Hermite插值PPT课件

1、2021/3/912.62.6 HermiteHermite插值插值 不少实际问题不但要求插值函数在节点上与原来的函数相等（满足插值条不少实际问题不但要求插值函数在节点上与原来的函数相等（满足插值条件），而且还要求在节点上的各阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式，件），而且还要求在节点上的各阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式，称为称为HermiteHermite插值多项式记为插值多项式记为H H( (x x) )，本节主要讨论已知节点的函数值和一阶导本节主要讨论已知节点的函数值和一阶导数的情形。数的情形。 设已知函数设已知函数y = f (x)在在n +1个互异节点个互异节点x0,x

2、1,xn上的函数值上的函数值yi = f (xi)(i=0,1,2,n)和和导数值导数值y i = f (xi)(i=0,1,2,n)，要求一个不超过要求一个不超过2n+1次的多项式次的多项式H(x)，使其满足：使其满足： ), 2 , 1 , 0( )()(niyxHyxHiiii这样的这样的H H( (x x) )称为称为HermiteHermite插值多项式插值多项式。 并估计误差。且使的多项式求不超过三次已知为互异节点，设引例,)(),2 , 1 , 0()()(,)2 , 1 , 0()(,:11210yxHiyxHxHiyxfxxxiiii11221100112211003)()(

3、)()( )()()()()(yxhyxhyxhyxhyxlyxlyxlyxlxH 可可设设：按按插插值值基基函函数数的的方方法法，：都都是是三三次次多多项项式式且且满满足足其其中中)(),(),(),(1210 xhxhxhxh与与 Lagrange 分析分析完全类似完全类似2021/3/92 1)( ,0)( ,0)( ,0)(0)( ,1)( ,0)(,0)(0)( ,0)( ,1)( ,0)(0)( ,0)( ,0)( ,1)(11211101122212021121110110201000 xhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxh0)(,0)( )(10100

4、 xhxhxh：首首先先求求的的一一阶阶零零点点是是而而的的二二阶阶零零点点是是)(,)( 0201xhxxhx)()()(2210 xxxxCxh 可可设设)()(11)( 2021000 xxxxCxh 而而由由)()()()()( 202102210 xxxxxxxxxh 于于是是求求出出212022102)()()( xxxxxxxxxh 同同理理可可求求：2021/3/93分分别别为为其其一一阶阶零零点点：对对201,)(xxxh)()()(201xxxxbaxxh 可可设设 0)(1)(1111xhxh由由 0)()()(1)()(011211210121011xxbaxxxbax

5、xxxxaxxxxbax 22120111202101221201120)()(2)()(1 ,)()(2)(xxxxxxxxxxxxbxxxxxxxa 22120120202110211201)()()()223)2()(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxh )()()(,)(21012101xxxxxxCxhxxxxh 可设：可设：为一阶零点为一阶零点：对对)(11)(210111xxxxCxh 利利用用)()()(1)(21021011xxxxxxxxxxxh 求。求。满足前面条件，即为所满足前面条件，即为所法求出的法求出的中，可以检查按上述方中，可以检查按上述方代入代入将将)()

6、()(),(),(),(331210 xHxHxhxhxhxh2021/3/94误差估计：误差估计：)()()(33xHxfxR )()()()()()(221033xxxxxxxxHxfxR 与与 Lagrange 分析分析完全类似完全类似)()()()()(22103xtxtxtxtRt 0)(! 4)()()()4(3)4()4( xHfxxx )(!41)( )4(xfx 因因此此可可得得)()(! 4)()()()(2210)4(3xxxxxxfxHxfxRx 因而有：因而有： )(3xH2021/3/95 niiiiinyxhyxhxH012)()()(满足下面条件：满足下面条件：

7、和和其中其中)(h)(xxhii次次的的多多项项式式；都都是是不不超超过过和和12)(h)()1( nxxhii221212120)()()()()()(niiixxxxxxxxxxbxaxh 这样来确定这样来确定a a, ,b b较麻烦，引入较麻烦，引入l li i( (x x) )iiniinnnnnyxHyxHxyyyyyyxxx )(,)()(H,121212101010满满足足求求导导数数值值为为处处的的值值为为一一般般的的，已已知知), 2 , 1 , 0( , 1 0)(, 0)(njjijixhxhjiji 2(), 2 , 1 , 0(0)( , 1 0)( )njxhjij

8、ixhjiji 2021/3/96 0)(1)(iiiixhxh .)()()()(,)()()(112插插值值基基函函数数为为为为待待定定系系数数其其中中Lagrangexxxxxlbaxlxxbaxhininiiii ）还应满足：）还应满足：xhi( 0)(2)()(2)()()(1)()(22iiiiiiiiiiiiiiiixl abxlxlxxbaxblxhaxalxh )(21 iixl aba可求出可求出), 2 , 1 , 0( )()()(21()(2nixlxlxxxhiiiii )(hxi)()()(2xlxxCxhiii 1)()(1)( 2 CxClxhxhiiiiii

9、利利用用),2 , 1 , 0( )()()(2nixlxxxhiii niiiiiiiiiniiiiinyxlxxyxlxlxxyxhyxhxH022012)()()()()(21( )()()(2021/3/972010112101002010101121010100)()()()(21)(21)( xxxxxxxhxxxxxxxhxxxxxxxxxhxxxxxxxxxh，110011003)()()()()(:yxhyxhyxhyxhxHHermite 插插值值多多项项式式为为因因此此两两个个节节点点的的三三次次 )()()(21()(2xlxlxxxhiiiii ),2 , 1 , 0

10、( )()()(2nixlxxxhiii )(H12nx ),( )()!22()()()()(21)22(12baxnfxHxfxRnnn )()(! 4)()(2120)4(xxxxfxR 2021/3/98)()()(xxHxH niixhxH0)()(1)( 20 niixh：推推论论重重根根。次次多多项项式式，却却有有是是不不超超过过因因为为2212)( nnx 2021/3/99Quiz: 给定给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是下面哪个是 h2(x)的图像？的图像？ x0-10.5123456yxy0-10.5123456斜率斜率=1

11、 求求Hermite多项式的基本步骤：多项式的基本步骤： 写出相应于条件的写出相应于条件的hi(x)、 hi(x) 的组合形式；的组合形式； 对每一个对每一个hi(x)、 hi(x) 找出尽可能多的条件给出的根；找出尽可能多的条件给出的根； 根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式； 根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数； 最后完整写出最后完整写出H(x)。2021/3/910221214212222221112111110000)3(4)()()()()4()2)(1()(,)1(4)( )2()2()1(1

12、()(1, 10)1(, 1)1()2()1()( ,0)0()2()0( :)()(),( ,0)3()1 ,0,( 1 0)()1 ,0 ,2, 1 ,0( 0)()2, 1 ,0 , 1 ,0( 0)()2, 1 ,0,( 1 0)()2(;4)1 ,0)( ),2, 1 ,0)( )1( xxxhxhxhxHHermitexxxxhxxxhxxxxxxhbahhxxxbaxhhhhxhxhxhyyjiijijxhijxhijxhjiijijxhixhixhjijijijiii插插值值多多项项式式为为：因因此此所所求求类类似似可可求求代代入入可可设设对对不不必必求求次次多多项项式式都都是是12 101010iiiyyx)(xhi2021/3/911)()(22cbxaxxxH 4/9234112341481611)1(1)2(1)1(cbacbacbacbaHHH22) 3(4)(xxxH12 101010iiiyyx2021/3/9121)( 10)0( )21(1)()1()1(2)(0, 1,0)0()0()()(,)()()( )()( )(,)(,)()(1, 0, 1 :333223232102110311321022101021001003210 xxHHxxxHx