讲课用弧长和扇形面积公式课件

1、复习复习2、已知、已知 O半径为半径为R， O的面积的面积S是是多少多少?S=R2 C = 2R1、已知、已知 O半径为半径为R， O的周的周长长C是多少？是多少？制造弯形管道时，经常要先按中心线计算制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度展直长度”(图中虚线的长度图中虚线的长度)，再下料，再下料，这就涉及到计算这就涉及到计算弧长弧长的问题的问题（1 1）半径为半径为R的的圆圆, ,周长是多少？周长是多少？C=2R （3 3）1 1圆心角所对弧长是多少？圆心角所对弧长是多少？ （4 4）140140圆心角所对的圆心角所对的 弧长是多少？弧长是多少？97180140RRl（2 2）圆的周长

2、可以看作是多少度的圆心角所对的弧？）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？180RnlnABO若设若设O O半径为半径为R R， n n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长为为 ，则，则 lRRl360结论结论：如果弧长为如果弧长为l l，圆心角度数为，圆心角度数为n，圆的半，圆的半径为径为R，那么，弧长的计算公式为：，那么，弧长的计算公式为：.2=360180nnRlR弧长公式弧长公式 若设若设O O半径为半径为R R，n n的圆心角所对的圆心角所对的弧长为的弧长为l l，则则 180Rnll lA AB BOOn n在应用弧长公式在应用弧长公式 进行计算时进行计算时, ,要注意要注意公

3、式中公式中n n的意义的意义, ,n n表示表示1 1圆心角的倍数圆心角的倍数, ,它是不带单位的；它是不带单位的；公式中公式中l l、n n、R R，已知其中两个量就可，已知其中两个量就可求第三个量求第三个量注意：注意： 制造弯形管道时，要先按中心线计算制造弯形管道时，要先按中心线计算“展展直长度直长度”，再下料，试计算图所示管道的展，再下料，试计算图所示管道的展直长度直长度L L( (单位：单位：mmmm，精确到精确到1mm)1mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧AB AB 的长的长L L （mm） 1570500180900100因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 L

4、 （mm） 297015707002答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm2970mm 例例1：已知圆弧的半径为已知圆弧的半径为5050厘米，圆心角为厘米，圆心角为6060，求此圆弧的长度求此圆弧的长度。6050180180n Rl=350(cm)答：此圆弧的长度为答：此圆弧的长度为350cm尝试练习尝试练习1 1已知弧所对的圆周角为已知弧所对的圆周角为9090, ,半径是半径是4,4,则弧长为多少？则弧长为多少？180Rnl18041804 如下图，由组成圆心角的两条如下图，由组成圆心角的两条半径半径和和圆心角所对的圆心角所对的弧弧围成的图形叫做围成的图形叫做扇形扇形。半径半径

5、半径半径OOB BA A圆心角圆心角弧弧OOB BA A扇形扇形扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？1.1.圆心角是圆心角是3603600 0的扇形面积是多少的扇形面积是多少？2.2.圆心角是圆心角是1801800 0的扇形面积是多少的扇形面积是多少？3.3.圆心角是圆心角是90900 0的扇形面积是多少的扇形面积是多少？4.4.圆心角是圆心角是2702700 0的扇形面积是多少的扇形面积是多少？ (当圆半径一定时当圆半径一定时)扇形的面积随着圆扇形的面积随着圆心角的增大而增大。心角的增大而增大。1 1个圆面积个圆面积21个圆面积个圆面积41个圆面积个圆面积

6、43个圆面积个圆面积圆心角是圆心角是1 10 0的扇形面积是多少？的扇形面积是多少？圆心角为圆心角为n n0 0的扇形面积是多少的扇形面积是多少? ?圆心角是圆心角是10的扇形面积是圆面积的的扇形面积是圆面积的 3603601 1圆心角是圆心角是n0的扇形面积是圆面积的的扇形面积是圆面积的 360n如果用字母如果用字母 S S 表示表示扇形的面积，扇形的面积，n n表示圆心角的度数，表示圆心角的度数，R R 表示圆半径，表示圆半径，那么扇形面积的计算公式那么扇形面积的计算公式是：是：S扇形扇形 S圆圆360n360n R2扇形面积公式扇形面积公式 若设若设O O半径为半径为R R，圆心角为圆心

7、角为n n的扇形的的扇形的面积面积S S扇形扇形，则，则注意注意: :（1 1）公式中）公式中n n的意义的意义n n表示表示1 1圆心角的圆心角的倍数，它是倍数，它是不带单位不带单位的；的；（2 2）公式要）公式要理解记忆理解记忆（即按照上面推导（即按照上面推导过程记忆）过程记忆）. . 3602RnS扇形3602RnS扇形180RnlABOO比较扇形面积与弧长公式比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积用弧长表示扇形面积:lRS21扇形S扇形扇形 S圆圆360n360n R2l弧弧 C圆圆360n .d360n R180n1=-2Rl例例2.如图、水平放置的圆柱形排水管道的如图、水平放

8、置的圆柱形排水管道的截面半径是截面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.3cm，求，求截面上有水部分的面积。截面上有水部分的面积。0BACDS弓形弓形= S扇形扇形- S309. 012. 0解：如图，连接解：如图，连接OAOA、OBOB，作弦，作弦ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，垂足为垂足为D D，交弧，交弧ABAB于点于点C. C. OC=0.6OC=0.6，DC=0.3 DC=0.3 在在RtRtOADOAD中，中，OA=0.6OA=0.6，利用勾股定理可得：，利用勾股定理可得：30.33 . 00.6AD2222ODOAOD=OC-DC=0.6-0.3=0.3OD=OC-DC

9、=0.6-0.3=0.3AOD=60AOD=60， AOB=120AOB=120在在RtRt OAD OAD中，中，OD=0.5OAOD=0.5OAOABABSSO扇形0.60.30 0B BA AC CD D OAD=30OAD=3021200.61O3602ABD3 . 036 . 02112. 022. 0有水部分的面积为有水部分的面积为= =练习：练习：如图、水平放置的圆柱形排水管道如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是的截面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。求截面上有水部分的面积。0ABDCES弓形弓形= S扇形扇形+S感悟：感悟：当弓形

10、面积小于半圆时当弓形面积小于半圆时S弓形弓形= S扇形扇形-S当弓形面积大于半圆时当弓形面积大于半圆时S弓形弓形= S扇形扇形+S309.024.0组合图形的面积：组合图形的面积：（1）割补法）割补法（2）组合法）组合法其中：其中：当弓形面积小于半圆时当弓形面积小于半圆时S弓形弓形= S扇形扇形-S当弓形面积大于半圆时当弓形面积大于半圆时S弓形弓形= S扇形扇形+S43 21、已知扇形的圆心角为、已知扇形的圆心角为120，半径为，半径为2，则这个，则这个扇形的面积扇形的面积S扇形扇形=_.13 2、已知扇形面积为、已知扇形面积为 ，圆心角为，圆心角为60，则这个，则这个扇形的半径扇形的半径R=

11、_ 20 cm 2240 cm 4 4、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为3 3cm,cm,扇形的弧长扇形的弧长为为cmcm, ,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,180Rnl2336036036022RnS扇形n60n,3lR代 入已知扇形的半径为已知扇形的半径为3cm,3cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cmcm, ,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,回顾思考回顾思考lRS21扇形解：2332123 扇形扇形AOB的半径为的半径为12cm, AOB=120,求求AB的长和扇形的长和扇形AOB的面积的面积AOB圆心角为圆心角为6060的扇形的半径为的扇

12、形的半径为1010厘米，求这厘米，求这个扇形的面积和周长（个扇形的面积和周长（3.143.14） 3601014. 36036022rnS52.33(52.33(平方厘米平方厘米) )；扇形的扇形的周长周长为为201801014. 3602180rrnl 30.47 30.47（厘米）。（厘米）。 图 23.3.5 解解: :因为因为n n6060，r r1010厘米，所以扇形厘米，所以扇形面积面积为为注：扇形的周长注：扇形的周长=两条半径两条半径+一条弧一条弧例例1求图中红色部分的面积求图中红色部分的面积.（单位：（单位：cm, 取取3.14，得数保留整数，得数保留整数）S= r2360n=

13、 3二解二 （间接求法）（间接求法） S扇形扇形S大圆大圆S小扇形小扇形r=15cm ,n=360o72o=288o565（cm2）解一解一(直接用扇形面积公式计算直接用扇形面积公式计算)2 2. (2006,. (2006,武汉武汉) )如图如图,A,A、B B、C C、D D相互外离相互外离, ,它们的半径都是它们的半径都是1,1,顺次连接四个顺次连接四个圆心得到四边形圆心得到四边形ABCD,ABCD,则图形中四个扇形则图形中四个扇形( (空白部分空白部分) )的面积之和是的面积之和是_._.ABCD3.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的如果一个扇形面积是它所在圆

14、的面积的 ，则此扇形的圆心角（则此扇形的圆心角（ ） (A)300 (B)360 (C)450 (D)600 181. 扇形面积大小（扇形面积大小（ ） (A)只与半径长短有关只与半径长短有关 (B)只与圆心角大小有关只与圆心角大小有关 (C)与圆心角的大小、半径的长短有关与圆心角的大小、半径的长短有关2. 如果半径为如果半径为r，圆心角为圆心角为n0的扇形的面积的扇形的面积是是S，那么那么n等于（等于（ ）(A) (B) (C) (D)360Sr360Sr2180Sr180Sr2CCB已知正三角形的边长为已知正三角形的边长为a，求它的内切求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积圆与外接圆组成的圆

15、环的面积 OrRlA BC l34l6、（、（2009年长春年长春）如图，方格纸中如图，方格纸中4个个小正方形的边长均为小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为小扇形的面积和为 （结果保留（结果保留） 83ABCD1.(08眉山眉山)如图，等边如图，等边ABC的边长为的边长为12cm，切切边边BC于于D点，点，则图中阴影部分的则图中阴影部分的内切内切 O面积为（面积为（ ）23 cm 22 cm 23cm3 2cm CO2.（08潍坊潍坊）如图，正六边形内接于圆）如图，正六边形内接于圆O,圆圆O的半径为的半径为10，则圆中阴影部分的面积为，则圆中阴影部分的面

16、积为_100150 3 3. 已知等边三角形已知等边三角形ABC的边长为的边长为a，分别以分别以A、B、C为圆心，以为圆心，以 为半径的圆相切于点为半径的圆相切于点D、 E、F，求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积S.2aDCFEBA2.2.扇形面积公式与弧长公式的区别：扇形面积公式与弧长公式的区别：S扇形扇形 S圆圆360nl弧弧 C圆圆360n1.1.扇形的面积大小与哪些因素有关？扇形的面积大小与哪些因素有关？（1 1）与圆心角的大小有关与圆心角的大小有关（2 2）与半径的长短有关与半径的长短有关3 3. .扇形面积单位与弧长单位的区别：扇形面积单位与弧长单位的区别：（1 1）扇形面积

17、单位有平方的扇形面积单位有平方的（2 2）弧长单位没有平方的弧长单位没有平方的. .一块等边三角形的木板一块等边三角形的木板, ,边长为边长为1, 1,现将木现将木板沿水平线翻滚板沿水平线翻滚( (如图如图), ),那么那么B B点从开始至点从开始至B B2 2结束所走过的路径长度结束所走过的路径长度_._.( (0707年湖北年湖北) )BB1B2FB1BAB CD EF B234l1.1.如图，已知扇形如图，已知扇形AOBAOB的半径为的半径为10cm10cm，AOB=60AOB=60，求弧，求弧ABAB的长的长和扇形和扇形AOBAOB的面积的面积( (写过程）写过程）当堂测验当堂测验2.

18、2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是，则此扇形的圆心角是_813 3、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为6cm,6cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cmcm, ,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,扇形的圆心角扇形的圆心角为为_. .cm3102350cm454533030如图，两个同心圆中，大圆的半径如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cmOA=4cm，AOB=BOC=60AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积是则图中阴影部分的面积是_cm_cm2 2。 BCAA A, , B B, , C C两两不相交两两不相

19、交, ,且半径都且半径都是是1 1cmcm, ,则图中的三个扇形的面积之和则图中的三个扇形的面积之和为多少为多少? ?弧长的和为多少弧长的和为多少? ? （0707年北京）年北京）如图如图,A,A、B B、C C、D D相互外离相互外离, ,它们的它们的半径都是半径都是1,1,顺次连接四个圆心得到四边形顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,ABCD,则图形中四个扇形则图形中四个扇形( (阴影部分阴影部分) )的面积之的面积之和是和是_._.1.1.扇形的面积是它所在圆的面积的扇形的面积是它所在圆的面积的 , ,求这求这个扇形的圆心角的度数个扇形的圆心角的度数;(;(0505陕西陕西) )2.2.

20、扇形的面积是扇形的面积是S S，它的半径是，它的半径是r r, ,求这个扇形求这个扇形的弧长的弧长;(;(0505年太原年太原) )3.3.扇形所在圆的圆心角度数为扇形所在圆的圆心角度数为150150, ,L L=20cm,=20cm, 求求:(1).:(1).扇形所在圆的半径扇形所在圆的半径; ; (2). (2).扇形的面积扇形的面积; ; （0505年台州年台州） 32中考连接中考连接钟表的轴心到分针针端的长为钟表的轴心到分针针端的长为5cm5cm，那么经过那么经过4040分钟，分针针端转过的弧长分钟，分针针端转过的弧长为为_。如图，从如图，从P P点引点引O O的两切线的两切线PAPA、PAPA、PBPB，A A、B B为切点，已知为切点，已知O O的半径为的半径