垂径于弦的直径第一课时

1、瑞金六中瑞金六中 谢舒娴谢舒娴 垂直于弦的直径你你能能破破镜镜重重圆圆吗？吗？复习提问复习提问 如果一个图形沿一条直线对折，直线如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。形叫轴对称图形。2 2、我们所学的圆是不是轴对称图呢？、我们所学的圆是不是轴对称图呢？.1、在我们以前认识的图形中哪些是轴对、在我们以前认识的图形中哪些是轴对称图形？称图形？如如: : 线段、角、矩形、菱形、正方形、线段、角、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、等腰三角形等腰梯形、等腰三角形什么是轴对称图形？什么是轴对称图形？圆是轴对称图形圆是轴对称图形.任何

2、一条直径所在直线都是它的对任何一条直径所在直线都是它的对称轴称轴 不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心O O吗吗? ?由此由此你能得到圆的什么特性？你能得到圆的什么特性？探究一探究一画出其中一条直径画出其中一条直径ABAB，在，在ABAB上找一点不同于上找一点不同于A.BA.B的点的点E E，用直尺当成弦，用直尺当成弦CDCD，绕着绕着E E旋转，旋转，在运动在运动过程中直尺与过程中直尺与ABAB有没有特殊的位置关系？有没有特殊的位置关系？EAODBC直径直径AB和弦和弦CD互相垂直互相垂直探究二探究二在特殊位置情况下，即在特殊位置情况下，即在在O O中

3、，中，CDCD为弦，为弦，ABAB为直径，为直径，ABCDABCD，在现有的图形中还能找到，在现有的图形中还能找到哪些相等的量？哪些相等的量？相等的边：相等的边：CE=DE 如何说明所得的结论呢？如何说明所得的结论呢？对折后对折后CE与与DE，AC与与AD，BC与与BD重合重合探究三探究三AC=AD,BC=BD相等的弧：相等的弧：A AB BC CD DE EO OO OC CD DB BE E（结论）（结论）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧的两条弧刚才我们通过实践操作发现由刚才我们通过实践操作发现由O的直径直径AB,AB,且

4、且ABCDABCD，可以得到结论：，可以得到结论：CE=DECE=DE，AC = ADAC = AD，BC = BD.BC = BD.那么，你能用一句话来揭示这一规律吗？那么，你能用一句话来揭示这一规律吗？几何符号语言：几何符号语言：A A注意：注意：垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是的直线或线段，其本质是“过圆心过圆心”. .AB是直径,CDAB CE=DE ,AC=AD,BC=BD思考：思考： OABCD EABCDABCD, , AC =AD,AC =AD, BC =BDBC =BD结论：结论：证明：连接证明：连接OC,

5、ODOC,ODOC=ODOC=OD，CE=DECE=DEOO关于直径关于直径ABAB对称对称, ,当圆沿着直径当圆沿着直径ABAB对折时对折时, ,点点C C与点与点D D重合重合, ,ACAC和和ADAD重合重合, ,BCBC和和BDBD重合重合. .AC =ADAC =AD, BC =BDBC =BD你能用一句话来揭示这一规律吗？你能用一句话来揭示这一规律吗？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, ,并且平分弦所对并且平分弦所对的两条弧的两条弧. .OEABOEAB（三线合一）（三线合一）如图如图: :CDCD是是OO的一条弦的一条弦，直径，直径ABAB交交CD

6、CD于于E E，CE=DE,CE=DE,那么，那么， ABABCD吗？吗？ ACAC与与ADAD相等吗？相等吗？ BCBC与与 BDBD相等吗？相等吗？（你能证明吗？）（你能证明吗？）垂径定理的推论：垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, ,并且平分弦所对并且平分弦所对的两条弧的两条弧. .几何符号语言：几何符号语言：OABC CD D E E思考：思考：为什么强调这里的弦不是直径？为什么强调这里的弦不是直径？因为一个圆的任意两条直径总是互相平分，但因为一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直它们不一定互相垂直因此这

7、里的弦如果是直径，结论不一定成立径，结论不一定成立OA AB BN NM MAB是直径，CE=DEABCDBC=BDAC = ADAC = ADEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形垂径定理的几个基本图形共同点：过圆心垂直弦共同点：过圆心垂直弦总结：总结：平分弦的直线垂直于弦（平分弦的直线垂直于弦（ ） 垂直于弦的直线必经过圆心（垂直于弦的直线必经过圆心（ ） 反例反例CA AB BD平分弦的直线必平分弦所对的两条弧（平分弦的直线必平分弦所对的两条弧（ ） 反例反例CA AB BDE弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（ ） 平分一条弧

8、的直线必平分这条弧所对的弦（平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦（ ） 反例反例A AB BDC弦的垂直平分线经过圆心（弦的垂直平分线经过圆心（ ） 判断是非判断是非OA AB BN NM M反例反例解：连接OA答：O的半径为5cm.在RtAOE中,根据勾股定理 ）（cm482121=ABAEOEAB222AEOEOA+=22243+=OA169+= 如如图，已知在图，已知在OO中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆，圆心心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求OO的半径的半径. .OABE=9+16=25OA=5(cm)例题解析例题解析例例2.2.你知道赵州桥吗你知

9、道赵州桥吗? ? 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形, ,它的它的跨度跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中弧的中点到弦的距离点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主桥拱，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？的半径吗？37.4m7.2m例题解析例题解析ABOCD7.2m37.4m=ABAD21, 7 .184 .3721=2 .7-R-=DCOCOD.2.7R=在tAOD中，由勾股定理，得,222ODADOA+=.)2 .7(7 .18222RR+=即解得 R27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.AB=37.4,

10、CD=7.2RR-7.218.7解：设圆心为O，过O点作OC AB于点D,连接OA,设半径为R.归纳总结：归纳总结： 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段及连接一条关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段及连接一条半径，这是非常重要的辅助线作法半径，这是非常重要的辅助线作法. .将将圆心到弦的垂线段、圆心到弦的垂线段、弦的一半、半径构造出了直角三角形，从而应用勾股定理弦的一半、半径构造出了直角三角形，从而应用勾股定理解决问题解决问题. .例题解析例题解析1.1.（20112011绍兴）一条排水管的截面如图所示，已知排水绍兴）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径管的截面圆半径OB=10,OB=10,截面圆圆心截面圆圆心O O到水面的距离到水面的距离OCOC是是6 6，则水面宽则水面宽AB=_.AB=_.B BA A O第第1题题图图C16 2. 2.如图，点如图，点A,BA,B是是上两点，上两点，AB=10,AB=10,点点P P是是上的动点上的动点（P P与与A,BA,B不重合）不重合）, ,连接连接AP,PB,AP,PB,过点分别作过点分别作OEAPOEAP于于E,OFPBE,OFPB于于F,F,则则EF=_.EF=_.OB BF FP PE EA A第第2题图题图5认真做一做，你会很开心认真做一做，你会很开心3.在直径为在直径为650mm的圆