数学竞赛专题之韦达定理练习

1、数学竞赛专题之韦达定理练习一选择题（共9小题）1下列函数是二次函数的是（）Ay=2x+1By=2x+1Cy=x2+2Dy=x22二次函数y=x2+2x7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A3B5C3和5D3和53如果a，b为质数，且a213a+m=0，b213b+m=0，那么的值为（）AB或2CD或24设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别等于（）A1，3B1，3C1，3D1，35在RtABC中，C=90°，a、b、c分别是A、B、C的对边，a、b是关于x的方程x27x+c+7=0的两根，那么A

2、B边上的中线长是（）ABC5D26方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2，则的值是（）A1BlCD7两个质数a、b恰好是整系数方程x299x+m=0的两个根，则的值是（）A9413BCD8设方程有一个正根x1，一个负根x2，则以|x1|、|x2|为根的一元二次方程为（）Ax23xm2=0Bx2+3xm2=0CD9若方程（x1）（x22x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（）A0m1BmCm1Dm1二填空题（共7小题）10已知、是方程x2x1=0的两个实数根，则代数式2+（22）的值为_11（1）已知x1和x2为一元二次方程2x22x+3m1=0的两个实根

3、，并x1和x2满足不等式，则实数m取值范围是_；（2）已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是_12已知、是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且322+3=0，求证：p=0，q013 CD是RtABC斜边上的高线，AD、BD是方程x26x+4=0的两根，则ABC的面积为_14已知方程x2+px+q=0的两根均为正整数，且p+q=28，那么这个方程两根为_15已知、是方程x2x1=0的两个根，则4+3的值为_16ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x212x+m=0的两个根，则m的取值范围_三解答题（共5小题）17已知关于

4、x的方程（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1、x218设x1、x2是方程2x24mx+2m2+3m2=0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值19已知关于x的方程x2（k+1）x+k2+1=0（1）k取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求k的值20设m是不小于1的实数，关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值21设a、b

5、、c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值数学竞赛专题之韦达定理练习参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1下列函数是二次函数的是（）Ay=2x+1By=2x+1Cy=x2+2Dy=x2解答：解：A、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；B、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；D、y=x2，是一次函数，故此选项错误故选：C2二次函数y=x2+2x7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A3B5C3和5D3和5解答：解：

6、根据题意，得x2+2x7=8，即x2+2x15=0，解得x=3或5，故选D3如果a，b为质数，且a213a+m=0，b213b+m=0，那么的值为（）AB或2CD或2解答：解：（1）若a=b，则=2；（2）若ab，设a，b为方程x213x+m=0的两个根a+b=13a，b为质数，a=11，b=2或a=2，b=11，=故选B4设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别等于（）A1，3B1，3C1，3D1，3解答：解：由根与系数的关系可知：x1+x2=p，x1x2=q；x1+1+x2+1=q，（x1+1）（x2+1

7、）=p，即x1+x2+x1x2+1=p将x1+x2=p，x1x2=q代入整理，得解得故选C5在RtABC中，C=90°，a、b、c分别是A、B、C的对边，a、b是关于x的方程x27x+c+7=0的两根，那么AB边上的中线长是（）ABC5D2解答：解：a、b是关于x的方程x27x+c+7=0的两根，根与系数的关系可知：a+b=7，ab=c+7；由直角三角形的三边关系可知：a2+b2=c2，则（a+b）22ab=c2，即492（c+7）=c2，解得c=5或7（舍去），再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为答案：AB边上的中线长是故选B6方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1、

8、x2，则的值是（）A1BlCD解答：解：根据x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2，x1+x2=p，x1x2=1997，x1、x2是两个正整数根，x1=1，x2=1997，或x1=1997，x2=1，x1+x2=1998，p=1998，=，=故选C7两个质数a、b恰好是整系数方程x299x+m=0的两个根，则的值是（）A9413BCD解答：解：a、b是整系数方程x299x+m=0的两个根，a+b=99，ab=m，=+=，a、b为质数，a=2，b=97，或a=97，b=2，m=2×97=194，=，故选B8设方程有一个正根x1，一个负根x2，则以|x1|、|x2|为根的一元

9、二次方程为（）Ax23xm2=0Bx2+3xm2=0CD解答：解：A|x1|+|x2|=30，但|x1|x2|=m2不能确定它的正负，不能选AB|x1|+|x2|=30，不能选BC|x1|+|x2|=0，但|x1|x2|=20，不能选CD|x1|+|x2|=0，|x1|x2|=20，选D故选D9若方程（x1）（x22x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（）A0m1BmCm1Dm1解答：解：方程（x1）（x22x+m）=0的有三根，x1=1，x22x+m=0有根，方程x22x+m=0的=44m0，得m1又原方程有三根，且为三角形的三边和长有x2+x3x1=1，|x2x3|

10、x1=1，而x2+x3=21已成立；当|x2x3|1时，两边平方得：（x2+x3）24x2x31即：44m1解得，mm1故选C二填空题（共7小题）10已知、是方程x2x1=0的两个实数根，则代数式2+（22）的值为0解答：解：、是方程x2x1=0的两个实数根，+=1，=1，21=0，21=0，2=+1，2=+12+（22）=+1+（+12）=+11=0故答案为：011（1）已知x1和x2为一元二次方程2x22x+3m1=0的两个实根，并x1和x2满足不等式，则实数m取值范围是m；（2）已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是m7解答：解：（1）

11、方程2x22x+3m1=0有两个实数根，=（2）24×2（3m1）0，解得m由根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=，1，解得mm；（2）关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m7=0有两个负数根，解得m7又=（m+1）24×8（m7）=m230m+225=（m15）20，实数m的取值范围是m7故答案为m；m712已知、是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且322+3=0，求证：p=0，q0解答：证明：、是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，+=p，=q；322+3=0，322+3=（）2（+）=0；、是关于x的方程x2+px+q

12、=0的两个不相等的实数根，0，+=p=0，=p24q0；p=0，4q0，q013 CD是RtABC斜边上的高线，AD、BD是方程x26x+4=0的两根，则ABC的面积为6解答：解：AD、BD是方程x26x+4=0的两根，AD+BD=6，ADBD=4，ACB=90°，CDAB于D，DBCDCA，=，CD2=ADBD，CD=2，SABC=×（AD+BD）×CD=6故填：614已知方程x2+px+q=0的两根均为正整数，且p+q=28，那么这个方程两根为x1=30，x2=2解答：解：设x1，x2是方程的两个根，则x1+x2=p，x1x2=q，得：p+q=28，x1x2x

13、1x2=28，x1x2x1x2+1=28+1，x1（x21）（x21）=29，即（x11）（x21）=29，两根均为正整数，x11=1，x21=29或x11=29，x21=1，方程的两个根是：x1=2，x2=30或x1=30，x2=2故答案为：x1=30，x2=215已知、是方程x2x1=0的两个根，则4+3的值为5解答：解：、是方程x2x1=0的两个根，2=+1，+=1，=1，4+3=（+1）2+3（1）=2+2+1+33=+1+2+43=5故答案为：516ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x212x+m=0的两个根，则m的取值范围m18解答：解：由根与系数的关系可得：x1+x2=6

14、，x1x2=，又有三角形的三边关系可得：|x1x2|5，则（x1x2）225，即（x1+x2）24x1x225，解得：m；既然方程有两个实根，则0，解得m18故本题答案为：m18三解答题（共5小题）17已知关于x的方程（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1、x2解答：解：（1）a=1，b=（m2），c=，=b24ac=（m2）24×1×（）=2m24m+4=2（m1）2+20，方程总有两个不相等的实数根；（2）a=1，b=（m2），c=，x1+x2=m2，方程总有两个

15、的实数根x1x2=0，x1与x2异号或有一个为0，由|x2|=|x1|+2，|x2|x1|=2，当x10，x20时，x2x1=2，即（m2）=2，解得m=0，此时，方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=2；当x10，x20时，x2+x1=m2=2，解得m=4，当m=4时，x22x4=0，x1=1，x2=1+18设x1、x2是方程2x24mx+2m2+3m2=0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值解答：解：x1、x2是方程2x24mx+2m2+3m2=0的两个实根，=（4m）24×2×（2m2+3m2）0，可得m，又x1+x2=2m，x1x2=

16、，x12+x22=2+=2+，m，m0，当m=时，x12+x22取得最小值为2×+=19已知关于x的方程x2（k+1）x+k2+1=0（1）k取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求k的值解答：解：（1）=（k+1）24（k2+1）=2k3，0，即2k30，k，当k时，方程有两个实数根；（2）由|x1|=x2，当x10时，得x1=x2，方程有两个相等实数根，=0，即2k3=0，k=又当k=时，有x1=x2=0k=符合条件；当x10时，得x2=x1，x1+x2=0由根与系数关系得k+1=0，k=1，由（1）知，与k矛盾，k=1（舍去），综上可得，k=20设m是不小于1的实数，关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值解答：解：方程有两个不相等的实数根，=b24ac=4（m2）24（m23m+3）=4m+40，m1，结合题意知：1m1（1）x12+x22=（x1+x2）22x1x2=4（m2）22（m23m+3）=2m210m+10=6，1m1，；（2）=（1m1）当m=1时，式子取最大值为1021设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实