北京水资源短缺风险综合数学模型

1、数学建模论文二零一一年八月水资源短缺风险综合评价摘要水资源是人类生产、生活不可或缺的重要自然资源。近年来，受到气候变化和经济社会不断发展的影响，水资源各类风险问题日趋严重，正确的对水资源进行风险评价计算，为政府水行政主管部门提供科学管理决策依据，指导水资源合理配置与高效利用，解决水资源短缺问题有着深远的意义。因而我们针对这一问题展开了数学建模：第一问在提供的总用水量、工业用水、农业用水、第三产业及其他用水影响因子基础上还增加了降水量、人口数量、植被覆盖率、污水处理率等影响因素，通过对1979年至2009年各个因素数据的收集与分析，采用熵权赋值法，通过各因素的熵值大小，比较得出各因子的权重大小，

2、从而经过系统的计算、分析得到影响北京水资源短缺的主要风险因子有：降水量、农业用水和工业用水。第二问通过对定义的风险率、脆弱性、可恢复性、重现性、风险度作为水资源短缺风险的评价指标的计算，采用模糊综合评判方法对水资源短缺风险进行评价，从而建立模糊概率模型，划分风险等级。接着用层次分析法(AHP)作出评价指标的权重，通过加权平均模型的建立，计算出风险性的综合评分为0.2857 ，接近评价等级V3=0.2858，即北京市水资源短缺处于中风险状态。为降低风险，针对由第一问得出的主要因子采取全面加强工业、农业节水工作，推行资源集约型的经济增长方式，提高水的利用率，同时通过人类活动如植树造林、南水北调等工

3、程间接增加降水量。第三问首先建立了简单的线性相关模型，大致预测出北京市未来两年水资源处于短缺趋势，其次建立有良好预测功能的建立灰色Verhulst 模型，并采用小误差概率检验该模型的精度为一级，精确度较高，从而准确有效的预测出北京市未来两年的水资源短缺总量分别为11.6297亿立方米和11.4622亿立方米，由于两年的时间段较短，不能直接由第二问的模糊概率模型来检验风险等级，所以把这两年的预测值与近十几年的数据结合，代入问题二的模糊概率模型可得风险综合评价值为0.1584，接近评价等级V3=0.1578，所以得出京市未来两年的水资源短缺总量仍将持续处于中风险状态。最后把这两个模型分析比较，由简

4、单的线性相关模型预测出水资源短缺总量的大致趋势，又由Verhulst模型预测得出的精确数据，符合简单的线性相关模型预测的趋势，所以数据具有可信度。第四问根据前三问中所建模型及预测结果，本文向北京市水行政主管部门为对象，写一些有利于缓解水资源短缺现象的建议：提出从合理管理农业、工业用水以及水的循环利用、增加绿化面积、减少硬化地面、南水北调等方面来缓解北京水资源短缺现状的建议。【关键词】熵权赋值法 模糊综合评价模型 线性相关模型 灰色Verhulst 模型1一、问题重述1.1问题的提出水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。风险，是指某一特定危险情况发

5、生的可能性和后果的组合。水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和

6、经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。北京2009统计年鉴及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：1评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度、人口规模等。2建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，

7、才能使得风险降低？3 对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。 4 以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。1.2问题简要分析为了能客观准确评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子，首先找出可能造成北京水资源短缺的多个平行因素，依据历年的耗水指标，根据熵值法确定各因素的权重系数，找出熵值最小（即权重最大）的指标，该指标就是水资源短缺风险最主要的风险因子。在实际解决北京水资源短缺的问题时就可以从该主要因素入手。采取针对性的有效措施来降低水资源短缺风险。要在风险识别和风险分析的基础上进行水资源短缺风险的综合评价和风险等级划分，把损失概率、损失程度以及其他因素综合起来考

8、虑，分析该风险的影响，寻求风险对策并分析该对策的影响，为风险决策创造条件。评价指标选择的原则是：(1)能集中反映缺水地区的缺水风险；(2)能集中反映缺水风险的程度；(3)能反映水资源短缺风险发生后水资源系统的承受能力；2(4)代表性好，针对性强，易于量化。通过对定义的风险率、脆弱性、可恢复性、事故周期、风险度作为水资源短 缺风险的评价指标的计算，采用模糊综合评判方法对水资源短缺风险进行评价，判断风险等级。接着用层次分析法作出评价指标的权重，通过加权平均型模型的建立，计算出风险性的综合评分。在对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，建立简单的线性相关模型和Verhulst 模型。简单的线性相关

9、模型从水资源短缺总量入手，模拟出水资源短缺总量随时间变化得函数图象，并求出对应函数方程，从而预测未来两年内水资源短缺总量。Verhulst 模型直接通过水资源短缺总量入手，对数据进行相关处理，从而得到我们所需的预测模型。最后还通过残差和相对误差来对建立的模型进行检验。通过检验，所建模型均可用来对北京市未来两年水资源短缺风险进行预测。二、 基本假设和符号说明2.1基本假设（1）假设所查找的数据真实有效；（2）假设影响北京水资源短缺的多个因子相互独立；（3）假设在未来的两年中不会发生重大自然灾害，如洪水、地震等。3三、模型的建立与求解3.1 水资源短缺风险的主要风险因子问题一要求我们寻找到影响北京

10、水资源严重短缺的主要风险因子。熵值法是一种客观赋权法，来确定权重系数，由于熵值越小，指标值的变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所起的作用越大，其权重也越大，故最后可以通过各因素的熵值大小，比较得出各因子的权重大小，从而得到主要风险因子。在本题中，我们在提供的水资源总量、农业用水、工业用水、第三产业及其他用水影响因子基础上还增加了降水量、人口数量、植被覆盖率、污水处理率等影响因素。通过对1979年至2009年各个因素数据的分析，采用熵值来确定权重系数，比较得出各因子的权重大小，从而得到影响北京水资源短缺的主要风险因子。3.1.1 权重系数的熵值法确定以往确定评价指标的权重时，通常采用主

11、观确定权重的方法，如AHP方法等。这样就会造成评价结果可能由于人的主观因素而形成偏差。在信息论中，熵值反映了信息无序化程度，其值越小，系统无序度越小，故可用信息熵评价所获系统信息的有序度及其效用，即由评价指标值构成的判断矩阵来确定指标权重，它能尽量消除各指标权重计算的人为干扰，使评价结果更符合实际。其计算步骤如下：（1） 构建m个事物n个评价指标的判R=(xij)nm(i=1,2,n;j=1,2,m)。（2）将判断矩阵归一化处理，得到归一化判断矩阵Bbij=xij-xminxmax-xmin，式中：xmax、xmin分别为同指标下不同事物中最满意者或最不满意者(越小越满意或越大越不满意)。（3

12、）根据熵的定义，m个评价事物n个评价指标，可以确定评价指标的熵为：1mHi=-(fijlnfij) ， i=1,2,LL,n;j=1,2,LL,m lnmj=1fij=bijbj=1m， ij当fij =0时，fijlnfij无意义。当fij=1，fijlnfij也等于0，这显然与熵所反4映的信息无序化程度相悖，不切合实际，故需对fij=1+bijfij加以修正，将其定义为:。(1+b)ijj=1m(4)计算评价指标的熵权WW=(wi)1n，wi=1-Hin-Hii=1n,且满足wi=1。i=1n由上式可以看出,熵值越小时,熵权越大,表明相应的评价指标的信息量越有效,该评价指标越重要。反之,指

13、标的熵越大,其熵权越小,该指标越不重要。熵权体现了客观信息中指标的评价作用大小。3.1.2 权重的求解及主要风险因子的确定通过3.1.1中涉及的熵值求权重的方法，运用Excel得到了各个因素的熵值，通过比较可以得到影响北京市水资源短缺的主要风险因子。熵值法的主要运算结果见下表：表1：各个风险因子归一化后的fij5表2：各个风险因子的熵以及熵权由上表可知：农业用水、工业用水、第三产业及生活等其他用水、水资源总量、降水量、人口数量、植被覆盖率、污水处理率的熵权值分别为：0.9942、0.9928、0.9946、0.9948、0.9921、0.9948，0.9955、0.9927，因为熵值越小权重越

14、大，其影响也越大，它们的权重分别为：0.155、0.158、0.125、0.123、0.167、0.124、0.102、0.096，又由于降水量的权重与工业用水的权重相差为0.9%，工业用水的权重与农业用水的权重相差0.3%，但第三产业及生活其他用水与农业用水的权重相差3%，差值比较大，所以可以得出影响北京市水资源短缺的众多因素中，北京市降水量以及北京市工业用水量、农业用水量对其影响程度较大。3.2 水资源短缺风险综合评价在问题二中要对北京市水资源短缺风险进行综合分析评价，并作出风险等级6划分。水资源的短缺取决于供水和需水两方面影响，而这两方面都具有随机性和不确定性。因此水资源短缺风险也具有随

15、机性和不确定性。在进行风险评价时，充分考虑风险特点以及水资源的复杂性，把存在风险的概率、风险出现的时间、风险损失的程度、风险解除的时间、缺水量的分布等一系列因素考虑在内。从多方面的指标综合考虑评价北京市现水资源短缺风险等级。在评价指标选择中坚持的原则：（1）能集中反映缺水的风险程度；（2）能集中反映水资源短缺风险发生后水资源系统的承受能力；（3）代表性好，针对性强，易于量化。依据上述原则，选取水资源的风险率、脆弱性、可恢复性、事故周期、风险度作为水资源系统水资源短缺风险的评价指标。在水资源短缺风险评价等级模型建立过程中，采用模糊概率理论，建立模糊概率模型。通过模型，可以清晰地看到北京市现水资源

16、风险等级3.2.1 水资源短缺风险评价指标的确定1.风险率根据风险理论，荷载是使系统“失事”的驱动力，而抗力则是对象抵御“失事”的能力。如果把水资源系统的失事状态记为 F()，正常状态记为 S(r)=PXtF，式中：X为水资源系统状态变量 （t）如果水资源系统的工作状态有长期的记录，风险率也可以定义为水资源系统不能正常工作的时间与整个工作历时之比，即1a=NSIt=1NSt，式中：NS 为水资源系统工作的总历时；It是水资源系统的状态变量。0,系统工作正常（XtS）It=。1,系统失事（）2.脆弱性脆弱性是描述水资源系统失事损失平均严重程度的重要指标。为了定量表示系统的脆弱性，假定系统第 i

17、次失事发生时的损失程度为概率为 pi，那么系统的脆弱性可表达为： si，其相应的发生c=()=ii，=1式中：NF为系统失事的总次数。例如，在供水系统的风险分析中，可以用缺水量来描述系统缺水失事的损失程度。类似洪水分析，假定 p1=p2=L=pnfF=1/NF，即不同缺水量的缺水事件7是同频率的，这样上式可写为:1c=i， i=1式中：VEi为第 i 次缺水的缺水量。上式说明干旱的期望缺水量可以用来表示供水系统的脆弱性。为了消除需水量不同的影响，一般采用相对值，即c=i/i，=1i=1式中：VDi是第 i 次干旱缺水期的需水量。3.重现期事故周期是两次进入失事模式F之间的时间间隔，也叫平均重现

18、期。用 d(m,n)表示第n间隔时间的历时，则平均重现期为1N-1w=d(m,n)， N-1n=1式中：N=N()是 0 到 t 时段内属于模式 F 的事故数目。4.可恢复性可恢复性是描述系统从事故状态返回到正常状态的可能性。系统的恢复性高，表明该系统能更快地从事故状态转变为正常运行状态。它可以由如下的条件概率来定义：b=p(XtS|Xt-1F)，上式亦可用全概率公式改写为pXt-1F,XtS， PXt-1Fb=引入整数变量gt及 1,XtF= 0,XSt1,Xt-1F,XtS Zt=0 , 其它这样，由全概率公式可得b=Zt/gt，t=1t=1NSNS8记TFS=Zt， TF=gt，t=1t

19、=1NSNS则有：TFS/TF,TF0b=。 1， T=0F从上式可以看出，当 TF=0，即水资源系统在整个历时一直处于正常工作状态时，=1；而当 TFS=0，即水资源系统一直处于失事状态(TF=NS)时，=。一般来讲，01。这表明水资源系统有时会处于失事状态，但此时有恢复正常状态的可能，而且失事的历时越长，恢复性越小，也就是说水资源系统在经历了一个较长时期的失事之后，转为正常状态是比较困难的。5.风险度用概率分布的数学特征，如标准差，可以说明风险的大小。越大，则风险越大；反之，则风险越小。这是因为概率分布越分散，实际结果远离期望值的概率就越大。s=(D(X)1/2=(Xi-E(X)2/(n-

20、1)1/2。i=1n这里值得说明的是：风险度不同于风险率，前者的值可大于 1，而后者只能小于或等于 1。3.2.2 水资源短缺风险的模糊综合评判模型的建立风险评价是在风险识别和风险分析的基础上，把损失概率、损失程度以及其他因素综合起来考虑，分析该风险的影响，寻求风险对策并分析该对策的影响，为风险决策创造条件的方法。本文采用上述定义的风险率、脆弱性、可恢复性、重现期、风险度作为水资源短缺风险的评价指标，采用模糊综合评判方法对水资源短缺风险进行评价。设给定两个有限论域 U=u1,u2,um和V=v1,v2,vn，其中，U 代表综合评判的因素所组成的集合，V 代表评语所组成的集合。则模糊综合评判表示

21、下列的模糊变换 B=AR，式中 A 为 U 上的模糊子集。而评判结果 B 是 V 上的模糊子集，并且可表示为 A=(l1,l2,lm)，0li1；B=(b1,b2,bn)，0bj1。其中li是一变量，表示单因素ui在总评定因素中所起作用大小，也在一定程度上代表根据单因素ui评定等级的能力；bj为等级vj对综合评定所得模糊子集 B 的隶属度，它表示综合评判的结果。关系矩阵 R 可表示为9r11rR=21Krm1Kr1nKr2nKKK，rm1Krmnr12r22式中：r11表示因素 ui的评价对等级vj的隶属度，因而矩阵R中第i个元素Ri=(ri1,ri2,L,rin)即为对第i个因素 ui 的单

22、因素评判结果。在评价计算中A=(l1,l2,LL,lm)代表了各个因素对综合评判重要性的权系数，因此满足l=1,(i=1,2,L,m)；同时，模糊变换 AR 也即退化为普通矩阵计算，即ibj=min(1,li*rij),i=1,2,L,m;j=1,2,L,n上述权系数的确定可用层次分析法(AHP)得到。由上述分析可以看出，评价因素集 U=u1,u2,um 对应评语集V=v1,v2,LL,vn而评判矩阵中rij即为某因素ui对应等级vj的隶属度，其值可根据各评价因素的实际数值对照各因素的分级指标推求。将评语级分为 5 个级别，各评价因素分级指标见表3。由于水资源风险率、脆弱性、风险度是“越小越优

23、”性指标，所以对于u1,u2,u5各评语级可构造如下隶属函数：10f1, fai1a, fai1i1a-f1, ai1fai2mv1(f)=i2, ai1fai2 m(f)= v2a-aa-fi2i1i3, ai2ai20, fai30, fai10, fai2ff, ai1fai2, ai2fai3ai1ai3mv3(f)=1, ai2fai3 mv4(f)= 1, afai3i4a-ff-ai4i4, ai2ai4ai4-ai3a-ai4i30， fai4fa, fai3i3f-ai3mv5(f)=, ai3ai4由于水资源可恢复性和重现期是“越大越优”性指标，所以对于 u3、u4 各评语

24、级可构造如下隶属函数：ai1f, fai11, fai11, ai2fai1a-fmv1(f)=i2, ai2fai1 mv2(f)= a-fai2-ai1i3, ai3fai2ai3-ai20, fai20, fai30, fai10, fai2aai2, ai2fai1i3, ai3fai2ffmv3(f)=1, ai3fai2 mv4(f)= 1, afai4i3a-ffi3, ai4fai3 , fai4ai3-ai4ai40， fai4110, fai3amv5(f)=i4, ai4fai3f1, fai4对于水资源短缺风险评价的因素集U而言，对应一个测定指标向Y=(f11,f12,

25、f13,f14,f15)。 其中fij是 U 相对于 uij的测定值。这样 mvi(fij) 便表示相对于因素ui 而言属于vi的程度。对于因素集 U，便有下面的模糊关系矩阵：mv1(f11)m(f)v112Ru=mv1(f13)mv1(f14)mv1(f15)mv2(f11)mv3(f11)mv2(f12)mv3(f12)mv2(f13)mv3(f113)mv2(f14)mv3(f14)mv2(f15)mv3(f15)mv4(f11)mv4(f12)mv4(f13)mv4(f14)mv4(f15)mv5(f11)mv5(f12)mv5(f13)。 mv5(f14)mv5(f15)水资源短缺风

26、险评价各因素的权重确定采用层次分析法(AHP)，设权重计算结果为A=(l1,l2,l3,l4,l5)，于是可得出综合评判矢量mv1(f11)mv2(f11)mv3(f11)mv4(f11)mv5(f11)m(f)m(f)m(f)m(f)m(f)v212v312v412v512v112B=ARu=(l1,l2,l3,l4,l5)mv1(f13)mv2(f13)mv3(f113)mv4(f13)mv5(f13)m(f)m(f)m(f)m(f)m(f)v214v314v414v514v114mv1(f15)mv2(f15)mv3(f15)mv4(f15)mv5(f15)在综合评判中，我们选取“加权平

27、均型”的 M (,) 模型，即 。bj=min1,lirij。由于i=1nlri=1nniij是一和式，所以该模型实际上蜕化为一般的实数加法，即bj=lirij (j=1,2,L,m)。i=1选取与maxbij对应的评语为区域水资源短缺风险的评判结果。为了比较直观的说明风险程度，我们将其分成 5 级，分别叫做低风险、较低风险、中风险、较高风险和高风险，风险各级别按综合分值评判，其评判标准和各级别风险的特征见表4。12表4 水资源系统水资源短缺风险级别评价3.2.3模糊综合评价模型的求解根据五种评价因素各自的定义，对北京市水资源总量和总用水量从1979年到2008年的数据进行分析，得到北京市这3

28、1年水资源综合的风险率、脆弱性、可恢复性、重现性、风险度的综合性能数值，具体见表5：表5 北京市1979年至2008水资源评价因素综合性能数值从表中数据可知道：f1=0.8710，f2=0.3357，f3=0.1480，f4=0.1538，f5=9.1970，从而得到测定指标矢量Y=(0.8710,0.3357,0.1480,0.1538,9.1970)。根据各个因素的隶属函数得到因素ui对应等级vj的隶属度，从而得到模糊关系矩阵：00.3215=00011.678500.5595000.7691000.15381。007.197100.3551RU在计算水资源短缺风险评价各因素的权重时，我们

29、采用层次分析法(AHP)，权重计算结果为：13A=(l,l,l,l,l)=(0.0656,0.1703,0.3862,0.3717,0.0062)。 12345由模糊关系矩阵和风险评价各因素的权重，我们可以得到综合评价矢量：B=(0.0548,0.1703,0.2858,0.6400,0.9250)。我们再根据“加权平均型”的 M (,) 模型，即 bj=min1,lirij ，i=1n选取与maxbij对应的评语为区域水资源短缺风险的评判结果，具体评判结果见表6：表6 北京市水资源短缺风险综合评价分值由北京市水资源短缺风险综合评价分值可知：北京市水资源短缺风险 接近中风险程度，需要采取有效的

30、方法进行控制。3.2.4 通过调控主要风险因子使风险降低的方法由熵值法判断权重知影响北京市水资源短缺的主要因素为北京市农业用水、工业用水、降水量。农业用水、工业用水、第三产业及生活等其他用水因素为人为可控因素，水资源总量、降水量为自然因素、非可控因素，下面主要讨论改变可控因素的措施。人为可控因素的调控措施：全面加强工业、农业节水工作，通过加大工业、农业节水投入，应用节水工艺设备，强化用水管理等措施。采用资源集约型的经济增长方式和结构，提高水的利用率，宣传加强民众和单位的节水意识,大力推行节约用水，通过人类活动如植树造林、修建水库、人工造湖、尽量减少城市硬化地面，增加下垫面的透水性、南水北调等工

31、程，一般都是通过改变人为条件而间接增加降水量，以及必要时进行人工降水作业增加北京市的降雨量,同时通过计划生育、晚婚晚育等政策,使的人口数量趋于稳定,控制人口用水和污水。根据水资源总量的散点图可以大致确定其趋于稳定(2008年由于有突发性事件,所以去掉),相对于水资源总量的稳定趋势,通过总用水量的减少,从而使的缺水量减少,以至于风险等级降低。143.3 对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测在对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，我们建立了简单的线性相关模型和灰色Verhulst 模型。简单的线性相关模型从水资源短缺总量入手，模拟出水资源短缺总量随时间变化得函数图象，并求出对应函数方程，从

32、而预测未来两年内水资源短缺总量。灰色Verhulst 模型直接通过水资源短缺总量入手，对数据进行相关处理，从而得到我们所需的预测模型。最后还通过残差和相对误差来对建立的模型进行检验。通过检验，所建模型均可用来对北京市未来两年水资源短缺风险进行预测。3.3.1 用简单的线性相关模型大致预测简单的线性相关模型从水资源短缺总量入手，模拟出水资源短缺总量随时间变化得函数图象，以各年份为x坐标轴，相应时期的缺水量为y坐标轴得出相应光滑曲线的图1：图1图中有3段线条，因水资源短缺总量和移动平均曲线上下趋势没有规律，从而引入线性相关直线趋势线段，可以更好更直观的反应出水资源短缺总量大致成上升趋势，通过直线方

33、程y=0.0898x-167.11，可以预测出2010年和2011年的水资源短缺总量大概分别为13.388亿立方米和13.4778亿立方米。3.3.2 灰色Verhulst模型建立方法灰色预测是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现和掌握系统发展规律，对系统的未来状态作出科学的定量预测。目前应用较多的灰色预测模型是 15GM(1,1)模型、灰色马尔可夫预测模型等，GM(1,1)模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程。但是水资源短缺风险分析是一个动态过程，具有一定的随机波动性，它的发展呈现某种变化趋势的非平稳随机过程，又具有饱和状态的S 形序列，因此采用灰色Verhulst

34、模型，以提高预测精度。 Verhulst 模型的基本原理和计算方法简介如下设x(0)为原始数据序列(0)(0)(0)x(0)=(x1,x2,.,xn)，x(1) 为 x(0)的一次累加生成（1AGO）序列(1)(1)(1)x(1)=(x1,x2,.,xn) ，kx(1)k=xi(0)(k=1,2,.,n)。i=1z(1)为x(0)的紧邻均值生成序列(1)(1)(1)z(1)=(z1,z2,.,zn)，(1)(1)(1)zk=0.5(xk+xk,.,n，则称 -1),k=2,3x(0)+az(1)=b(z(1)2为灰色Verhulst模型，a和b为参数。称dx(1)+ax(1)=b(x(1)2

35、dt为灰色Verhulst模型的白化方程，t为时间。定理1 设灰色Verhulst模型如上所述，若a=(a,b)T为参数列，且(1)(1)2-z2(z2)(1)(1)2-z(z)33B=,Y=MM(1)(1)2(zn)-zn 的最小二乘估计满足 则参数列a(0)x2(0)x3 M(0)xna=(BT,B)-1BTY。定理2 设灰色Verhulst模型如上所述，则白化方程的解（时间响应函数） 16为x(t)=(1)(1)bx0(1)ax0。 (1)at+(a-ax0)e灰色Verhulst模型的时间响应序列为xk+1=(1)(1)bx0(1)ax0(1)ak+(a-ax0)ex(1)0(0)取为

36、 x1，则上式变为(1)xk+1=累减还原为(0)bx1(0)ax1， (0)ak+(a-ax1)exk+1=xk+1-xk。3.3.3灰色Verhulst模型预测模型(1)(0)(1)(1)在实际问题中，可取原始数据为x ，其一次累减生成（1IAGO）为x ，0)(建立Verhulst 模型，直接对x(1) 进行预测（模拟）。由北京2009统计年鉴中可得从1999到2009年北京市水资源短缺总量数据如下表：表7 1999到2009年北京市水资源短缺总量（1）由于表格中2008年的水资源短缺总量数据过小，还会影响预测值，故在建17立预测模型时忽略其的影响作用。设x(1)为19992009 年北

37、京市水资源短缺的(1)(1)(1)原始数据序列，即x(1)=(x1,x2,.,x10)（27.49，23.54，19.7，18.5，17.4，13.2，11.3，9.8，11，13.7）。(0)1()1()（2）对x(1) 作一次累减生成（1IAGO），由xk=xk-xk-1k,=2,3,.,14得(1)(1)(1)x(1)=(x1,x2,.,x10)（-3.95，-3.84，1.2，-1.1，-4.2，-1.9，-1.5，1.2，2.7）。(1)(1)(1)（3）对x(1) 作紧邻均值生成，令 zk=0.5(xk+xk-1),k=2,3,.,n 得(1)(1)(1)（25.515，21.62

38、，19.1，17.95，15.3，12.25，10.55，z(1)=(z1,z2,.,zn)(1)-z2(1)-z310.4，12.35） 于是 B=M(1)-zn(1)2(0)x2(z2)(0)(1)2(z3)x,Y=3。 MM(0)(1)2(zn)xn（4）对参数列a=(a,b)T进行最小二乘估计，得a=(BT,B)-1BTY。（5）Verhulst 模型为dx(1)-0.128x(1)=-0.0089(x(1)2， dt其时间响应为xk+1=（6） x(1) 的预测值x(1) 为x(1)(1)(1)ax1(1)(1)bx0+(a-bx1)eak。=(x1,x2,.,x14)=(27.49

39、,23.54,19.7,18.5,17.4,13.2,11.3,9.8,11,0.9,13.7)。 (1)(1)(1)（7）模型精度检验。一个灰色模型要经过检验才能判定其是否合理。只有通过检验的模型才能用来进行预测。检验方法采用小误差概率合格模型：小误差概率为 p=pek-0 ，当 p P0 时，称模型为小误差概率合格模型。由上可知，给定一组取值，就确定了检验模型精度的一个等级。常用的精度等级见表15，可供检验模型参考。一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。由以上检验方法，可得19992009 年北京市水资源短缺总量灰色Verhulst 模型误差检验值见表9。表9 Verhulst 模型误差

40、有模型可得平均相对误差 = 1.30% ，则模型精度为一级；同时算得绝对关联度g 为0.9708，均方差比值C 为0.2556，则模型精度为一级，可见模型精度较高，可用于预测。由该模型预测可得2010年和2011年的水资源短缺总量分别11.6297和11.4622亿立方米，把这两年的预测值与近十几年的数据结合，代入问题二的模糊概率模型可得风险综合评价值为0.1584及下表：19表10 近十几年北京市水资源短缺风险综合评价分值即北京市未来两年水资源短缺风险综合评价为中风险。3.3.4 两个模型的比较在第一个简单的线性相关模型中，由于水资源短缺总量和移动平均曲线上下趋势没有规律，从而引入线性相关直

41、线趋势线段，如图2：图2 水资源短缺直线趋势线该图像可以得出北京市未来两年的水资源短缺总量大致成上升趋势。由模型可以预测出北京市2010年和2011年的水资源短缺总量大致分别为13.388亿立方米和13.4778亿立方米。在第二个灰色Verhulst模型中，预测可得北京市2010年和2011年的水资源短缺总量分别11.6297和11.4622亿立方米，容易了解到北京在未来两年内水资源短缺现象仍将处于一种中风险状态。由简单的线性相关模型预测出水资源短缺总量的大致趋势，又由灰色Verhulst模型预测得出的精确数据，符合简单的线性相关模型预测的趋势，所以数据具有可信度。203.4 对北京水资源短缺

42、的建议针对所建立的北京水资源模糊概率模型、灰色Verhulst 模型，为有效地缓解北京市水资源严重短缺现象，对北京市水行政主管部门写如下报告。我们通过对北京市水资源短缺的一些因素如农业用水、工业用水、第三产业及其他用水、降水量、植被覆盖率、污水处理率等影响因素的分析，利用熵值赋权法得出降水量、工业用水、农业用水对北京的水资源短缺有重要影响。利用模糊综合评判方法知道，北京的水资源处于高度短缺的状态。在采取以往的水资源控制手段的条件下，经过对用水状况的数据分析，采用灰色Verhulst 模型方式对北京市未来水资源短缺风险的分析， 较清晰地预测到北京市未来几年的水资源短缺仍会处于一种中风险状态。可见

43、，解决水资源短缺问题依然严峻。据此，本着“节流优先，治污为本，多渠道开源”的城市水资源可持续利用的新战略，我们有以下几点建议：1. 城市污水再生利用是提高水资源综合利用率，减轻水体污染的有效途径之一。继续开展污水资源化、加强对雨洪利用的研究和应用。把城市污水排放规划管理、污水处理厂建设、再生污水利用三个环节综合起来，既能减少环境污染，又可以缓解北京市水资源紧缺的矛盾，具有可观的社会效益、环境效益和经济效益。2.南水北调中线工程的实施后，应建立外来水源、本地水源相互协调的供水网络，实现本地地表水源与外来水源的联合调蓄、地下水与地表水的联合调蓄，提高北京城市供水安全保证程度，支持城市可持续发展。3

44、.加强地下水环境保护，建立完善的地下水动态监测系统。逐步做到自动化监测和地下水水质、水位的统一监测，资料要及时、准确反映环境的现状。动态监测工作在满足向社会发布公益性信息的同时，还要考虑能够反映地下水的动态变化特征，为今后深入研究地下水环境系统的变化、演变规律提供基础资料和数据。从区域上保护地下水，防止水质恶化，应从源头上即地下水补给区进行保护。收集和利用城市雨洪，既可防治雨洪灾害，缓解城市雨洪压力；同时又增加了可用水资源，并可通过回灌补给来蓄养地下水。水资源是“从水源地供水排水治污水重新利用”这样一个闭环的系统，需要统一管理，才能优化配置，达到最佳效益。4.尽量减少城市硬化地面，增加下垫面的

45、透水性。在急于追求建设现代化城市的过程中, 北京铺设了大量不透水的硬化地面, 雨水无法下渗, 使水资源自然循环缺失了重要的一环, 从而引发了城市环境连锁负效应。一方面, 大量的不透水表面阻断了雨水下渗, 使得因过度抽取地下水而极度缺水的土地得不到水源的补充; 另一方面, 降水渗透损失率降低, 降水径流量增大, 降雨的表面流出在短时间内汇集, 极易引发城市洪灾。北京市可采取在修建街道两旁路面时，以透水性能大的地砖代替水泥路面的方法，增加下渗量，减小路面径流系数。另一种措施是在房屋周围修建绿地草坪（平或低于地面），将屋顶径流通过管道集中排入绿化地，转变为地下径流，从而减少地面径流。5.为保证城市供水安全，应科学地适度增加地下水开采量，合理开发利用。 对已确定的应急供水水源地应尽快投入勘探和开发工作，对其它地区继续开展调查工作，寻找新的后备应急水源。6.通过宣传加强民众和单位的节水意识，另一方面有关部门需要采取一些有力的甚至是强制性的节水措施。例如，继续努力提高用水效率，缩小与世界平均 21用水水平的差距；鼓励清洁生产、节水生产，实行定额用水制度；还有，要根据