轮流出价的讨价还价模型

1、轮流出价的讨价还价模型纳什讨价还价解是一个合作博弈模型， 它是由几个看起来合理的 公理导出的结果，这些公理包括效用测度的无关性 (invariance) 、 帕 累托有效性 (efficiency) 、无关选择的独立性 (independence of irrelevant alternatives) 和对称性(symmetry)。在实际的讨价还价 中，这些公理可能都在背后起作用， 但讨价还价通常是一个不断的 “出 价一还价” (offer-counteroffer )过程。罗宾斯泰英(Rubinstein , 1982)的轮流出价模型 (alternating offers) 试图模型化这样

2、一个过 程。在此模型里，两个参与人分割一块蛋糕， 参与人1先出价(offer), 参与人2可以接受(accept)或拒绝(reject)。 如果参与人 2接受，博 弈结束，蛋糕按参与人 1 的方案分配；如果参与人 2拒绝，参与人 2 出价(还价)，参与人 1可以接受或拒绝；如果参与人 1 接受，博弈结 束，蛋糕按参与人 2 的方案分配；如果参与人 1 拒绝，参与人 1 再出 价；如此一直下去，直到一个参与人的出价被另一个参与人接受为止。 因此，这是一个无限期完美信息博弈，参与人l在时期1, 3, 5,出价，参与人2在时期2, 4, 6,出价。如同在单阶段同时出价模 型中一样(见上一章),这个博

3、弈也有无穷多个纳什均衡,但罗宾斯泰英证明，它的子博弈精炼纳什均衡是唯一的。我们用x表示参与人1的份额，(1 一x)表示参与人2的份额，X1和 (1 一X1)分别是参与人1出价时参与人1和参与人2的份额，X 2和(1xj分别是参与人2出价时参与人1和参与人2的份额。假定参与人1和参与人2的贴现因子分别为31和3 2。这样，如果博弈在时期t结束，t是参与人i的出价阶段，参与人1的支付的贴现值是n 1=3 it-1 Xi 出，参与人2的支付的贴现值是n 2=3 2t-1（1-x i）。在讨论无限期博弈之前， 让我们先来讨论有限期博弈的情况。 如 果博弈的期限是有限的，我们可以使用逆向纳归法求解子博弈

4、精炼纳 什均衡。首先假定博弈只进行两个时期，在 T=2,参与人 2出价，如 果他提出x 2=0,参与人1会接受，因为参与人1不再有出价的机会（一 般地，如果参与人在接受和拒绝之间无差异时，我们假定他选择接 受）。因为参与人2在T=2时得到1单位等价于在t=l时的3 2单位，如 果参与人1在t=1时出价1 一x 1>3 2,参与人2会接受；因为参与人 1 没有必要给参与人 2 多于他会接受的最低份额，子博弈精炼均衡结 果是参与人1得到x=x 1=1 一 3 2,参与人2得到1 一x= 3 2。现在假定 T=3,在最后阶段，参与人 1出价，他可以得到的最大份额是x1=1。因为参与人I在T=3

5、时1单位等价于t=2时的3 1单位，如果参与人2在t=2出价x2=3 1,参与人1将会接受；因为参与人 2在t=2时的（1 一 3 1）单位等价于t=l时的3 2（1 一 3 1）单位，如果参与人I在t=l时出 价1 一x1=3 2（1 一 3 1），参与人2将会接受。因此，子博弈精炼均衡 结果是x=l 一 3 2（1 一 3 1）。假定T=4，参与人 2最后出价。使用上述 结果，因为参与人 2在t=2时最大可得（1 一 3 1（1 一 3 2），参与人1 在t=l时将出价1 一x1=3 2（1 一 3 1（1 一 3 2），子博弈精炼均衡结果是 x=1 一 3 2（1 一 3 1（1 一 3

6、 2）。假定T=5,参与人 1最后出价。因为参 与人2在t=2时最大可得为1 一 3 1（1 一 3 2（1 一 3 J），子博弈精炼均 衡结果为x=1 一 3 2（1 一 3 1（1 一 3 2（1 一 3 1）。读者可以使用上述方 法推导出任何给定的Tv*的子博弈精炼纳什均衡。现在让我们来看看子博弈精炼均衡结果与贴现因子3和博弈期限T之间的关系。从上面的例子可以看出，如果31=3 2 = 0,不论T为多少，子博弈精炼均衡结果是x=1;就是说，如果两个参与人都是绝 对无耐心的 （下阶段的任何支付等价于本阶段的0），第一个出价的参与人得到整个蛋糕。如果32=0，不论3 1为多少，子博弈精炼均衡

7、结果仍然是经=1;但是，如果31=0,3 2>0,子博弈精炼均衡结果是x=1 一 3 2,因为如果参与人 2在t=l拒绝了参与人1的出价，参与人 2在t=2得到整个蛋糕，但贴现到t=l只值32,参与人2在t=l将接受任何1 一x1>3 2的出价。在上述几种情况，均衡结果与 T无关（假定T >2）。现在让我们考虑另外的情况。假定3 1= 3 2= 1（即双方都有无限的耐心），那么，如果T=l , 3, 5,，均衡结果是x=1;如果T=2, 4, 6,，均衡结果是x=0。这里，我们得到“后动优势” （last-mover advantage），其原因是，给定3i=1，如果参与人i

8、最后出价，他将拒绝任何自己不能得到整个蛋糕的出价, 一直等到博弈的最后阶段得到 整个蛋糕。一般来说，如果 0<3 i<1, i=1 , 2,均衡结果不仅依赖于贴现因 子的相对比率，而且依赖于博弈时期长度 T和谁在最后阶段出价。然 而，这种依存关系随T的变大而变小；当T趋于无穷时，我们得到“先 动优势”：如果3 1=3 2= 3 ,唯一的均衡结果是 x=1/（1 十3）。这就 是下面要讨论的间题。定理（Rubinstein ,1982）:在无限期轮流出价博弈中，唯一的子 博弈精炼纳什均衡结果是：X* = 1-心 （如果 32=3, X* =1）1- 3 321+ 3现在让我们来证明上

9、述定理。因为T=x，博弈没有最后阶段， 我们不可能使用逆向归纳法求解。但根据萨克德和沙腾（Shaked andSutton ,1984），因为从参与人1出价的任何一个阶段开始的子博弈等价于从t=l开始的整个博弈，我们可以应用有限阶段逆向纳归法的 逻辑寻找子博弈精炼均衡。假定在时期t >3参与人1出价，参与人1能得到的最大份额是M 因为对参与人1而言，t期的M等价于t一 1期 的3 1M参与人2知道在t一 1期的任何x 2>3 1M的出价将被参与人 1 接受，因此参与人 2出价x 2= 3 1M自得1 一 3 1M；因为对参与人 2而 言，t一 1期的1 一 3 1M等价于t一 2期

10、的3 2（1 一 3 1M）,参与人1知 道在t 一 2期的任何x 1<1 一 3 2（1 3 1M）出价将被参与人 2接受，因 此参与人1出价x 1=1 一 3 2（1 一 3 1M）,留给参与人 23 2（1 一 3 1M）。因为从t 一 2开始的博弈与从t开始的博弈完全相同，参与人丨在t 一2期能得到的最大份额一定与其在t期得到的最大份额相同，因此我们 有：X1=M=1-3 2（1- 3 1M）解上式得M = 1- 31- 3 32现在假定参与人丨在t期能得到的最小份额为m。因为t期的m等价 于t 一 1期的3 im参与人2在t 一 1期最多得到1 一 3 im因为t 一 1 期的

11、1 一 3 1m等价于t一 2期的3 2（1 一 3血），参与人1在t一 2期至 少得到x 1=1 一 3 2（1 一 3血）。因此我们有：X1 = m= 1- 3 2(1- 3 1m)解上式得：1- 31 - 33因为参与人1能得到的最大份额与最小份额相同，均衡结果是唯 的:1- 31- 3 3因为t是任意的，上述证明过程表明，参与人1的子博弈精炼均衡战略是：“在t = 1, 3, 5,时总是要求（1 一 3 2）/（1一 3 13 2），在2=2, 4, 6,时接受任何大于或等于31（1 一 3 2）/（1 一 3 1 3 2）的份额，拒绝任何较小的份额。“为了说明这一点，注意到：1- 3

12、 一 3（1- 3）=1 -1- 3 3 1- 3 3等式右边的第二项是参与人 1出价时参与人2的份额。如果参与人1 提出更高的要求从而被参与人 2拒绝，参与人2在t十1期要求（1 一3 1）/（1 一 3 1 3 2）（注意对称性，此时参与人2处于参与人1的位置）, 参与人1的支付（贴现值）是：5(1-1-331-3<1-31- 331- 331- 331(1因此提出更高的要求不是最优的。同样，接受任何低于33 2）/（1 3 1 3 2）的份额也不是最优的，因为等待一个阶段他就可以得到的份额。类似地，参与人2的子博弈精炼均衡战略是：“在t = 1, 3, 5, 时，接受任何大于或等于

13、3 2（1 一3 1）/（1 一3 13 2） ，拒绝任何较小的 份额；在t=2 , 4, 6,时，总是要求（1 一 3 i）/（1 一 3 i 3 2）的份额。”这个博弈当然还有许多其他纳什均衡。 特别地，下列战略组合是 一个纳什均衡：“参与人1总是要求x 1 = 1的份额，拒绝参与人2任何 X2<1的出价；参与人2总是要求1 一X2 = 0,接受参与人1的任何出价。” 但这个纳什均衡不是子博弈精炼均衡,如果参与人 2 拒绝了参与人 1 的第一次出价，提出X 2>3 1,参与人1应该接受，因为如果拒绝的话， 即使他在下一阶段拿到整个蛋糕，也只值31。子博弈精炼均衡结果是参与人贴现

14、因子 （ 耐心程度 ） 的函数, 这是 罗宾斯泰英模型得到的重要结论。特别地，给定3 2，当3 1? l时x*=1,即参与人1得到整个蛋糕；给定3 1,当3 2? 1时，x =0,即参与人2 得到整个蛋糕。这可以说是“耐心优势” 。直观地讲,有绝对耐心的 人总可以通过拖延时间使自己独吞蛋糕。这个“耐心优势”在一般情 况下也是成立的：给定其他情况 （ 如出价次序 ） ,越有耐心的人得到的 份额越大。比如说,如果3 1=0.5 ,3 2= 0.9 ,即参与人 2 比参与人 1 更有耐心，那么，均衡结果是参与人丨得到x *=0.182，参与人2得到1 一x =0.812。注意，当3 2=0,参与人1

15、也得到整个蛋糕，因为参与人 2 没有任何耐心等待下一阶段；但,当3 1=0时,参与人 2 不能得到 整个蛋糕,除非3 2= 1,就是说,没有任何耐心的参与人 1 也可以得 到一点份额。导致这一差异的原因是，除耐心优势外，这个博弈还有个“先动优势”：:当3 1= 3 2= S <1时，x *=1/（1十3 ）>1/2，即参与人1 的份额总是多于参与人 2 的份额。如果每一阶段的长度任意小，这 个先动优势将消失。另外，当3 1=3 2=1 时，这个博弈也有无穷多个 子博弈精炼均衡，x *=1/2可能是一个聚点均衡（也是纳什讨价还价 解）。贴现率可以理解为讨价还价的一种成本， 类似蛋糕随时间的推延 而不断缩小，每一轮讨价还价的总成本与剩余的蛋糕成比例。 讨价还 价的另一类成本是固定成本。举例来说，如果工会和企业的磋商拖延了工期， 企业要承受两种 损失，一类是推迟出售的利息损失 （与价值成比例 ）， 另一类是不能按 期交工的违约罚款 （一般是固定的 ）。这两种成本对均衡结果的影响是 不同的。为了说明这