高中数学逻辑用语文档

1、1.命题及其关系、充分条件与必要条件1 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以_的陈述句叫作命题其中_的语句叫真命题，_的语句叫假命题2 四种命题及相互关系3 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_关系4 充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的_，q是p的_；(2)如果pq，qp，则p是q的_.注意：1 等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假2 集合与充要条件设集合Ax|x满足条件p

2、，Bx|x满足条件q，则有(1)若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件课堂练习1 下列命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；“若ab0，则a0”的否命题；“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题其中真命题的序号是_2 “x>2”是“<”的_条件3 已知a，bR，则“ab”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件4 设集合AxR|x2>0，BxR|x<0，CxR|x(x2)>

3、;0，则“xAB”是“xC”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5设R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 例题分析题型一四种命题的关系及真假例1已知命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是 ()A否命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m>1”是真命题B逆命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”是假命题C逆否命题“若m>1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”是

4、真命题D逆否命题“若m>1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题 命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是 ()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数题型二充要条件的判断例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是 ()Ap：m2或m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点Bp：1；q：yf(x)是偶函数Cp：cos cos ；q：tan tan Dp：ABA；q：AU，BU，UBUA 给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的

5、充分不必要条件；“a2”是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直”的充要条件；设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，则“A30°”是“B60°”的必要不充分条件其中真命题的序号是_答案题型三利用充要条件求参数例3已知集合Mx|x<3或x>5，Px|(xa)·(x8)0(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5<x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5<x8的一个充分但不必要条件探究提高利用充要条件求参数的值或范围，关

6、键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验变式训练3已知p：x24x50，q：|x3|<a (a>0)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围等价转化思想在充要条件关系中的应用典例：(12分)已知p：2，q：x22x1m20 (m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围方法与技巧1当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提2数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区

7、别的；命题有真假之分，而定理都是真的3命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与綈B綈A，BA与綈A綈B，AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件失误与防范1判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式2判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言专项基础训练一、选择题1 (2012·湖南)命题“若，则tan 1

8、”的逆否命题是 ()A若，则tan 1 B若，则tan 1C若tan 1，则 D若tan 1，则答案2)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1 Cx5 Dx0答案3 已知集合Mx|0<x<1，集合Nx|2<x<1，那么“aN”是“aM”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案4 下列命题中为真命题的是()A命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B命题“若x>1，则x2>1”的否命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案二

9、、填空题5 下列命题：若ac2>bc2，则a>b；若sin sin ，则；“实数a0”是“直线x2ay1和直线2x2ay1平行”的充要条件；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是_答案6 已知p(x)：x22xm>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为_答案7设nN，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.三、解答题8判断命题“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题的真假9已知p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围2.简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1 简

10、单的逻辑联结词(1)命题中的“_”、“_”、“_”叫作逻辑联结词(2)简单复合命题的真值表：pq非p非qp或qp且q非(p或q)非(p且q)非p或非q非p且非q真真假假_真假假_真假假真_ 真_假真真假_假_假假真真假_真_真_2. 全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“_”等(2)常见的存在量词有“存在一个”“_”“有些”“有一个”“某个”“有的”等3 全称命题与特称命题(1)含有_量词的命题叫全称命题(2)含有_量词的命题叫特称命题4 命题的否定(1)全称命题的否定是_命题；特称命题的否定是_命题(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：_.注

11、意：1 逻辑联结词“或”的含义逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况2 命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系3 含一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题课堂练习1 下列命题中，所有真命题的序号是_5>2且7>4；3>4或4>3；不是无理

12、数2 已知命题p：存在xR，x22，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p且q、p或q中是真命题的是_3 若命题“存在xR，有x2mxm<0”是假命题，则实数m的取值范围是_4命题“存在x0RQ，xQ”的否定是()A存在x0D/RQ，xQB存在x0RQ，xD/QC任意xD/RQ，x3QD任意xRQ，x3D/Q5 有四个关于三角函数的命题：p1：存在xR，sin2cos2p2：存在x，yR，sin(xy)sin xsin yp3：对任意x0，sin xp4：sin xcos yxy其中的假命题是()Ap1，p4 Bp2，p4Cp1，p3 Dp2，p3.例题分析题型一含有逻辑联结词的命题的真

13、假例1已知命题p1：函数y2x2x在R上为增函数，p2：函数y2x2x在R上为减函数，则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(綈p1)或p2和q4：p1且(綈p2)中，真命题是()Aq1，q3 Bq2，q3Cq1，q4 Dq2，q4 写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假：(1)p：1是素数；q：1是方程x22x30的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2x10的两实根的符号相同；q：方程x2x10的两实根的绝对值相等题型二含有一个量词的命题的否定例2写出下列命题的否定，并判断其真假：(1

14、)p：对任意xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：存在x0R，x2x020；(4)s：至少有一个实数x0，使x10.探究提高全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论而一般命题的否定只需直接否定结论即可 (1)已知命题p：对任意xR，sin x1，则()A綈p：存在xR，sin x1B綈p：对任意xR，sin x1C綈p：存在xR，sin x>1D綈p：对任意xR，sin x>1(2)命题p：存在xR,2xx21的否定綈p为_题型三逻辑联结词与命题真假

15、的应用例3已知p：方程x2mx10有两个不相等的负实数根；q：不等式4x24(m2)x1>0的解集为R.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围变式练习 已知a>0，设命题p：函数yax在R上单调递增；命题q：不等式ax2ax1>0对任意xR恒成立若“p且q”为假，“p或q”为真，求a的取值范围借助逻辑联结词求解参数范围问题典例：已知c>0，且c1，设p：函数ycx在R上单调递减；q：函数f(x)x22cx1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围方法与技巧1要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构

16、去写，并注意与否命题的区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真2要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题来判断简单命题的真假3全称命题与特称命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集失误与防范1p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p且q为真命题，必须p、q同时为真2p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题4简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问

17、题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系课后练习一、选择题1 下列命题中的假命题是()A存在x0R，lg x00 B存在x0R，tan x01C对任意xR，x3>0 D对任意xR,2x>02命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A任意一个有理数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D存在一个无理数，它的平方不是有理数3设命题p：函数ysin 2x的最小正周期为；命题q：函数ycos x的图像关于直线x对称则下列判断正确的是 ()Ap为真 B非q为假Cp且q为假 Dp或q为真4 已知命题p：“对任意x1,2，x2a0”，命题q：“存在xR，使x22ax2a0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()Aa|a2或a1 Ba|a1Ca|a2或1a2 Da|2a1二、填空题5 命题“对任意xR，exx”的否定是_6 若命题p：关于x的不等式axb>0的解集是x|x>，命题q：关于x的不等式(xa)(xb)<0的解集是x|a<x<b，则在命题“p且q”、“p或q”、“非p”、“非q”中，是真命题