数列常用性质

1、m np q等差数列等比数列amam anana paqap aq等差数列中Sn，S2n等比数列中Sn，S3nS2nSknS k 1n也成等差数列Sn , S2n等差数列Sn , S3nS2nSknS k1 n也成等比数列数列常用性质S2n 1aia2n 12n 12a. a. 2n 12an 2n 1常用求和公式12 313 5 71222321323 33第一组公式的平方(n 1) nn2(2n 1) n22 1 n2 n(n 1)(2 n 1)623 n(n 1)n2常用求和技巧: 裂相相加111112 61230 42111111122 3344 55 6671、11、1 1、11(1

2、)(n)( )(2233 4671617 7分组求和11 13 15 17316 810 2611 613 8151031265 5 55 51155 错位相减法等差数列与等比数列的乘积 反序相加法把数列倒过来排序，与原数列相加有公因式可提 例1 .设an公差为正数的等差数列假设a1 a2 a315, a1a2a380那么a11a12a13解一设an首项为a1,公差为d3a1 3d15aiiai2ai3a1 i0d ai iid ai i2dai a2 a3aiai dai2d 80i5aid53ai280 d 32di65aia2 a3解二设中间量法设3a2 i5a2d,a2,a2 d80a

3、2d a2 a2da25d3(d3舍去a“2a32,5,83ai 33d3 233 3i05例2.在等比an中；ai 2,前n项和为S.,假设数列a. i 也是等比数列，那么Sn等于A2n i 2 B 3n C 2n D 3n i解：设公比为q,贝Ua2 2q a3 2q2a112 1a21 2q 12q1232q21331 2q214q24q16q232q24q20q2 2q 10q 1Sn 2n常数列,每个数都相等例3.数列an , bn都是公差为1的等差数列， 其首项分别为a1, b1,且a1 b1 5, a,b, N 设Cn ab n N ,那么数例 Cn 的前10项和等于A5；5B7

4、0C85D100ana1n 1 da1n1bnthn 1 dn1Cnabna1bn1a1b n 1 15n 2 n 3G4 d1S101041099 1 40 45 852难点在于代换。例4 .在等差数an中，假设34 a6 12, Sn是数列an前n项和，那么S9的值为A、48 B、54 C、60 D、66S9印 ag 9 a6)9 12 9 542 2 2例5 .在等差数列*中，a12, a2 a313,那么 a4 a5 a6 等于(a4 aia5 a2a6 a33d 3 9d 27A 40 B 42 C 43 D 45a2a32d2 2d 133d 9d3方法一:a4a5a6a4a6a5

5、a5a5a3a542a524 314方法二：解：设公差为da4 a5a6ai a2 a3a4 a5 a6272 1342例6.设Sn为等差数列an的前n项和，假设S510S105，那么公差为 :法一：5 4S5 5a1d 105 1 210 9So 10a1d 5225d25d 1法二:S5a a?a3a4a510S10S5a6a7a8a9a1051015下式上式5d5d5d5d 5d2525d25d1例7、正项数列an ,其前n项和Sn满足10& a； 5an 6,且a1,a3,a15,成等比数列，求数列 an的通项an解：210 Sn an 5an 6210 Sn 1 an 1 5a n

6、1 6n 2一：10( Sn Sn 1) a； a21 5a n 5a. 12 210an an an 15an5an 1c220anaa 15an2 25an 1(xy 5x 5y 0)anan 1 anan 15 0anan 10anan 150anan 15令n1 10a12a1 5a162a15a160a12或a13如果a12an25(n1)5n3如果a13an35(n1)5n2假设an5n3, a12as12a1572满足条件假设an5n2,a13as13a1573不满足条件例&设Sn是等差数列an的前n项和SS6丄,那么鱼3S12解：由于an是等差数列S3, S6 设S3S3 ,

7、S9S6 , S12S9成等差数列S12S63kS6S9S3S62k3k, S12S94kS6S93k4k4k3k 3k 4k10kS63k3S1210k 10例9 某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数之项和为30，那么其公差为A 2 B 、3 C 、4 D 、5解：S 偶 S 奇 d d d d d 15分组求和，对应相减。例10.假设互不相等的实数a、b、c成等差数列,c、a、b成等比数列，且a 3b c 10A 4 B 、2 C 、-2 D 、-4 设a b d c b d 设中间量法那么 a、b、c为 b d.b,b dc、a,b成等比数列2 abc(bd)2b(bd)b22

8、bdd2b2bdd23bdd(d3b)0由于a、.b、c互不相等所以d 0d3b0abd b3b 2bd3bcbd b3b 4b代入a3bc102b3b4b10b2 a 4例11 .在数列an中，假设a1 1 an 1 2an 3 n 1那么该数列的通项an 解：an 1令anan2an 32 an11 2an代回原式an 1an 3 (a13)a 2n 1 3n2n2(an43)2门 12 n例12.数列an中a1 2,an1、2 1 an 2 ,求an解：an 121 anan 1 2 1 an 2 1,21 an x2222x212J2 22.2 2J 2 2 J2.2 1的等比数列an 1J2.2 1 an2a