已知反比匍1数y=K (kwQ x>0)上任意两P、C,过P做PAx轴，交x轴于 x点A,过C做CDx轴，交x轴于点D,则SmPC =S弟形PADC例4:如图，在直角坐标系中，一次函数 y=kix+b的图象与反比例函数y=k2的图象交于 A(1,4)、B(4, 1)两点，则AAOB x的面积是.例5:如图，

6、在直角坐标系中，一次函数 y=k1x + b的图象与反比例函数y=k2的图象交于A (1,4)、B (3, m)两点，则 小OB的面积是.例6:如图1,已知直线y =x与双曲线y=k(k>0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4. 2x(1)求k的值；(2)如图2,过原点O的另一条直线l交双曲线y =k(k >0)于C、D两点(点C在第一象 x限且在点A的左边)，当四边形ACBD的面积为24时，求点C的坐标.模型四：在矩形AOBC中，OB=a, OA=b,分别以OB, OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.F是BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数y

7、 =-(x>0) x的图象与AC边交于点E,则CE=a.CF b例7：两个反比例函数丫=4和丫在第一象限内的图象如图所示，点 P在y = K的图象上， x xx,.、11 一PCx轴于点C,父y=的图象于点A, PDy轴于点D,父y=的图象于点B,当点P在y=k的图象上运动时，以下结论： xAODB与AOCA的面积相等；四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是(把你认为正确结论的序号都填上).课堂练习：、选择题1、已知m<0,则函数y1 =mx与y2 = m的图像如图，大致是()xA.B.C.2、如图，点A在

8、双曲线y=6上，且OA=4,过点xA作AC _Lx轴，垂足为 c, OA的垂直平分线交 OC于B,则 MBC的周长为()A. 2 .7B.5C. 4 7D. . 22k3、如图，双曲线 y= (k>0)经过矩形 x3,则双曲线的解析式为()A. y = 1B. y =-xxOABC的边BC的中点E,交AB于点D,若梯形 ODBC的面积为3C. y =- x6D. y = x4、如图，A,B是函数y =2的图像上关于原点对称的任意两点，BC/x轴，AC/y轴，AABC的面积记为S,x则S ()A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC位

9、于第一象限， AB=AC=2 ,直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐 标为1 ,且两条直角边 AB , AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y= k ( k*0)与AABC有交点，则k的取X值范围是()A . 1<k<2 B, 1<k<3C, 1<k<4 D , 1< k<4二、填空题131、如图，点 A在双曲线y=一上，点B在双曲线y=一上，且AB/ x轴，C、D在x轴上，若四边形 ABCD为矩形，则它的面积为2 ,2、如图，双曲线 y = (x >0)经过四边形 OABC的顶点A、C, / ABC= 90 , OC平分OA与x轴正半轴

10、的夹x角，AB/x轴，将 ABC沿AC翻折后得到AB，C,B，点落在OA上，则四边形 OABC勺面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB在平面直角坐标系中，B (2, 0) , / AOB= 60° ,点A在第一象限，过点A的双曲线为y= k ,在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线l ,以直线l为对称轴，线段 0留轴对称变x换后的像是O' B'.(1)当点O与点A重合时，点 P的坐标是.(2)设P (t, 0),当。B'与双曲线有交点时，t的取值范围是4、如图，已知双曲线ky =_(k <0)经过直角三角形 xOAB斜边OA的中点D,且与直角边AB

11、相交于点C .若点A的坐标为(-6,4), WA AOC的面积为 45、双曲线y1、y2在第一象限的图像如图，y1 =一，x过y上的任意一点 A,作x轴的平行线交 y于B ,交y轴于C,若Saob = 1,则y2的解析式是 课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx (k>0)与双曲线y=-交于A (x1，y1)，By?)两点，则2*惚一7x?y1的值等于.x2、反比例函数y=k的图像上有一点P (a, b),且a, b是方程t24t 2=0的两个根，则k=x点P到原点的距离 OP=.3、已知双曲线 xy=1与直线y= x+ Jb无交点，则b的取值范围是 .4、反比例函数y=k的图像经过点P (a, b),其中a, b是一元二次方程 x2+kx+4=0的两个根，那么点 P的 x坐标是5、如图，已知双曲线ky=（k> 0）经过直角三角形 OAB斜边OB的中点D,与直角边 AB相交