002014太奇保过数学重点50题

1、保过班2014 保过班数学重点 50 题为了让大家做好20 天的冲刺，特从几千道题目中精心挑选 200 题，浓缩的精华内容，简言之“20 天 200 题，每天 10 题，轻松过关”。其中前 150 道题目为公开资料，所有学生可以：，本资料 50 题特别精心为保过班准备的，请不要外传。1. m = - 115112 - 22 + 32 - 42 + 52 - 62 + 72 - 82 + 92 -102（1） m =20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 2712 - 22 + 32 - 42 + 52 - 62 + 72 - 82 + 92 -102（2） m =

2、20 - 21 + 22 - 23 + 24 - 25 + 26 - 27827m =2.23 - 43 + 63 - 83 +103 -123m =33 - 63 + 93 -123 +153 -183(1)-23 - 43 + 63 + 83 -103 -123m =-33 - 63 + 93 +123 -153 -183(2)3. M= 1 + 2 + 3 +L + n - 1 ，则 M 所在的区间是(0,1)2!3!4!(1)n=10n!(2) n 是大于 100 的正整数1 + 1 - 1 - 1 + 1 - 1= 2a4设O 为坐标轴的原点， a, b, c 的大小，则abbcca

3、(1)(2)5若某公司有 10 个股东，则持股最多的股东所持占总的最大百分比是 25.(1) 他们中任意 6 个股东所持的和都不少的 501保过班(2) 他们中任意 3 个股东所持的和都不少的 25x -1mn6当 x ¹ 1 和 x ¹ 2 时，=+恒成立，则（）+1x + 2(1) | m |= 2 ,= 3(2) m < 0 < nn7.二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴有两个交点 A 和 B，顶点为 C，那么b 2 - 4ac 的值是 12.(1) ÐACB = 60o(2) ÐABC = 60o18.的数

4、阵中，每行，每列的三个数均成等比数列，则数阵中所有数的乘积等于。512éa11a12a13 ùêaúaaê23 ú2122êëa31a33 úûa321214=(1) a(2) a22229.两数之差的绝对值等于 18(1) 若两个正数的等差中项为 15，等比中项为 12(2) 若两个正数的等差中项为 12，等比中项为 1510.该数列前 101 项的和等于 2601.2n -1+ (-1)n2n + 1 + (-1)n+1(1) 通项 an =(2) 通项 an =4411.某型号的变速自行车

5、主动轴有 3 个同轴的齿轮，后轴上有 4 个同轴的齿轮，则这种自行车共可获得 8 种不同的变速比.(1)主动轴齿轮的齿数分别为 48、36 和 24(2)后面齿轮的齿数分别为 36、24、16 和 12484 484848=,= 2,= 3,= 4 有 4 种；【】当主动轴的齿数为 48 时，变速比为363 24161236363 369 36当主动轴的齿数为 36 时，变速比为= 1，=,=,= 3 有 4 种；3624122 164242 24243 24当主动轴的齿数为 24 时，变速比为=,= 1,=,= 2 有 4 种；363 24162 12其中由于变速比相同而重复计算了 4 次，

6、故变速比的种数为 44448，选 C12集合的子集的个数为 16(2) 集合0, -1, -2, -32(1) 集合0,1, 2, 3保过班13若干支球队分组比赛，每组中的各队之间都要比赛一场，初赛中比赛的总场数是 120.(1) 48 支足球队，等分为 8 组进行初赛.(2) 60 支足球队，等分为 12 组进行初赛.14甲盒中有 20 个螺杆，乙盒中有 15 个螺母从甲乙两盒中各和 B 型螺栓的概率为 12 .572 个零件，能配成 A 型(1) 甲中 A 型与 B 型之比为 7：3；A 型与 B 型之比为 2:1(1) 甲中 A 型与 B 型之比为 3：7；A 型与 B 型之比为 1:2

7、15.P(a,b) 是第一象限内的矩形 ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D 的坐标如右图b所示，则 的最大值是 6a(1)m=2,p=6(2)n=6,q=3ì2x + 4x < -3-3 £ x £ 3 的图像恰有 3 个不同的交点ï16.在直角坐标系中，若直线 y = kx 与 y = -2íï2x - 8x > 3îk Îæ 2 ,1ök Î (1, 2)(1)(2)ç 3÷èø217.已知 P 为反比例函数 y =图

8、像上的一点，过 P 分别作两坐标轴的平行线，交 x 轴于x2.2M ，交 y 轴于 N ，则DMPN 的面积为(1) N 点坐标为(0,4)(2)M 点坐标为(4,0)18. 四边形ABCD 的面积等于 13.5.(1)四边形 ABCD 顶点的坐标依次为 A( - 2，2)，B( - 1，5)，C(4，3)，D(2，1) (2 四边形 ABCD 顶点的坐标依次为 A( - 3，1)，B( - 2，4)，C(3，2)，D(1，0)19. 对任意两个实数a 、b ，定义两种运算，则(5 Å 7) Ä 5 =5如果a ³ b,如果a ³ b如果a < b

9、(1) a Å b = ìaa Ä b = ìbíbía如果a < bîî3保过班(1) a Ä b = ìa如果a ³ b,a Å b = ìb如果a ³ b如果a < bíbía如果a < bîî20. 甲想好一个数，将它加 5，将其结果乘以 2，再减去 4，将其结果除以 2，再减去你想好的那个数，则最后的结果等于 3.（1）甲想的数是 10(2)甲想的数是-10a + b2101121.的值为

10、b + cab(1)= 10,= 20ab(2)= 20,= 10bcbca - b - c + b - c - a - c - a - b = 3c - a - b22.a, b, c 分别为DABC 的三边之长(1)(2) a, b, c 为 10 以内的三个不同的质数，且均为奇数23. 甲、乙两种茶叶以 x:y（重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤 50 元，乙种每斤40 元，现甲种茶价格上涨 10%(1) x：y =4 : 5，乙种茶价格下降 10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变。(2) x：y =5: 424. x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 75x

11、- y = 5且z - y = 10x - y = 10且z - y = 5(1)(2)+ 2)(x + 3) 的值为-125.则代数式5 - 3x = 3 -5(1) x =(2)2226. 方程所有实数根的和等于 0方程 x2 - 2013 x= 2014方程 x2 + 2013 x= 2014(1)(2)27设 Sn 为数列an 的前 n 项和，则 S2014 + S2015 = 1n-1(1) an = (-1)n28.某多位数从(2) an = (-1) nn数的第 101 个数码是 1(1) 将正偶数 2，4，6，8，10，12，14，16，依次排成一行组成多位数：24681012

12、1416LL(1) 将正奇数 1，3，5，7，9，11，13，115，依次排成一行组成多位数：29. 在密闭容器中培育某种细菌，如果该细菌因每天的密度增长 1 倍，那么该细菌密4保过班1度增长到 百万株/m3 时用了 16 天.4(1) 它在 20 天时密度增长到 4 百万株/m3(2) 它在 10 天时密度增长到 2 百万株/m330.三个非零实数 a,b,c ，则 a 等于 4b(1) a,b,c 成等差数列，又 a, c, b 恰成等比数列(2) a,b,c 成等比数列，又 a, c, b 恰成等差数列32831.将若干个球放入位于一排的格子中，每格至多放一个球，则 3 个空格相连的概率

13、是(1) 将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中(2) 将 5 个不同的球放入位于一排的 8 个格子中13032.若从十个数中任意取 3 个不同的数，则它们能公比大于 1 的等比数列的概率是(1)这 10 个数为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10(2)这 10 个数为 2，3，4，5，6，7，8，9，10，1233.在四边形ABCD 中对角线 AC，BD 垂直相交于 O 点则四边形 ABCD 的面积为 540.(1) AC=30，BD=36(2) AC=45，BD=2434.圆与坐标轴交于 A(0, -4) ， B(0, -12) 两点，圆心为 P 点，则 P 到坐标原点的距离

14、是 10(1)圆心为 P(6, m)(2)m=-8是一段楼梯，在楼梯上铺地毯，至少需要(2 + 2 3)35.= 2 ， AB 为 4(1) BC3 ， AB 为 4(2) AC = 236积是为 32，在正方形中，分别以边长为直径做半圆，则阴影部分面(1)正方形边长为8(2)正方形面积为6437.ABC 中，M 是ABC 的重心，则 AM=10(2) ABC 是边长为20的等边三角形(1) AB=AC=17，BC=1638. 三角形的三边长为 a, b, c ，则此三角形为等边三角形（1） a2b - a2c + b2c - b3 = 05保过班（2）方程3x2 +2b - 4(a + c)

15、 x + (4ac - b2 ) = 0 有相等的实数根39. 三角形的面积为2 6(1) 等腰三角形的两腰长为 5(2) 等腰三角形的某两边长为 2 和 5，在圆 O 中，CD 是直径，AB 是弦, AB CD于M，则AB = 12cm40.(1) CD = 15cm(2) OM : OC = 3: 5141. 已知直线 L 的斜率为 ，则直线 L 与两坐标轴围成的面积是 3.6(1)直线经过点(12,3)42.曲线C 所围成的区域的面积为 18(2)直线经过(-24,3).x - 2 += 2（1）曲线C 的方程是yx +y -1 = 3（2）曲线C 的方程是43. 已知点 A(- 2,0

16、),点B(0,2)，则DABC 的面积的最大值是3 +2（1）点 C 为圆 x 2 + y 2 - 2x = 0 上的一动点（2）点 C 为圆 x 2 + y 2 + 2 y = 0 上的一动点44. a = 1（1）直线l1 : (2 + a) x + y = 3, l2 : ax + (a - 4) y = 3 互相垂直（2）直线3x + 4 y +1 = 0 被圆( x + a)2 + y2 = 1 所截的弦长为345. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同分法数为 30 种。（1）甲、乙两名学生分到同一个班（2）甲、乙两名学生不能分到同一个班46.一

17、排长椅子上共有 10 个座位，现有 4 人就座，坐法数为 480 种。（1）恰有五个连续空位（2）恰有三人相邻而坐47.六人住 A、B、C 三间房，每房最多住三人，有 90 种住法。（1）每间住两人（2）一间住三人，一间住二人，一间住一人48.由1,2,3,4,5,6 组成无重复的 6 位数，偶数有 108 个。6保过班（1）1 与 5 不相邻（2）3 与 5 不相邻49.甲乙两人从 4 门选修课程中各选 2 门，有 6 种不同的选法。（1）所选课程全相同（2）所选课程都不相同50.有 18 条不同的直线 Ax + By = 0（1）系数 A, B 取自于集合1,2,3,4,5，6 中不同的数

18、（2）系数 A, B 取自于集合1,2,3,4,5 中不同的数51. 5 种不同的颜色涂下列区域，每块区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则有 260 种不同的涂色（1）（ 2 ）且首尾区域颜色不相同52. 某纸箱中装有若干个，现从中取出 3 个，并将其染黑后放入纸箱，混合均匀后，1从箱中随意摸出黑球的概率为 ,3(1)箱中原有9 个(2)箱中原有12 个53.某家庭，打进的响第一声时被接的概率为 0.1，响第三声或第四声被接的概率都是 0.25，则在响第五声之前被接的概率为 0.8（1）响第二声被接的概率为 0.2（2）响第二声被接的概率为 0.4b2 + a2ab的值等于-3654.（1）

19、实数a 与b 均满足方程 x2 - 3x = 1（2）实数 a 与b 为方程 x2 - 3x = 1 的两根7保过班解 析1´ (1- 28 )(-3 -19) ´ 5= -55 ，分母= 255 .= -3 - 7 -11-15 -19 =1.【】由(1)1- 22-5511原式= -.选 A.2555123(1- 23 + 33 - 43 + 53 - 63)8原式=.33(1- 23 + 33 - 43 + 53 - 63)272. 【】由(1),同理，(2)也充分，选 D.【点睛】通过观察，、分母均可提公因数，否则若单独计算和分母，则计算量过大.n -1111111

20、1111=-，因此 M =-+-+-+L +1!2!2!3!3!4!-3.【】由于n!(n -1)!n!(n -1)!n!1= 1-，又因为 n 是大于 100 的正整数，所以 M Î(0,1) .故选 D.n!1 + 11 - 1bc1 - 1= ( 1 + 1 ) - ( 1 - 1) + ( 1 - 1) =2 .故选 A。-+4.【】abcaabbcaca5. 【要不少于 50%，所以此九人】除了最大股东外，其余九人中的任意六人所持所持要不少于 75%，因此最大股东所持的】当 x ¹ -1 和 x ¹ -2 时，最多为 25%故选 D.6.【m ( x +

21、 2) + n ( x +1)+ 2)(m + n) x + (2m + n)( x +1)( x + 2)x -1mn=+=恒成立，+ìm + n = 1ìm = -2íín = 3.故选 C。即，2m + n = -1îî【点睛】两代数式恒等，说明对应系数均相等.7. 【】因为ÐACB = 60o ，由对称性，可得DABC 为等边三角形.设 ax2 + bx + c = 0 的Db4ac - b2x1 - x2=，又因为顶点 C 的坐标为(-,2a两根为 x1, x2 ，则AB) ，所以4a4ac - b= 1 

22、5; D4D，即D = b4ac = 12 .故选 D.23 ×2=2 -4a【另解】设 A(0, 0), B(2, 0), C(1, - 3) ，满足DABC 为等边三角形，设该二次函数式为y = a(x -1)2 - 3 ，由于过点(2, 0) ，则 a =3 ，因此 y = 3(，8aaa保过班所以b2 - 4ac = 12 .8. 【】由题意，(a a a ) × (a a a ) × (a a a ) = a3 × a3 × a3 = (a a a )3 = (a3)311 12 1321 22 2331 32 3312223212

23、22 32221512 a= 1 .= a9 =，选 A。22222ì a + b = 15´ 2，因(a + b)2 - 4ab = 18 .此 a - b=9.【】设这两个数分别为a 、b ，则íab = 122î故选 A.【点睛】思考：若将 a ， b 看作方程 x2 - 30x +144 = 0 的两根，如何计算 a - b ？(-1)n+12n + 1311.【】令 an = bn + cn ，其中bn =， cn =bn 是首项为 4 ，公差为4412的等差数列， 而cn 的是一个正负 1交错的数列，奇数项之和为 1 ，故3101´

24、(101-1)11S101 = a1 + a2 +L+ a101 = 101´ 4 +´+= 2601故选 B.22412. 【】在子集中0,1, 2, 3均可出现或不出现，总的组合数为2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 = 24 = 16 ，即子集数为 16 个都出现即为该集合本身，都不出现即为空集Æ ，故正确【点睛】可记住如下结论： 1, 2, 3，L, n 的子集个数为 2n 为 D】48支足球队，等分为8组，则每组6支足球队，因此总场数为8C 2 = 120 场选D.13.【6能配成 A 型和 B 型螺栓的概率为 P14.【】由(1)

25、；同理(2)也充57C 2220分，选 D.15. 【】 b 的值相当于线段OP 所在直线的斜率，在第一象限内此斜率随着倾斜角的a增大而增大当点 P 与点 A 重合时， OP 斜率最大，即æ b ö= p ；当点 P 与点C 重合mç a ÷èømax时， OP 斜率最小，即æ b ö= q 故选A。ç a ÷èøminnbb - 0【点睛】 =，可看作由原点和点(a, b) 所确定直线的斜率aa - 0】如图，k 的最小取值为过(0, 0) 、(-3, -2) 两点的直线斜

26、率为 2 ；最大取值为与16.【39保过班æ 2öy = 2x + 4 平行直线的斜率为2 ，所以 k 的取值范围是,2 选 D.ç 3÷èø【点睛】对于求取值范围的考题，可以考虑临界的状况2 ö：可设 P ç x,，则 Sæ= 12= 12222x ×=PNPM17. 【】故与÷DPMNxè，所以选 D.øMN 的位置没有= SA¢B¢C¢D¢ - SDAA¢D - SDCC¢D - SDAB¢

27、B - SDCC¢B】如图，增加四个点坐标，则 SABCD18. 【27= 6 ´ 4´ 2 = 13.52两个条件同理都充分，选 D。19. 【】 a Å b 的结果是 a 与b 中的较大者， a Ä b 的结果则取较小者，则算式(5 Å 7) Ä 5 = 5 ， (5 Ä 7) Å 7 = 7 .故选A。(a + 5)× 2 - 4】代数式- a 的结果与a 无关,故选 D.220.【a + bab21b210c210】由= 20 ， = 10 得：a = 20b ，b = 10c 

28、2;=21.【.选b + c11c11c11bcB.22. 【】由(1)，由三角形两边之和大于第三边，可得：a - b - c + b - c - a - c - a - b= (b + c - a) + (c + a - b) - (a + b - c) = 3c - a - b .10x保过班由(2)，是条件(1)的特殊情况，故也充分，选 D.50x + 40 y55x + 36 y=Þ 5x = 4 y Þ x : y = 4 :5 .选 A.23. 【】浮动前后价格不变：x + yx + y】由(1) x - y = 5, z - y = 10 ，所以 z - x

29、= 5 ，从而 x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx =24. 【1 (x - y)2 + (z - y)2 + (z - x)2 = 75 .同理条件(2)也充分，选 D.2【点睛】可记住公式： x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 1 (x - y)2 + (z - y)2 + (z - x)2 .2】由 x =5 - 3 ， x + 1 =5 - 1 ， x + 2 =5 + 1 ， x + 3 =5 + 3，25. 【22225 - 3)(5 -1)( 5 +1)( 5 + 3)(5 - 9)(5 -1)(+ 2)(x + 3) = -1 . 选

30、得：2416A.f (f ( x) = 0 的根关于 y 轴- 2014 为偶函数，则方程26. 【】函数对称，且成对出现，故这些根的和为零选D.【点睛】对于偶函数，图像关于 y 轴对称，故根互为相反数.由于 S2014 = (1- 2) + (3 - 4) +L+ (2013 - 2014) = -1007 ，27. 【】S2015 = S2014 + 2015 ，所以 S2014 + S2015 = -1007 ´ 2 + 2015 = 1选 A.ì- n(n为偶数)n-1ï2= 1- 2 + 3 - 4 +L+ (-1)n = í【点睛】 Sn&#

31、239;- n -1 + (-1)n-1 n(n为奇数)ïî228. 【】一位数字的有 2，4，6，8，共 4 个；两位的有 10，98，共 45 个，一位和两位的共有 94 位，第 95 位到 97 位为 100，98 位到 100 位为 101，101 位到 103 位为 102，所以第 101 个数字是 1选 A。【点睛】本题需要抓住两个关键，一个是偶数的数位变化，二是根据每个偶数对数位的影响来定位指定序号的元素.29. 【】假设第一天的细菌密度是a ，由题意可知第n 天的细菌密度是a × 2n-1 ，由a × 220-1 = 4 （百万株）及 a

32、 × 2k-1 = 1 （百万株），得k = 16 选 A.411保过班ìa + c = 2bÞ 4b + a - 5ab = 0 ， 等式两边同时除以b22230. 【】由题意， í，得：ac = b2îæ a ö2æ a öaa- 5+ 4 = 0 ，： = 4 或 = 1 选 E。bbç b ÷ç÷èøèøb31.【】由(1)总数为有C5 = 56 种（由于是相同的球，故不是 P5 ），3 个空格相连有C1 = 6886

33、63种，故 3 个空格相连的概率为 P =同理(2)也充分，选 D.5628【点睛】5 个格子有 6 个空，选一个空放入三个相连的格子，有C1 种6= 10 ´ 9 ´ 8 = 120 ，32. 【】从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10 中3 个不同的数的取法共有C3103´ 2其中能公比大于1 的等比数列的是1, 2,4 ；1, 3,9 ； 2, 4,8 ； 4, 6, 9 共4 组，因此所求概41率 P =12030故选 A。+ S= 1 AC × OB + 1 AC × OD33. 【】由于 AC BD ，所以 S=

34、SABCDDABCDADC221 AC × (OB + OD)1 AC × BD，故都充分，选 D.【点睛】结论：若四边形两对角线互相垂直，则该四边形的面积等于两对角线乘积的一半】 如图， 可知 AM = 4 ， MO = 8，MP = 6 ，故34. 【OP = 10 选 A.【点睛】圆内任意一条弦的垂直平分线必经过该圆圆心35.【】分析，每一个台阶都需要铺满两个直角边，即为所有的竖着BC 长，AC 长为横铺面，所以 AC =AB2 - BC 2 = 2 3 ，所以至少用 AC+BC，选 D。【评注】长度的转化，不要粗心看错，勾股定理的简单应用要熟练36. 【】讲两个圆相

35、交处，分别移动至弓形缺口处，故此阴影面积为正方形的一半即为32平方，选 D.】重心的性质，重心分中线为1：2,由（1）得，ABC 为等腰三角形，故此 AM37. 【为底边高的2/3，17²-8²=15²，所以 AM=10. 选 A.12保过班38. 【】 条件（1）：a2b - a2c + b2c - b3 = 0 Þ a2 (b - c) + b2 (c - b) = 0 Þ (b - c)(a2 - b2 ) = 0得 a = b 或b = c ，则三角形为等腰三角形，不充分。条件（2）： D = 0 Þ éë

36、2b - 4 (a + c)ùû2 - 12 (4ac - b2 ) = 0Þ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2= 0 Þ a = b = c ，充分。选 B.39. 【】条件（2）成立时，满足条件的三角形有 1 个，当腰为 5，底2 时，底边高为 24 ，从而面积是2 6 ；选 B.40. 【】条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）， OC = AO = 7.5,OM = 3 OC = 4.5, 在VAOM中，AM = 7.52 - 4.52 = 6, 又AB CD, 所以AM = MB, AB = 125从

37、而选 C.】 由(1)可得 L : x - 6 y + 6 = 0 ，由(2)可得L : x - 6 y - 6 = 0 ，均满足题干，选D。】 这样的题目一般都是让绝对值为 0，算出图形的端点，然后连接。条件（1）41. 【42. 【四个端点分别为(2, 2), (2, -2), (0, 0), (4, 0) ，连接所得的图形面积为 8，不充分；条件（2）四个端点分别为(0, 4), (0, -2), (3,1), (-3,1) ，连接所得的图形面积为 18，充分。选 B。】画出图形，探究DABC 的面积的最大值即为探究 C 到线段 AB 的距离的最大值。43【.发现两个条件具有对称性（图略），显然是等价条件，必然都充分。选 D。44. 【】由（1）得到a 为 1 或-4 ，不充分；由（2）得到： a = 1 或 8 ，不充分。3起来充分，所以选 C45. 【】四名学生应为1+1+ 2 型分到三个不同的班级（1）将甲乙看做一个整体即可，有3！= 6 种，不充分；（2）（正难则反）总体:有C 2 ´ 3!种，4：而甲乙两人被分在同一个班的有3!种，故甲、乙两名学生不在同一个班的分法数为C 2 ´ 3!-3!= 30 种，充分。选 B.446. 【】（1）转化为:5 张连续的空椅子与 1 张空椅子不相邻，先