2020北京大学强基计划个人解析

1、2020北京大学强基计划个人解析1.正实数,满足xN v2 w ,且x+yW2（w+w）,则士 +二得最小值等于（ ） x yA.1bC.lD.前三个答室都不对解析：因为x+y£2（卬+2）,则z=i,则上+£之_1+<+ >'-2"=上+工_上+=二+2_+俨二X y X 2y X 2y y 2 2y 2.x1y-xx1y-xxx1、k12v2AT2v2X2vv22eW9当且仅当x = w.k + .v = 2（w+z）时，等号成立,故选D.2 .在Q019x2020）mi的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可

2、选因数个数为（）A.16B31C.32, D.前三个答室都不对解析：素数唯一分解理论因为（2019x2020产 =2仙x5Qx1（）F0”x32x673加可以选取最小质数2 , 3 , 5 , 101 , 673 ,那么剩下的单个质因数的偶数次方出现的最多只能选取一个不放选22再进行组合用5个因数里面分别选取2个，3个，4个，5个则一共有32个，则最多可以选取32个，故选C.3 .已知数列/满足：% =1.%=4，且对任意的22有U-q-*=2”T ,则的020的个位数字是（）A.8B.4C.2D.前三个答室都不对解析:因为d -%_/ = 2"T ,则心一 4限=2"因为

3、2“：<明，=，百一触4.2，则2&+限=汩她=士&因为=q4+2 ,则4 =14 ,故= 2«一怎川=23+仆=4 怎 X4a2即.,晶,欲求个位数字，只需让4模10.其结果为 1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4 . 0.从4开始周期为24 ,则a?。?。的个位数字是8 ,故选A.4.设“也j/是方程.d+2F+3,d+4x + 5 = 0的4个复根，贝（J二 +铝 + 二+ R的值为（）a+2 +2 c+2 d+2B-|D.前三个答室都不对解析：由题意可彳导s = a + +c+

4、d =2, p = "b+ac + ad + bc + bd +cd = 3 a ” 一q = abc + uM +acd + bed = < r = al7cd = 5 ,设+ -c-1 + d -1c+2 d+2贝上=4-3f-L+_L+_L+_j ,只需求_L+_L+_L+_L 3 + 2 b + 2 c + 2 d2)a+2 + 2 c + 2 d + 2贝U 1 + 11 + 1 2( + 2)(c + 2)(4+ 2) q + 32 + 4 _ 16a+ 2 b + 2 c + 2 U + 2 (a + 2)S + 2)(c + 2)( + 2) , + 16 +

5、2q + 4p +8s 9故, = 4-少=-± ,由此可得选A.335.设等边三角形ABC的边长为1 ,过点C作以AB为直径的囱的切线交AB的延长线于点D , AD>BD ,则三角形38的面积为（）A.今由B.与正C.今由D.前三个答室都不对161616解析如图所示其中OE = OB=1 , C。=立则CE = 22叵，从面可得处=竺则，故选C.6.设x,y,z均不为1 ；不，其中人为整数，已知sin（F + z-x）.sin（x+z->）sinOC CE等差数列，则依然成等差数列的是（）A. sin.v, sin y, sin zB. cos acos>cosz

6、C. tanatan yJail zD.前三个答室都不对解析：2sin(x + z- v) = sin(y + z-A)+ sin(A + y - z) = 2sin vcos(a -z)贝!) sin(x+ z)cosy -cos(.r+ -z)siny = sin ycos(.v-z)贝! sin(x + z)cos y = sin vcos(x + 2) + cos(x - z) = 2sinycosxcosz则tan_v + tan之 = 2tanF，故选C.7.方程19x + 93y = 4.g的整数解的个数为()A.4B,8C.16D.前三个答室都不对解析：因式分解与整除因为 19

7、x + 93y=4.q ,贝J(4x-93)(4,- 19) = 93x 19 = 3x 19x31v = S，此时"5;则'4y-19 = l1.93 = -93x19此时无解.则、'4y-19 = 34x-93 = 31xl9'此时无解；则i3-,此时v = 4x = -124则、'4y-19 = 194x-93 = 93xl9f4v-19 = 19,此时无解；贝叱-93 73x19则4)19=31"93 = 57，此时无解；贝!4v-19 = -31心93 = 57，此时.V = -3 x = 9则、j4v-19 = 574,v-93

8、= 31，此时比;则此时柳则、小-19 = 934工-93 = 19，此时卜=；： .v = 28f4v-19 = 9，；则八，此时无解4人-93 = 19则、f4v-19 = 31xl94x-93 = 3w"y = 152，此时74,此时无解则、f4v-19 = 19x9393 = 1；此时无解；则''4y-19 = -19x934x-93 = -1f v = -437 ，此时解析二：同余因为 19x + 93y=4-,贝J(4x-93)(4y-19) = 93x 19 = 3x 19x31因为 4x -93 = 3( nxxl4),4y -19 = 1( mod4

9、)4x-19 = 3.9L3L1767l.-57,-93,-589 4y 93 =,故共8组，选B.8.从国a2 + y2 = 4上的点向椭圆C ： £ + / = 1引切线，两切点间的线段成为切点弦.则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为(B-3D.前三个答室都不对解析：切线系方程如图所示，设点2s加6)则BC直线方程为cos0 - x+2sinO y = 1由于* +琶=1在点(acos&.hsinO)0的切线方程为cosd x + sin6 y = 1则,因此,3夕2而夕尸1为椭圆+4=1的切线系方程由椭囱的面积可得砂行.故选A.9.使得“ + 12jEWa(K+y)

10、5x+12元Wa(x-y)对所有正实数x.y都成立的实数Q的最小值为()A.8B.9C.10D.前三个答室都不对解析：待定系数5x+12yfxy = 5x +12 m.x <(5 + 6/7?)x + y ,令 5 + 6i = 9,贝!J5x+12而W9（x + y）,则 5' +12A 交,贝（之9 ,故选B.10 .设P为单位立方体ABCD - A£G上的一点，贝“A + PC ；的最小值为（）A.姆万B.42 + 20C. 2 -乎D.前三个答室都不对解析：最小值为拉，故选D.11 .数列4满足 = 19 = 9 ,且对任意1有5 =也川-H - 20 ,其中前

11、项和为Sn .则函数Sn的最大值等于（）A.28B35C.47D.前三个笞室都不对解析：因为*=4-20，则限一%一1° = 3（-4-， 故-4 =10-2x3"-1则当之3时，数列为单调递减数列 可求得 = 13.q =5 ,当n>5时，a.<0,则S的最大值为S4 = 28 ,故选A.12 .设直线>，= 3x+相与椭圆 g*l交于4,3两点，。为坐标原点，则三角形0公 的面积的最大值为A.8B.10C.12D.前三个答室都不对解析一：直接计算联立方程可得 241x2 + 15O,nv + 25-400 = 0则人 加5 -1= m吆'弋工/

12、=境I7（） j ，s = d =在收（241-舟<10 ,故面积的最大值为10 ,故选B.解析二：仿射变换不妨设£ = x.£ = y，则xa = i ,直线为4y=i5X + i4Y=i5x+i 54mu , l?lT m 1 , 4 n 1I/hI贝!Jd = -j= f 5* = -6/ Afi = -X_=724122 V24T>/241241<1" 9则S： = 20S,< 10，故面积的最大值为10，故选B.13 .正整数23称为理想的.若存在正整数使得CTC.C*构成等差数列，其中C； = , # 一为组合数，则不超过202

13、0的理想歇个数为（）A.40B.41C.42D.前三个答室都不对解析：由题意可得构成等差数列 则 2C =C：t+C：L 化简可彳导/一(42 + 1加 + 4二一2 = 0以左为主元整理以24虎+ /-2 = 0，则太="±-+ 2 2则+ 2为完全平方数,则+2 =>，5!044>/«>3若小匕正三=也* = ”2髻+ 1)因为”一 2.， + 1奇偶性相反 ?7故则对于任意44>,h>3都满足题意riYfR 1 + 5 + 2 m: +， - 2 (m + 2)(m - 1).大,用小£<同理太=一+=-=，因为

14、，- 2.? + 1奇偶性相反故则对于任意44>,n>3都满足题意综上：满足题意的有42个，故选C.14 .在 ABC 中，ZA = 15O°.DIDr.tD2jW 依次为边 BC 上的点，且 BD、= D、D产 DR= =。刈9。现=。2020。, 设 4AD = %.ZDADn = %“刈血=网血网=总则:黑的值为(A. 101020202021D.前三个答室都不对解析：正弦定理不妨设/4£>£ = £, BR=m贝！一=迫.一=2._sintr) sinB sin%sin一因此史马=型纹，同理皿=包旦，sina2 sin A &#

15、39; sina sinmsinBAC2021? sin 3 _ 8c sin 32021-AC2021 AC15.函数 /(6)=43 + 2小cos6 + co% +- 2y/3cos0 + cos'0 + 4sin20 的最大值为(A. V2 + V3 B.2V2+V3C.V2+2V3D.前三个答室都不对解析：易知当e=g时怎卜3 +小>d+6因为 /(') = "+ cos 0 + 5 - 2-cos0 + cos2 + 4sin2 下面证明 /(6) < V? + 2/ u> 7? + x/3- cos0 > 5/5 - 2>/

16、3cos0 + cos 6 + 4sin2 6 两边平方即证4s加2e+25/5cose<2« ,因为 4s 加 «）+ 242cos0 < 4sin0 + 2y/2cos6 = 26$加（夕+二 25/6 两个等号不同时成立，故Asiif6 + 20co§6<2瓜,则选D.16.方程4 + 5-46+1 +4+ 2-2衣+1 = 1的实I艮个数为（)A.1B.2C.3D.前三个答室都不对解析：由题意可得原|Jv+1 -2卜|4 +1 -1| = 1当14"订42时，上式恒为1 ,故选D.17.凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线

17、BD和AD交于点F和G ,已知BF：ra = 5:4,AG:GD = l:hCF:FG:GE = 2:2:3 ,和 S,神 分别为 力田 和 JBE 的面积，则S&CFD : S&椀的值等于()A.8 ： 15B,2 ： 3C.11 ： 23解析：如图所示，廷长CF=CM则根据比例可得3WMD则要= M=4，因为G为4。中点GD GM 2 14因此 AO = OG = gGD.MD = -B£MD = 2OE ,贝！1。£ = ,8七，不妨设5.即=598贝U Sqoe = 2sA田。=4.Sfd = 4x1=因此2劭应椀=8:15,故选A.D.前三个答室都

18、不对18 .设p , q均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式/(x) = V + px + 4的个数为()A.99B.133C.150D.前三个答室都不对解析：因为/(入)=/ + 工+ 4有有理根，则有理根必小于零.、，m.| / pm 八设/=_，且(而，尸 1 ,贝！Jr + 4 = 0 nn n贝!“ =/ + /,显然|l f因为。，,”尸1 ,则，=1 ,故q =因为 q ="+ nip < KX) r 故 1 4 区 2当利=1时，q = l + 4100 ,因此1J499,共99组当利=2时，q = 32+2«100 , S(l<p<34，共34组综上所述：满足条件的（p , g洪133组，故选B.19 .满足对任意2in"有,=2"-3% ,且严格递增的数列/的个数为（）A.0B.lC.无穷多个D.前三个答室都不对解析：因为% = 2”-3则金=-%笨+ ；.噬T，*卜说（D，皿"当4 =三时，满足严格递增，当多工,时，会出现正负交替，不满足，故选B.20 .设函数/（工收）=一+二一+，一，其中My,三均为正实数，则有（）X +