正切函数的图像和性质

1、函数函数y=sinxy=cosx图像图像定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性2522320 xy21- -1xRxR 1,1y 1,1y 22xk时，时，1maxy22xk 时，时，1miny 2xk时，时，1maxy2xk时，时，1miny -2,222xkk增函数增函数32,222xkk减函数减函数2,2xkk 增函数增函数2,2xkk 减函数减函数2522320 xy1- -122对称轴：对称轴：,2xkkZ对称中心：对称中心：(,0) kkZ对称轴：对称轴：,xkkZ对称中心：对称中心：(,0)2 kkZ奇函数奇函数偶函数偶函数abtan要使得上式有

2、意义，必须要使得上式有意义，必须 a0；即角即角的终边不能落在的终边不能落在 y y 轴上。轴上。有意义。才能使得，只有对于正切函数xyZkkxxytan,2tantan(x+)=tanx，xR，x/2+k，kZ正切函数是正切函数是周期函数，周期周期函数，周期T= Zkkxxxy,2|tan的定义域是正切函数tan(-x)=-tanx，xR，x/2+k ，kZ正切函数是正切函数是奇函数，奇函数，原点（原点（0，0）是其）是其对称中心对称中心内都是增函数）正切函数在开区间（Zkkk,2,2注意：只能说注意：只能说tanyx在某个区间内在某个区间内是增函数，是增函数，在定义域范在定义域范围是增函数

3、围是增函数. tanyx不能说不能说轴负方向无限延伸向正切线时，且无限接近大于、当yATx221轴正方向无限延伸轴正方向无限延伸向向正切线正切线时，时，且无限接近且无限接近小于小于、当、当yATx222 。但但没没有有最最大大值值、最最小小值值）内内可可取取遍遍任任意意实实数数，在在（22tan x正切函数的值域是正切函数的值域是实数集实数集R.1、根据正切函数的根据正切函数的定义域和周期定义域和周期， 取取 x (-/2,/2) ,先画函数先画函数y=tanx 在在 (-/2,/2)一个周期上的图象一个周期上的图象 。O11-1Oyx-/2/2)2,2(tanxxy2、 把把y=tanx，x

4、 (-/2,/2)图象图象向左向左或者或者向右向右平移，每次平移平移，每次平移个单位长度就得到个单位长度就得到y=tanx xR,且且x/2+k,kZ 的图象。的图象。Oyx1-1232223O/2-/2-3/23/2-yx-/4/41-1正切曲线的简图的画法：正切曲线的简图的画法：请看在请看在(-(-/ /2 2, ,/2/2) )三点两线三点两线在图中的位置。在图中的位置。特 征1.有无穷多支曲线组成，有无穷多支曲线组成， 由直线由直线 隔开隔开,2xkkZ 2.在每个分支里是单调递增的在每个分支里是单调递增的3 .关于原点对称（奇函数）关于原点对称（奇函数）.注意：只能说注意：只能说ta

5、nyx在某个区间内在某个区间内是增函数，是增函数，在定义域范在定义域范围是增函数围是增函数. tanyx不能说不能说 求函数求函数 y=tan3x 的定义域和周期的定义域和周期并判断其奇偶性。并判断其奇偶性。的周期是多少？)tan(xAyT例5 5 求下列函数的周期求下列函数的周期：);42tan(3) 1 (xy);421tan(3)2(xy变题53tan413tan2143tan138tan1）与（）（与）（小利用函数单调性比较大例例4 4求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间：);421tan(3) 1 (xyuyxutan3,421) 1 ( :则令解Zkkuk,22:421得由xu

6、:)421tan(3的单调递增区间为xy24212kxk3(2,2)22kkk Z:tan;421的单调区间为且为增函数uyxu分析分析:利用等复合函数单调性求解利用等复合函数单调性求解(2)3tan( 2)4yx 变变题题2,3tan4uxyu 解解: :令令则则2,3tan:4uxyu 为为减减函函数数 且且的的单单调调增增区区间间为为3tan( 2):4yx 的的单单调调递递减减区区间间为为22kuk2242kxk 2:4ux 由由得得32828kkx 即即3(,),2828kkkZ例例6.求函数求函数 的定义域、周期和单调区间。的定义域、周期和单调区间。tan()23yx解：原函数要有

7、意义，自变量解：原函数要有意义，自变量x应满足应满足,232xkkZ即即12 ,3xk kZ所以，原函数的定义域是所以，原函数的定义域是1 |2 ,.3x xk kZ所以原函数的周期是所以原函数的周期是2.由由,2232kxkkZ解得解得5122 ,33kxk kZ所以原函数的单调递增区间是所以原函数的单调递增区间是51(2 ,2 ),33kk kZ22T的单调区间呢？的单调区间呢？思考：思考：xy23tan画出函数画出函数y= tanx 的图象，指出它的单调区的图象，指出它的单调区间，奇偶性，周期。间，奇偶性，周期。22323223231.正切函数正切函数 的性质：的性质：tanyx定义域：定义域： |,2x xkkZ值域：值域：R周期性：周期性：正切