抓住问题的实质

1、抓住问题的实质有些题目，表面上说的不是一回事，但是从数学的内容来说，实质上是一码事.因此，做题时不要被出题人的改头换面的手法所迷惑.例8 早晨8点多有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去.两辆车的速度都是每小时60千米.8点32分，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的3倍，到了8点39分，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍.那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的？解：车速每小时60千米，也就是每分钟1千米，车行几分钟就走几千米.上面是两辆车在8点32分时和在8点39分时的示意图.图中阴影部分是两辆车之间的距离.因为两辆车的速度是一样的，所以两辆车之间的距离不变.到8点39分，第一辆

2、车离开化肥厂的距离是第二辆车的两倍.因此两车距离=8点39分第二辆车离厂距离=8点32分第二辆车离厂距离+7千米=两车距离的一半+7千米这就得出两车距离是14千米，到8点39分时第一辆车已经走了28千米，从化肥厂开出了28分钟，因此第一辆汽车是8点11分离开化肥厂的.答：第一辆车在8点11分离开化肥厂.看到“速度”、“距离”、“行走”等词，有些同学就认为是行程问题，其实不然.从数学角度来说，本例实质是小学数学中的“年龄问题”.改换一下它的面貌，就有下面这道题：1980年小英的姑姑的年龄是小英年龄的3倍；1987年小英姑姑的年龄是小英的2倍.问小英哪年出生？用图解法表示小英和姑姑在1980年和1

3、987年的年龄，与前面画的图完全一样.这是最典型的“年龄问题”.解这种题的“关键”是两人的年龄差（两车距离）是一个定数.例9 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路.一辆汽车上坡每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米.车从甲地开往乙地需9是多少千米？解：上坡速度与下坡速度之比是203547，上坡时间下坡时间=74.考虑往返全程，其中上坡时间是如果从甲往乙都是上坡，要用10.5小时，现在只用9小时，因此其中下坡时间是上坡时间是9-27（小时）.甲至乙行程中上坡行程=20×7140（千米），下坡行程=35×270（千米）.答：甲至乙上坡和下坡行程分别是140千米

4、和70千米.例9与第二讲例6是完全一样的问题，当然可用“和差问题”方法求解，例9也是第三讲例16的特殊情况，若先求出上坡与下坡的平均速度，也可用“鸡兔同笼”方法求解.但从速度比入手，转化为时间之比，考虑和比与差比，似乎更抓住了问题的实质.例10 某工厂一个生产小组，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可完成一项生产任务.如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可提前1小时完成这项生产任务.问如果同时交换A和B，C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可以提前多少时间完成这项生产任务？解：工作量

5、=工作效率×时间.设原来的工作效率为1.因此时间缩短了答：可以提前1小时48分完成.对小学生来说，这道题目的文字稍长了一些.弄明白了，其实内容是很简单的.这是工程问题.按照小学同学的习惯，设这项生产任务的工作量为1.原质是工作效率的提高，如何从数量上反映出“提高”，是有讲究的，要尽量使进一步的思考容易些.例10还有一种简单解法：设工作量为72份（9与8的最小公倍数）.原来每小时完成8份，两人出现分数，就易于进一步思考.）A与B，C与D都交换，每小时能完成8+1+110（份）.完成72份需要72÷107.2（小时），比原来少1.8小时.这样解实质上就是设原来的工作效率是8，使

6、计算整数化.例11 某班买来单价为1.5元练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本，如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本.那么这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱？因此，均分给全班每人可分得1.5×69（元）.答：均分全班每人应付9元.从上面计算可看出，这道题的答数，与有多少练习本无关.我们可以设练一模一样.在工程问题中，也不知工作量究竟多大，通常设为整体1.因此例11与工程问题是一类问题.对于单给女生每人15本与单给男生每人10本，说明女生人数与男生人数之比是32.你可以认为全班就只有3位女生，2位男生，一样可做出答数.这就是问题的实质.在工程问题中，

7、甲独做要几天，乙独做要几天，也只是说甲与乙的工作效率之比.用这个比来解题，有时计算方便，而且整数化.在第八讲中，不少例题就是这样做的.学了比例，就要灵活运用.例12 已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同，猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同.而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同，猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同.猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同地出发，同向跑.问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？进行连比，得猫速狗速兔速=225625441.441-225216，与300求最小公倍数216×255400300×18.625-225400，400×

8、;1.5=300×2.猫跑 225×1.5与兔相遇.猫跑 225×25与狗相遇.猫跑 225×1.5×258437.5（米）与兔、狗都相遇，此时兔跑了 441×1.5×2516537.5（米）.狗跑了 625×1.5×2523437.5（米）.答：出发后猫、狗、兔第一次相遇，狗跑了23437.5米，兔跑了16537.5米，猫跑了8437.5米.这道题实质就是求最小公倍数，连比也是求最小公倍数.简单的算术就可求解，不必动用代数.例13 有五堆苹果.较小的三堆平均有18个苹果.较大的两堆，苹果数之差为5个.又

9、，较大的三堆平均有26个苹果，较小的两堆苹果数之差为7个.最大堆与最小堆平均有22个苹果.问每堆各有多少个苹果？解：根据第五讲，（最大+次大）-（次小+最小）（26-18）×324.最大+次大+5最大×2次小+最小-7最小×2最大-最小=（2457）÷218最大+最小=22×244.根据和差问题的算法，最大=（44+18）÷231，次大=31-526，最小=31-1813，次小=13+720，中间一堆是18×3-20-1321.答：这五堆苹果的个数从大到小依次是31，26，21，20，13.例13的实质是和差问题.已知最大与

10、最小的和，自然要设法去求出它们的差.目标明确，就不难发现解法.例14 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人.这三辆车分别用6分钟，10分钟，12分钟追上骑车人.现在知道快车每小时24千米，中车每小时20千米，问慢车每小时走多少千米？解：画一张示意图：快车6分钟走了中车10分钟走了骑车人在这一段时间走了他用了10-64（分钟），他的速度是答：慢车速度是每小时19千米.这道题是什么问题？很多人都会说，这是行程问题中的“追及”.不错，可是这道题目与下面题目相同.牧场有一块草地，24匹马6天可以把草吃光，20匹马10天可以把草吃光，那么几匹马12天可以把草吃光（假定草每天的生长量是固定的）.这就成了第八讲例20介绍的“牛吃草”.由于问题转化，启发我们产生较简便的解法.把1匹马每天吃草量作为计算单位.10天比6天多4天，这4天草的生长量是20×10-24×656，每天草生长量是56÷4=14，也就是1天生长的草，可供14匹马吃1天.12天比10天多2天，原有的草加12天生长的草是20