高等代数第四章线性变换

1、.第四章线性变换习题精解1 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间 V 中， A,其中V 是一固定的向量；2） 在线性空间 V 中， A其中V 是一固定的向量；3） 在 P 3 中， A ( x1 , x2 , x3 )( x12 , x2x3 , x32 ) ；4） 在 P 3 中， A ( x1 , x2 , x3 )(2 x1x2 , x2x3 , x1 ) ；5） 在 P x 中， A f ( x)f (x 1)6） 在 P x 中， A f ( x)f ( x0 ), 其中 x0P 是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，A8） 在 P n n 中

2、， AX=BXC其中 B,CP nn 是两个固定的矩阵 .解 1)当0时 ,是;当0 时,不是 .2)当0时,是;当0 时,不是 .3)不是 .例如当(1,0,0) , k2 时 , k A ()(2,0,0), A (k ) (4,0,0) ,A (k )k A( ) .4)是 .因取( x1 , x2 , x3 ),( y1, y2 , y3 ) ,有A () = A ( x1y1 , x2y2 , x3y3 )= (2x12 y1x2y2 , x2y2x3y3 , x1 y1 )= (2x1x2 , x2x3 , x1 ) (2 y1y2 , y2y3 , y1 )=A +AA (k )

3、A (kx1 , kx 2 , kx3 )(2kx1kx2 , kx2kx3 , kx1 )(2kx1kx2 , kx2kx3 , kx1 )=k A ( )3上的线性变换 .故A是P5) 是 .因任取 f ( x) P x, g(x)P x ,并令u( x)f ( x) g( x) 则A ( f ( x)g (x) = A u(x) = u( x1) = f ( x 1)g (x1) =A f (x) + A (g( x)再令 v( x)kf (x) 则 A (kf ( x)A ( v( x)v( x 1)kf ( x 1) k A ( f ( x)故 A 为 P x 上的线性变换 .6)是

4、 .因任取 f ( x) P x, g( x)P x 则 .A ( f ( x)g (x) = f ( x0 ) g( x0) A ( f ( x)A ( g (x) )A (kf ( x)kf (x0 ) k A ( f ( x)7)不是 .例如取a=1,k=I, 则精选范本.A(ka)=-i , k(Aa)=i,A(ka)k(a)A8)是.因任取二矩阵X ,YPn n ,则A(X Y)B( XY)CBXC BYC A X +AYA(k X )= B(kX )k( BXC )k A X故 A 是 P nn 上的线性变换 .2.在几何空间中以 B 表示绕 oy 变换 .证明 :,取直角坐标系

5、oxy,以 A 表示将空间绕 ox 轴由 oy 向 oz 方向旋转 90 度的变换 , 轴向 ox 方向旋转 90 度的变换 ,以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转 90 度的A4=B 4=C4=E,ABBA,A2B2=B 2A2并检验 (AB)2 = A 2 B2 是否成立 .解任取一向量 a=(x,y,z),则有1)因为Aa=(x,-z,y),A 2 a=(x,-y,-z)A 3 a=(x,z,-y),A 4 a=(x,y,z)Ba=(z,y,-x),B 2 a=(-x,y,-z)B 3 a=(-z,y,x),B 4 a=(x,y,z)Ca=(-y,x,z),C 2 a=(

6、-x,-y,z)C3 a=(y,-x,z),C4 a=(x,y,z)所以A4=B 4=C4=E2) 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)所以ABBA3)因为A 2 B 2 (a)=A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)B 2 A 2 (a)=B 2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以精选范本.A2B2=B2A23) 因为(AB) 2 (a)=( AB)(AB(a)_=AB (z,x,y)=(y,z,x)A 2 B 2 (a)=(-x,-y,z)所以(AB)2A2 B23.在 Px 中 ,A f ( x)f (x),

7、 B f (x)xf ( x)证明 :AB-BA=E证 任取 f ( x)Px,则有(AB-BA) f ( x) = AB f (x) -BA f ( x) =A ( xf (x) -B( f (x) = f ( x)xf ; ( x) - xf ( x) = f (x)所以AB-BA=E4.设 A,B 是线性变换 ,如果 AB-BA=E, 证明 :kkk 1AB-BA= k A(k1)证 采用数学归纳法.当 k=2 时A 2 B-BA 2 =(A 2 B-ABA)+(ABA-BA 2 )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A结论成立 .归纳假设k m,AmB-BAm=mAm

8、1.k m 1,时结论成立 即则当时 有A m 1 B-BA m 1 =(A m 1 B-A m BA)+(A m BA-BA m 1 )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+ m A m 1 A= (m 1) A m即 k m 1 时结论成立 .故对一切 k 1 结论成立 . 5.证明 :可逆变换是双射 .证 设 A 是可逆变换 ,它的逆变换为A 1 .若 ab,则必有 AaAb,不然设 Aa=A b,两边左乘 A 1 ,有 a=b,这与条件矛盾 .1其次 ,对任一向量b,必有 a 使 Aa=b,事实上 ,令 Ab=a 即可 .6.设1 , 2 ,n 是线性空间

9、 V 的一组基， A 是 V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且精选范本.仅当 A 1,A2, ,An 线性无关 .证 因A( 1, 2, n )=( A1 ,A2 ,An )=(1, 2 , , n )A故 A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆 ,而矩阵 A 可逆的充要条件是 A 1 ,A 2 ,A n 线性无关 .故 A 可逆的充要条件是A1,A 2,An 线性无关 .7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4)中变换 A在基1 =(1,0,0),2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵 ;2)o;1 , 2 是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角

10、的平分线的垂直投影 ,B 是平面上的向量对2 的垂直投影 ,求 A,B,AB 在基1 , 2 下的矩阵 ;3)在空间 Px n 中 ,设变换 A 为 f ( x)f (x1)f (x)试求 A在基i = x( x 1)(xi1) 1(I=1,2,n-1)i!下的矩阵 A;4)六个函数1 =e ax cos bx ,2 =e ax sinbx3 = x e ax cosbx , 4 = x e ax sin bx1 =1x2e ax cosbx , 1=1e axx 2sin bx22的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换 D 在基i (i=1,2,6)下的矩阵 ;3 中线性

11、变换1015)已知A 在基1 =(-1,1,1), 2=(1,0,-1),下的矩阵是110P3 =(0,1,1)121求A在基1=(1,0,0),2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵 ;6)在 P3 中,A 定义如下 :AAA其中123( 5,0,3)(0, 1,6)( 5, 1,9)精选范本.123( 1,0,2)(0,1,1)(3, 1,0)求在基1 =(1,0,0),2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵 ;7) 同上,求 A 在 1, 2, 3下的矩阵 .解 1)A1 = (2,0,1)=2 1 +3A2 = (-1,1,0)=-1 +2A3 =(0,1,

12、0)=2210故在基1 ,2 ，3 下的矩阵为 0111002）取1= （1，0）， 2 =（0，1）则 A 1= 11+ 12 ，122A2 =121 +2211故A在基1，2 下的矩阵为 A=221122又因为 B1=0，B2= 2所以 B在基002 = A1 ， 2下的矩阵为 B=，另外，（AB）0111（B 2）=A 2=1 +22 210所以 AB 在基1 ，2 下的矩阵为 AB =2，1023）因为01,1x, 2x(x 1) , n 1x( x 1) x (n 2)2!(n1)!，所以 A0110AA1n 1(x 1) x0(x 1)x x ( n 3)x( x 1) x (n

13、2)(n1)!(n1)!精选范本.x( x1) x(n3)= (x1) x(n2) =n 20101，所以 A 在基0 , 1 ,n 1 下的矩阵为 A =，104）因为D1 = a 1 -b 2 ,D2 =b 1 -a 2 , 6D3 = 1 +a 3 -b 4 ,D 4 = 2 +b3 + a4 ,D 5 = 3 + a 5 -b 6 ,D 6 = 4 +b5 + a6ab1000ba010000ab10，所以 D 在给定基下的矩阵为 D =0ba00 ，010000ab0000ba1105）因为 ( 1, 2, 3)=(1,2，3) 101，所以111111( 1 ,2 ， 3)=( 1

14、,2 ,3 )011=( 1,2 ,3 )X，101故A在基 1,2 ，3 下的矩阵为110101111112B= X1 AX=101110011=220.111121101302精选范本.1036）因为 ( 1, 2, 3)=(1,2，3) 011 ，210103所以 A( 1,2, 3)=A( 1, 2， 3) 011 ,210505但已知 A( 1, 2,3)=( 1, 2 ， 3)011故369505103A( 1, 2 ， 3)=(1,2，3) 0110111369210133505777=(1 ,2 ，3 )01126177736921177752020777=(1 ,2 ，3 )

15、4527772718247771037）因为 (1 ,2， 3)=(1 ,2 ,3 )0111210103505所以 A(1 ,2 ,3 )=(1 ,2 ,3 )0111011210369235=( 1, 2, 3)1 01。1108在 P22中定义线性变换 A1(X)=a bX, A 2 (X)=Xa b, A2(X)=c dc d精选范本.ababX,cdcd求 A1, A2, A3在基 E11,E12,E 21,E22下的矩阵。解 因A 1 E 11 =a E 11 + cE 12 , A 1 E 12 = a E 12 + c E 22 ,A 1 E 21 = bE 11 + dE 2

16、1 , A 1 E 22 = bE 21 +d E 22 ,故 A1在基 E11,E12,E21,E22下的矩阵为A 1 =a0b00a0bc0d00c0d又因A 2 E 11 = a E 11 + b E 12 , A 2 E 12 = cE 11 + dE 12 ,A 2 E 21 = aE 21 + bE 22 , A 2 E 22 = cE 21 + d E 22 ,故 A 2在基 E11,E12,E 21,E22下的矩阵为ac00A 2bd00=0ac000bd又因A 3 E 11 = a2 E 11 + abE 12 + acE 21 + bcE 22A 3 E 12 = acE

17、11 +adE 12 + c 2 E 21 + cdE 22A 3 E 21 = abE 11 +b 2 E 12 + adE 21 + bdE 22A 3 E 22 = bcE 11 + bdE 12 + cdE 21 + d 2 E 22故 A 3在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵为精选范本.a2acabbcabadb2bdA3c 2adcdacbccdbdd 29.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基1 , 2 , 3 下的矩阵为a11a12 a13A=a21a22a23a31a32 a331) 求 A 在基 3, 2, 1下的矩阵 ;2) 求 A 在基 1, k 2

18、, 3 下的矩阵 ,其中且 ;3)求A在基12 ,2,3 下的矩阵 .解1)因A3 = a333+a 23 2a13 1A 2 = a32 3a22 2a12 1A 1 = a313a21 2a11 1故A在基 3,2 ,1 下的矩阵为a33a32a31B3a23a22a21a13a12a112)因A 1= a11 1 + a21 (k2 )a313kA(k2 )= k a12 1 + a22 (k 2 ) + ka32 3A 3 = a13 1 + a23 ( k2 )+ a33 3k故 A 在1, k 2 , 3 下的矩阵为精选范本.a11ka12a13a21a22a23B2kka31ka

19、 32a333)因A(12 )=( a11a12 )(13 )+( a21a22a11a12 ) 2 +( a31a32 ) 3A2 = a12 ( 12 )+( a22a12 )2 + a323A3 = a13 (12 )+( a23a13 )2 + a333故A基 12 ,2 , 3 下的矩阵为a11a12a12a13B3a21a22a11a12a22a12a23a13a31a32a32a3310. 设 A 是线性空间 V 上的线性变换 ,如果 A k 10,但 A k=0,求证,A, ,A k 1( k 0) 线性无关 .证 设有线性关系l1l 2 Al k Ak 10用 A k 1 作

20、用于上式 ,得l1A k1 = 0(因 A n0 对一切 n k 均成立 )又因为 A k 10,所以 l1 0,于是有l 2 Al 3 A2l k Ak 10再用 A k2 作用之 ,得l2A k 1=0.再由 ,可得l2 =0.同理 继续作用下去便可得,l1l 2lk0即证,A, ,A k1( k 0) 线性无关 .11.在 n 维线性空间中,设有线性变换 A 与向量使得 A n 10,A 在某组下的矩阵是但 求证精选范本.0101010证 由上题知 ,A ,A2,A n 1线性无关 ,故 ,A ,A 2, A n 1为线性空间V 的一组基 .又因为A01A 0A2+0 A n 1A(A

21、)= 0+ 0A + 1A 2+0 A n 1A（ A n 1）=0 +0 A +0 A2+0 A n 1故 A 在这组基下的矩阵为01 0101012 设 V 是数域 P 上的维线性空间，证明：V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换 .证 因为在某组确定的基下,线性变换与n 级方阵的对应是双射,而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.13. A 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个线性变换 ,证明：如果 A 在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换 .证设A在基下1, 2 , , n的矩阵为A=(a只要证明A为数量矩阵

22、即可设X为任一非ij ),.退化方阵 ,且( 1 , 2 , n )=( 1, 2 , , n )X则1 , 2 , n 也是 V 的一组基 ,且 A 在这组基下的矩阵是X 1 AX ,从而即有 AX=XA, 这说明 A与一切非退化矩阵可交换.若取12X1n精选范本.则由 A X1 = X 1 A 知 aij =0(ij),即得a11A=a22ann再取01000010X 2 =00011000由 A X2= X2A,可得a11a22ann故 A 为数量矩阵 ,从而 A 为数乘变换 .14.设 1, 2 ,3 ,4 是四维线性空间V 的一组基 ,已知线性变换A 在这组基下的矩阵为1021121

23、3125522121) 求A在基11224,23234,334, 4 2 4下的矩阵;2) 求 A 的核与值域 ;3) 在 A 的核中选一组基 ,把它扩充为 V 的一组基 ,并求 A 在这组基下的矩阵 ;4) 在 A 的值域中选一组基 , 把它扩充为 V 的一组基 , 并求 A 在这组基下的矩阵 .解 1)由题设 ,知1000(1, 2,3 ,4 )=(1, 2,3 ,4 )230001101112故A在基1 ,2, 3,4 下的矩阵为1000110211000B=X 1AX=23001213230001101255011=0111222121112精选范本.23322410103333816

24、4040333301782)先求A1 (0).设A 1 (0),它在1, 2, 3, 4 下的坐标为 ( 1,2, 3, 4),且在 A在 1 ,2 ,3 , 4 下的坐标为(0,0,0,0,)则,1021x101213x201255=0x32212x40因 rank(A)=2, 故由x12x3x40x12x2x33x40可求得基础解系为X 1 =(2,3 ,1,0),X2=( 1,2,0,1)2若令a1 =( 1 , 2 , 3 , 4 )X 1 ,a2 =( 1 , 2 , 3 , 4 )X 2则 a , a2即为 A1 (0)的一组基 ,所以1A 1 (0)=L(a 1 , a2 )再求

25、 A 的值域 AV.因为A1 =1232 4A2 = 22232 4A3 = 2125 34A43=13 25 32 4因 rank(A)=2, 故 A1,A2 , A3, A 4 发秩也为 2,且 A1 ,A 2线性无关,故A 1 ,A 2可组成 AV 的基 ,从而AV=L( A 1,A2 )4)由知, a是 A1(0)的一组基 ,且知1,2 , a1, a2是 V 的一组基 ,又2) a12精选范本.10210132( 1 , 2 , a1 , a2 )=(1, 2,23, 4)00010001故A在基1,2 , a1 , a2下的矩阵为10211021101321213B=2000125

26、510001221252009100=2200122004) 由2)知A 1= 1232 4 ,A2=2223 24易知 A1 , A2 ,3 ,4是 V 的一组基 ,且1000(A 1,A2 ,3 ,4 )=(1 ,2, 3,12004)2101120110210132200010001故A在基A1, A2 ,3 ,4 下的矩阵为1000102110001120012131200C=21012551210112012212120152219132= 220000000015. 给定 P 3 的两组基精选范本.1(1,0,1)12(2,1,0)23(1,1,1)3定义线性变换 A:Ai = i

27、 ( i =1,2,3)(1,2, 1)(2,2, 1)(2, 1, 1)1)写出由基1, 2 , 3到基1, 2 , 3 的过度矩阵 ;2) 写出在基 1, 2 , 3 下的矩阵 ;3)写出在基1, 2 , 3 下的矩阵 .解1)由(1,2,3 )=(1, 2, 3)X引入 P 3 的一组基 e1 =(1,0,0),e2 =(0,1,0),e3 =(0,0,1),则121( 1,2,3 )=(1,e2,3)011=(1 ,e2,e3 )Aeee101所以122(1 ,2 ,3 )=( e1 , e2 , e3 )221=( e1 , e2 , e3 )B=( e1 , e2 , e3 )A

28、1 B111故由基1,2, 3到基1, 2, 3 的过度矩阵为1233121122X=A 1B=011221=101111223312 21 51222)因33222A( 1, 2,3 )=(1, 2, 3 )=( 1,2 ,333 ) 12215122故A在基 1,2 ,3 下的矩阵为精选范本A=4) 因.332223312215122A( 1,2 , 3 )=A( 1, 2, 3)X=(1, 2, 3 )X故 A 在基1, 2, 3 下的矩阵仍为X.16.证明1i12与i2相似 ,其中 ( i1,i 2 , i n )是 1,2, n 的一个nin排列 .证 设有线性变换A,使1A( 1,

29、 2, n ) = ( 1 , 2 ,2=( 1, 2, n) D 1n)ni1则 A(i1, i2 ,in )=( i1 , i2 ,i n )i2=( i1 , i2 , in )D 2in1于是 D与 D 2A 在两组不同基下的矩阵,故21为同一线性变换与ni1i 2相似 .i n17.如果 A 可逆 ,证明 AB 与 BA 相似 .证因A可逆,故A1存在 ,从而 A1(AB)A=( A1A)BA=BA所以 AB 与 BA 相似.精选范本.18.如果 A 与 B相似,C与 D 相似,证明:A0 与 B0 相似.0B0D证 由已知 ,可设 B=X1 AX, D=Y1CY, 则X 10A0X

30、0=B00Y 10C0Y0DX 10X01这里0Y 1 =0YA0B0相似 .故C与D0019设 A,B是线性变换 ,A 2=A,B 2=B 证明:1) 如果 (A+B ) 2 =A+B 那么 AB=0 ;2) 如果 , AB=BA 那么 (A+B-AB) 2 =A+B-AB.证 1)因为 A 2 = A, B 2 =B, (A+B )2=A+B由(A+B ) 2 =(A+B) (A+B)= A 2 +AB+BA+ B 2 ,故 A+B= A +AB+BA+ B,即 AB+BA=0.又 2AB=AB+AB=AB-BA= A2 B-B 2 A= A 2 B+ABA= A (AB+BA)= A0=0所以 AB=0.2) 因为 A2=A,B2=B,AB=BA所以 (A+B-AB) 2 = (A+B-AB) (A+B-AB)= A 2 +BA- AB A+ A