第四章 养老保险问题——非线性方程求根的数值解法

1、 第四章 养老保险问题 非线性方程求根的数值解法4.1 养老保险问题4.1.1 问题的引入养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，如果已知所交保费和保险收入，则按年或按月计算实际的利率是多少？或者说，保险公司需要用你的保费至少获得多少利润才能保证兑现你的保险收益？4.1.2 模型分析假设每月交费200元至60岁开始领取养老金。某男子25岁起投保，届时养老金每月2282元；如果其35岁起保，届时月养老金1056元。试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。4.1.3 模型假设这应当是

2、一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第月为止，所交保费及收益的累计总额为，每月收益率为，用表示60岁之前每月所交的费用和60岁之后每月所领取的费用，N表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份。4.1.4 模型建立在整个过程中，离散变量的变化规律满足： (4.1.1)在公式（4.1.1）中实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人账户上的资金数值。我们关心的是，在第月时，能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；若为负，则表明保险公司出现亏损；当为零时，表明保险公司最后一无所有，所有的收益全归保险人，把它作

3、为保险人的实际收益。从这个分析结果来看，引入变量，很好地刻画了整个过程中资金的变化关系。特别是引入收益率 ，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但从问题的系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各量变化的表现基础。4.1.5 模型求解在(4.1.1)中两式，取初始值，我们可以得到：再分别取，和，并利用可以求出：它是一个非线性方程。因此求解该模型，就转换为一个求非线性方程的问题。众所周知，代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明了次的一般代数方程是不能用代数公式求解的，因此需要研究用数值方法求得满

4、足一定精度的代数方程的近似解。在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方程的问题。正因为非线性方程求根问题是如此重要的基础，因此它的求根问题很早就引起了人们的兴趣，并得到了许多成熟的求解方法。下面我们介绍非线性方程的基本概念与重要解法。4.2 非线性方程求根的数值方法4.2.1 根的搜索相关定义定义4.2.1 设有一个非线性方程，其中为实变量的非线性函数。（1）如果有使，则称为方程的根，或为的零点。（2）当为多项式，即则称为次代数方程。当包含指数函数或者三角函数等特殊函数时，则称为特殊方程。（3）如果，其中。为正整数，则称为的重根。当时，称为的单根。定理4.2.1 设为具有复系数的次代数方

5、程，则在复数域上恰有 个根（重根计算个）。如果为实系数方程，则复数根成对出现，即当：为的复根，则亦是的复根。定理4.2.2设在连续，且，则存在，使得，即在内存在零点。4.2.2 逐步搜索法 对于方程，为明确起见，设，从区间左端点出发按某个预定步长（如取，为正整数），一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的搜索。即检查节点上的函数值的符号，若，则即为方程解；若，则方程根在区间中，其宽度为。例4.2.1 考察方程由于 则在内至少有一个根，设从出发，以为步长向右进行根的搜索。列表记录各节点函数值的符号, 如表4.2.1所示。可见方程在内必有一根。表4.2.1的符号00.51.01.5的符号-+易见，此

6、方法应用关键在步长的选择上。很明显，只要步长取得足够小，利用此法就可以得到任意精度的根，但缩小，搜索步数增多，从而使计算量增大，用此方法对高精度要求不简便。4.2.3 二分法对非线性方程： 其中在上连续且设，不妨设在内仅有一个零点。求方程()的实根的二分法的过程，就是将逐步分半，检查函数值符号的变化，以便确定包含根的充分小区间。二分法的步骤如下：记，第1步：分半计算，即将分半。计算中点及。若，则根必在内，否则必在内（若，则），于是得到长度一半的区间含根，即，且。第步：（*分半计算）重复上述过程。设已完成第1步第步，分半计算得到含根区间，且满足，即，则第步的分半计算：，且有： 确定新的含根区间，

7、即如果，则根必在内，否则必在内，且有：。总之，由上述二分法得到序列，由(4.2.2)有：。可用二分法求方程的实根的近似值到任意指定的精度，这是因为：设为给定精度要求，则由，可得分半计算次数应满足： 二分法的优点是方法简单，且只要求连续即可。可用二分法求出在内的全部实根，但二分法不能求复根及偶数重根，且收敛较慢，函数值计算次数较多。例4.2.2 用二分法求在内一个实根，且要求精确到小数点后第三位。（即）解 ：由代入式(4.2.3)，其中，可确定所需分半次数为，计算结果部分如表4.2.2所示（显然）。表4.2.2 部分计算结果81.1328131.1406251.1367190.02061991.

8、1328131.1367191.1347660.4268415101.1328131.1347661.133789111.1337891.1347661.1342774.2.4 迭代法 迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程、超越方程及方程组的一种基本方法，但存在是否收敛及收敛快慢的问题。 用迭代法求解的近似根，首先需将此方程化为等价的方程： 然而将化为等价方程的方法是很多的。例4.2.3 对方程可用不同的方法将其化为等价方程：（1） （2）定义4.2.2 （迭代法）设方程为（1）取方程根的一个初始近似，且按下述逐次代入法，构造一个近似解序列： 这种方法称为迭代法（或称为单点迭代法），称为迭

9、代函数。（2）若由迭代法产生序列有极限存在，即，称为收敛或迭代过程收敛，否则称迭代法不收敛。若连续，且，则，即为方程的解（称为函数的不动点），显然在由方程转化为等价方程时，选择不同的迭代函数，就会产生不同的序列（即使初值选择一样）且这些序列的收敛情况也不一定相同。例4.2.4 对例4.2.1中方程考查用迭代法求根由计算可以看出，我们选取的两个函数，分别构造序列收敛情形不一样（初值都取为1），在中收敛且，在中计算出无定义。部分计算结果如下表4.2.3：表4.2.3 部分计算结果01.01.011.3414710.52359921.4738200.02360131.049530-0.4965554

10、1.497152-1.48776151.49728961.49730071.497300因此对用迭代法求方程的近似根，需要研究下述问题：（1） 如何选取迭代函数使迭代过程收敛。（2） 若收敛较慢时，怎样加速收敛。迭代法的几何意义：求方程根的问题，是求曲线与直线交点的横坐标，当迭代函数的导数函数在根处满足下述几种条件时，从几何上来看迭代过程的收敛情况如图4.2.1。 从曲线上一点出发，沿着平行于轴方向前进交于一点再从点沿平行于轴方向前进交于点，显然的横坐标就是，继续这过程就得到序列，且从几何上观察知道在（1），（2）情况下收敛于，在(3)，(4)情况不收敛于。图4.2.1 迭代法的几何意义图 由

11、迭代法的几何定义知，为了保证迭代过程收敛，应该要求迭代函数的导数满足条件。当时，原方程在中可能有几个根或迭代法不收敛，为此有关于迭代收敛性的定理4.2.3。定理4.2.3 设有方程，（1） 设于一阶导数存在，（2） 当时，有，（3） 满足条件：则有： 在上有唯一解， 对任意选取初始值，迭代过程收敛即， ， 误差估计式：。证明：（ 只证 ，） 由定理条件(2)，当取时，则有，记误差，由中值定理有：，其中在与之间，即，又由条件(3)有：，由此递推可得：，由故。 由迭代公式有：，其中在与之间，于是：即。 由上面反复利用代入上式中有：由定理结果可知，当计算得到的相邻两次迭代满足条件时，则误差。因此在计

12、算机上可利用来控制算法终止，但要注意时，即使很小，但误差可能很大。 另外，当已知及及给定精度要求时，利用定理结果可确定使误差达到给定精度要求时所需要迭代次数，事实上，由解得： 定理条件，在一般情况下，可能对大范围的含根区间不满足，而在根的附近是成立的，为此有如下迭代过程的局部收敛性结果。定理4.2.4 （迭代法的局部收敛性）设给定方程，（1）设为方程的解，（2）设在的邻域内连续可微，且有，则对任意初值（在的邻域内），迭代过程，收敛于。例4.2.5 由迭代法解方程解 (1)显然有即知方程于及内有根记为。(2)考察取初值迭代过程的收敛性，其中迭代函数为，显然，及为增函数，则当时，又由则有。于是由定

13、理4.2.4可知，当初值时，迭代过程收敛，如果要求的近似根准确到小数点后第6位（即要求）由计算结果可知。且，则，。表4.2.4 部分计算结果表00.010.6931471820.99071046141.1461931151.1461932(3)为了求内方程的根。由迭代方程，显然，所以迭代过程（初值）不能保证收敛于。(4)若将方程转化为等价方程或则，且（时），所以当选取时迭代过程收敛。如取，则迭代12次有，且。由此例可见，对于方程，迭代函数取不同形式，相应的迭代法产生的的收敛情况也不一样。因此，我们应该选择迭代函数的迭代过程收敛，且收敛较快。关于迭代公式的加工： 对于收敛的迭代过程，只要迭代足够

14、多次，总可以使结果达到任意的精度。但有时迭代收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此迭代过程的加速是一个很重要的课题。 设为根的某个预测值，用迭代公式校正一次得：由中值定理：，介于之间，若改变不大。近似地取某常数，则由可以期望按上式右端求得的是比更好的近似值。 若将每得到一次改进值算作一步，并用和分别表示第步的校正值和改进值，则加速迭代计算方案如下：校正：改进：由于使用参数，这在实际应用中不方便，下面进行改进计算。设的某近似值，将校正值再校正一次得：，由与得：由此得：。这样将上式右端作为改进公式就不再含有导数信息了。但需要用到两次迭代的结果进行加工。如果仍将得到一次改进值作为一步，则计算过程如下：

15、上述处理过程称为（埃特金）方法。4.2.5 Newton公式 对于方程，应用迭代法时先要改写成，即需要针对构造不同的合适的迭代函数，显然可以取迭代函数为，相应迭代公式为。 一般地，这种迭代公式不一定收敛，或者速度很慢。对此公式应用前面的加速技术。具体格式为：记，则上二式可合并写为：。此公式称为简单的Newton公式，其迭代函数为：。又由于为的近似值，而，因此实际上是的近似值，故用代替上式中的即得到下面的迭代函数：。相应的迭代公式为：，即为Newton公式。4.2.6 Newton法的几何意义Newton法的基本思想就是将非线性方程逐步线性化求解，设有近似的根，将在处展开得：从而近似地表为：。方

16、程的根即为曲线与轴交点的横坐标。设为的一个近似，过曲线上横坐标为的点作曲线的切线，该切线与轴焦点的横坐标即为的新近似值，它与轴交点的横坐标为：，因此Newton法，亦称切线法。4.2.7 Newton法的局部收敛性定义4.2.3 设迭代过程收敛于方程的根，如果迭代误差，当时有：则称该迭代过程为阶收敛的。定理4.2.5 对迭代过程如果在附近连续，且：且，则该迭代过程在附近是阶收敛的。证明： 由于，则由前面关于迭代法的局部收敛性定理知：此迭代过程具有局部收敛性，即。将在处展开，并注意到有：而，从而上式化为：即：故知迭代过程具有阶收敛性。定理4.2.5表明迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数的选取，如果

17、时，则迭代过程只可能是线性收敛的。 对于Newton法，由迭代函数：则，若为的一个单根，即，则由上式知。由上面定理可知Newton法在根的邻域内是平方收敛的（二阶收敛的）。特别地考察Newton公式：设二次连续可微，则，在之间，特别地取，注意，则设两边同除以，得：（注：），利用Newton公式，即有：当，则，或，可见（误差）与的误差的平方成比例。当初始误差充分小时，以后迭代的误差将减少得非常快。反之，则放大。Newton法每计算一步，需要计算一次函数值和一次导数值。例4.2.6 用Newton法求解。解 ：显然。则在内方程有一个根，求导，则Newton公式为：。取，迭代6次得近似根为，。这表明

18、，当初值取值靠近时，Newton法收敛且收敛较快，否则Newton法可能不收敛。下面考虑Newton法的误差估计，由中值定理有：，当充分接近时，有。因此，用Newton法求方程单根的近似根的误差可用来估计。4.2.8 Newton法应用举例(1) 对给定的正数，应用Newton法解二次方程可导出求开方值的计算格式： 可证明公式对任意函数初值都是收敛的。这是因为：两式相除得：利用此式递推可得：（由可知：，则：）。而，。故由公式知即迭代法恒收敛。）例4.2.7 求的近似值，要求终止迭代。解 取经6次迭代后：，故。(2) 对给定正数，应用Newton法求解，由此式可导出求而不用除法的计算程序：。这个

19、算法对于没有设置除法操作的电子计算机是有用的。可以证明，此算法初值满足时是收敛的，这是因为：，即：，令，由递推公式反复递推，得：。当，即时，有即，从而迭代法收敛。4.2.9 Newton下山法Newton法收敛性依赖于初值的选取，如果偏离较远，则Newton法可能发散。例如，对方程。求在附近的一个根。若取初值，则由Newton法：，计算得，仅迭代3次即得有6位有效数字的近似值。但若取初值则由同一Newton公式计算得，这反而比更远离所求根，因此发散。为防止发散，对迭代过程加一下降要求：，满足这项要求的算法称为下山法。 将Newton法与下山法结合，即在下山法保证函数下降条件下，用Newton法

20、加速收敛。为此，可将Newton计算结果与每一步近似值作加权平均：，其中（）成为下山因子。选择下山因子以保证下降性。的选择方法是：由反复减半的试探法，若能找到使下降性成立，则下山成功，否则下山失败，改变初值重新开始。4.2.10 弦截法与拋物法Newton法每迭代一次计算函数值、导数值各一次，当函数本身比较复杂时，求导数值更加困难。下面方法多利用以前各次计算的函数值来回避导数值的计算，导出这种求根方法的基本原理是插值法。设是的一组近似值，利用对应的函数值，构造插值多项式，适当选取的一个根作为的新的近似根。这样就确定了一个迭代过程，记迭代函数为，则，下面具体考察（弦截法），（拋物法）两种情形。4

21、.2.11 弦截法 设为的近似根，过点，构造一次插值多项式，并用的根作为的新的近似根。由于 则由可得： 另外，公式(4.2.9)也可以用导数的差商近似取代Newton公式中的，同样得公式。弦截法的几何意义：曲线上横坐标为的点分别记为，则弦线的斜率等于差商。的方程为：，则按求得的近似根实际上是弦线与轴交点的横坐标。因此这种算法称为弦截法，又称割线法。 弦截法与切线法（Newton法）都是线性化方程，但两者有本质区别。Newton切线法在计算时只用到前一步的及，但要计算，而弦截法在计算时要用前面两步的结果，而不需计算导数。这种方法必须有两个启动值。例4.2.8 用割线法求解方程在的根。解 取初值，

22、则迭代5次后有，。例子表明弦截法仍具有较快的收敛性。定理4.2.6 假设在根邻域内具有二阶连续导数，且对有。又初值，那么当邻域充分小时，弦截法将按阶收敛到根。(证明略) 下面分析弦截法用于求解时，对Atken加速算法的几何解释：为的近似根，在曲线上走了两点，引弦线与直线交于一点，则的横坐标（与纵坐标相等）为：此即为Atken加速计算方法的公式。由图可以看出，所求的根是曲线与的交点的横坐标，从图形上看，尽管迭代值比和更远偏离了，但按上式求得的却明显地扭转了这种发散的趋势。4.2.12 抛物线法设已知的三个近似根为，以这三点为节点构造二次插值多项式，并适当选取的一个零点作为新的近似根。这样确定的迭

23、代过程称为拋物线法（亦称密勒法）。拋物线插值多项式为：有两个零点： 其中， 其几何意义就是：用抛物线与轴的交点作为所根的近似值。为了由定出一个值，需讨论根式前正负符号的取舍问题在三个近似根中，自然假定以更接近所求的根，这时为保证精度，选取中较近的一个值作为新的近似根，为此，只要令根式前的符号与的符号相同。例4.2.9 用抛物线法求解方程解 取三个初值，计算，从而：。定理4.2.7 若在根的邻域内有三阶连续偏导数，且对，有，又初值，那么当邻域充分小时，抛物线法(4.2.8)将按阶收敛于根。 可见抛物线法比弦截法收敛阶更接近于Newton法，定理的证明略。4.2.13 多项式求值的秦九韶算法 多项式的重要特点之一是求值方便，设，系数均为实数。用除，记其商为，则其余项显然为即 令代入公式后与比较同项式系数，可得：从而有： 式提供了计算函数值的有效算法称为秦九韶法。这种算法的优点是计算量小，结构紧凑，易编制计算机程序。再看的阶Taylor展开式：注意（对次多项式）更高阶导数为0。将它表示为：则有： 可见导数值又可看作