含时滞营养再生的单种群赤潮生态数学模型

1、含时滞营养再生的单种群赤潮生态数学模型    段美元王寿松*摘要讨论了四种营养上升函数的性质。根据赤潮藻类以四种不同方式吸收营养，其快慢程度不同，定性分析了赤潮生态数学模型解的有界性和平衡点的稳定性，并企图将有关结论应用于赤潮研究。关键词营养上升函数赤潮单种群生态数学模型稳定性1文献背景及建模依据赤潮是海洋污染的讯号，是全球性的海洋灾害之一。故对赤潮的研究是当今世界的重大科研课题1。文献2讨论了单胞藻类生态数学模型解的有界性及平衡点的稳定性；文献3讨论了两竞争单胞藻类生态模型解的有界性、持久性及平衡点的稳定性；文献4讨论食草类浮游动物自养类浮游植物营养三

2、者相关动态模型解的有界性及解的持久性和平衡点的渐近稳定性；文献5讨论了大鹏湾夜光藻硅藻类浮游植物营养三者相关动态模型解的有界性、持久性和平衡点的渐近稳定性；文献6讨论多种群生态模型解的有界性和平衡点的渐近稳定性；文献7讨论夜光藻硅藻营养物质三者相关的动力学模型，并根据大鹏湾所发生的夜光藻赤潮数据分别对1次赤潮全过程和有连续3次赤潮的情形进行了有效的数值模拟。文献2，3，6中模型适用于恒化装置因或湖泊中；文献27考虑含时滞营养再生且具有一般营养上升函数或某个特殊营养上升函数的情形。在某些海洋、河流和湖泊中，一方面，单个赤潮藻种(例如硅藻、夜光藻、甲藻等)在适宜的气温、气压下，它吸收海洋环境因子中

3、的丰富营养而大量繁殖和高度密集并在适宜的海况条件下产生赤潮；另一方面，不同赤潮藻类吸收营养快慢程度不同。于是，本文以文献2为基础，根据赤潮藻类以四种不同方式吸收营养元素并联系海洋赤潮的实际背景，提出单种赤潮藻类生态数学模型。2营养上升函数有关性质首先，我们引进四种营养上升函数的一般形式为：(1)这里x表示海水中为一般藻类所依赖为生的营养盐成分或作为捕食者藻类所依赖为生的被食者藻类密度。它们具有以下共同性质：gi(x)0(x0)；(2)存在半饱和参数xm,使得gi(xm)=1/2,i=1,2,3,4。由此，又可以得到下列性质：性质1当0<x<xm时，则有：g4(x)<g1(x)

4、<g3(x)<g2(x);当x>xm时，则有：g2(x)<g3(x)<g4(x)<g1(x)。性质2若有两个半饱和参数值xm>xm,则对一切i=1,2,3,4有gi(xm)>gi(x'm)3赤潮藻类模型为了表述方便，引进下列符号标记。E=E(t)表示随时间t变化的营养浓度，S=S(t)表示随时间t变化的赤潮藻类密度，E0为营养输入浓度，C1、C2表示营养、赤潮藻类的冲损率，a为赤潮藻类对营养的最大吸收率，r为赤潮藻类的死亡率，r1为赤潮藻类死亡后的营养再生率(0r1<r),为赤潮藻类吸收营养的转换比率(0<<1)。根据海

5、洋环境中不同赤潮藻类吸收营养快慢程度不同，单种赤潮藻类死亡后经历细菌和微生物分解作用再转化为营养浓度，于是，提出如下赤潮藻类动力学模型：(3)滞后核函数F(u)是一个定义于0,+)上的非负有界函数，它描述了某种赤潮藻类浮游植物死亡后的营养再循环关系，F(u)满足下列条件：(4)且常采用如下形式2：(5)另外，模型具有初始条件：(6)是一个定义于(-,t0上的有界正连续函数，因此，模型满足解的存在唯一性条件，g(E)具有(1)中形式之一，且满足(2)中性质，并具有性质1和性质2。4结果和讨论结论1模型的一切解均是一致有界的。结论1表明，赤潮藻类吸收营养快慢程度并不影响模型解的有界性。结论2若满足

6、下列条件：ar+C2,模型满足初始值E0>0,S0>0的一切解(E(t),S(t),都有：limt+(E(t),S(t)=(E0,0)。结论2表明，若赤潮藻类最大营养吸收转换比率小于等于其冲损率与死亡率之和，则赤潮藻类灭种，赤潮不会发生。结论3当0<EEm时，若g4(E0)>(r+C2)/a;当E>Em时，若g2(E0)>(r+C2)/a；则对所有g(E)=gi(E),而g1(E)要求0<E0<2Em(i=1,2,3,4)情形，模型存在唯一正平衡点Bi(E*i,S*i),且E*i=g-1i(r+C2)/a)，S*i=(C1(E0-E*i)/(r+C2-r1)(i=1,2,3,4)。结论4若结论3成立，当r1=0或0<r1<r,且S()=S(t),(-,t时，模型的正平衡点Bi(E*i,S*i)在R2t=(E,S)|E>0,S>0内是全局渐近稳定的。结论5在时滞营养再生模型中，若取F(u)=K0(u)(弱时滞)或取F(u)=K1(u)(强时滞)，则正平衡点Bi(E*i,S*i)是局部渐近稳定的。结论35表明，若海洋环境中存在丰富的营养浓度，则赤潮