2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷答案解析

1、2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷答案解析、选择题（共12题）1 .已知复数 z= (1+2i) (1 + ai) (aCR),若 zCR,则实数 a=()A. B. -C. 2D. - 222【解答】 解：z= (1+2i) (1 + ai) = (12a) + (2+a) i CR,2+a = 0,即 a= - 2.故选：D .2.已知集合 M = x|1 vx<2, N = x|x (x+3) < 0,则 MAN=()0)A. -3, 2)B . (-3, 2)C, (T, 0D, (T,【解答 解：N=x|x (x+3) w 0 = 3, 0,集合 M = x|-

2、1<x<2,则 M n N = (- 1, 0,故选：C.3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子,基本事件总数 n=6X 6 = 36,向上的点数之和小于5包含的基本事件有:C.118D.512(1,1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1),共 6 个,，向上的点数之和小于5的概率为p=.36 6故选：B.4.在正项等比数列A . 2an中，a5- a1 = 15, a4- a2= 6,贝U a3=(B - 4C.二)D. 8【解答】解：设正项等比数列an的公比为 q>0,

3、 - a5- a1 = 15, a4- a2= 6, a1 (q4-1) =15, a1 (q3-q) =6,解得：q= 2, a1 = 1 .5 .执行如图所示的程序框图，输出的 s的值为（则PA?（PB+PC）的最大值D. 2第一次执行循环体后，i = 1, 第二次执行循环体后，i = 2,第三次执行循环体后，i = 3,第四次执行循环体后，i = 4,第五次执行循环体后，i = 5, 故输出S值为工3,故选：C.6 .已知等边 ABC内接于圆r：是（）A .B. 1【解答】解：设BC的中点为并设而与血的夹角为9s=2,不满足退出循环的条件；s=3,不满足退出循环的条件;2s=,不满足退出

4、循环的条件;3s=称，不满足退出循环的条件;s=,满足退出循环的条件；8x2+y2= 1,且P是圆r上一点c. VsE,连接 AE, PE;x2+y2= 1，XcosO-2X 号)=1-cos。;5 .铲in，弓 86% 用sin2x =1 兀ysinlx-RI当 sin (2x =-1 时，函数 fwmin=i442)=sin，+所以O在AE上且OA=2OE= 1;.或(而+ PC) = PA*2PE=2 (而+ OA)?(PO+OE) =2时 +西?屈立)+冠元5= 2po2+PO?(-0E)- 2qe2 = 212-1x1当cos 0= - 1即点P在AE的延长线与圆的交点时;PA?(

5、PB+ PC)取最大值，此时最大值为 1- (-1) =2；7 .已知函数 f (x) = sin2x+sin2 (x+-),贝U f (x)的最小值为()3o 1B.五【解答】 解：函数 f (x) = sin2x+sin2 (x+8 .已知数列an满足 a1=1, (an+an+1-1) 2=4anan+1,且 an+1 > an (nCN*),则数列an的通项公式an=()A. 2nB . n2C, n+2D. 3n- 2【解答】 解：: a1 = 1, (an+an+1 -1) 2=4anan+1,且 an+1 > an (nCN*),an+an+1 1 = 2 ，数列是以

6、1为首项,1为公差的等差数列,=1+ (n1) x 1 = n,an= n2.9 .已知 a= 0.80.4, b =0.40.8, c=log84,则()A . a< b< cB . a< c< bC. c< a< bD. bvcva【解答】解：根据题意，a= 0.80.45=5国V2?,b= 0.40.851.16 寸6252 4:c= log 84 =Lg8243又由熊区故有bv cv a;10 .青春因奉献而美丽， 为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有 5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三

7、个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为()A 栏B.155C.D.215【解答】解：现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，基本事件总数n=(一号=150，1c2恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件个数m=c1CgC 2=60，恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为P=-=J-JL.n 150 5故选：A.11.已知点P在椭圆r：(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为 Q,设立而，直线AD与椭圆r的另一个交点为B,若PAXPB,则椭圆r的离

8、心率 e=()Al B考C除D岑【解答】解：设P (xo, yo)由题意可得 A ( - X0, - yo), Q (x0, - yo),由PD =-PQ可得 D (X0,所以kPA=兀贝U kpB?kAB =D22丫y -y022冀一直口因为P, B在椭圆上，所以所以可得脸丽-二,2所以kBp=- -2a2町2a,两式相减可得¥ 一兀2b2 a因为 PAXPB,则 kAP?kPB=- 1,即?（0224所以离心率e= = ab241,整理可得:a2= 4b2,xC （ 1范围为（）+ 00)恒成立，则实数 a的取值A.（ 一 0°, 1 - e B.（一°0,

9、3C.（一巴2 D.（一巴 2- e2【解答】解：由题意可知，分离参数由题意可知，aW f (x) min,由fQ)二日 T-xInx?兄InxIn乂=3,所以a<- 3,二.填空题（共 4小题）13.已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点（4,1）,则该双曲线的标准方程为一12解：由渐近线的方程以 x±2y=0可以设双曲线的方程为:入,又过（4,1）,所以1641 =入，可得入=3,所以双曲线的方程为:=1 ；3故答案为:12 314.若函数f (x)cosx+asink在（0,）上单调递减，则实数a的取值范围为a> - 1【解答】解:f (x)=<0

10、,acosx> 1, x (0,JT2),由于y=-a >1COSZ在xC(0,兀2递减,最大值为 y (0) = - 1,所以a> - 1,故答案为：a> - 1.15.根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45方向的600km处的热带风暴中心 B正以30km/h的速度向正北方向移动,距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响， 从现在起经过 9.14小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01）.【解答】解：设风暴中心最初在 A处，经th后到达B处.自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到热带风暴的影响，则OB=450,即而支嬴先450，即J【6008g

11、45 产十1600sdn45。-30七产=450；式两边平方并化简、整理得t2-20Mt+ 175=0t=10&-5 或 10/2+510近-5=9.14, 10匹+5 - （10-巧-5） = 152= 109.14时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为10h.故答案为：9.14.16.在三棱锥S-ABC中，底面 ABC是边长为3的等边三角形，SAW5 , SB= 2/，若 此三棱锥外接球的表面积为 21兀，则二面角S- AB - C的余弦值为-1 .【解答】解：由题意得 SA2+AB2=SB2,得到SAXAB,取AB中点为D, SB中点为M,得到/ CDM为S- AB-C的二面角

12、的平面角，设三角形 ABC的外心为 O',则CO'= 3亭 =%, DO'=当，球心为过 M的平面ABS的垂线与过 O'的平面ABC的垂线的交点，三棱锥外接球的表面积为 21 Tt=4TtOB2, OB2=,4L国16mb=V2,所以 OM=",由 MD=、SA*一,所以 tanZODM =f§, O ODM = 60° ,同理/ODO=60° ,得到/ MDC=120° ,cos/ MDC =一故答案为:三.解答题(共70分)17.在 ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知a=4,tanA

13、-t&nBtanA+tanB e(1)求A的余弦值;(2)求 ABC面积的最大值.【解答】解：(1) .tanA-t我nB _<c-btanA+tanB e所以白inBcos A cosB sinC sinBcogA cocBsincasb-sinbcosA sinC-sinBsinAcosB+sinBcosAsinC所以sinAcosB-sinBcosA sin.(A+fi) -sinBsinCginC所以sinAcosB sinBcosA = sinAcosB+sinBcosA sinB,所以cosA=由(1)可知A=60° ,1 v2_u 2 131 b +c -

14、162bc所以 b由余弦定理可得,+c2= 16+bc>2bc,故bcW16,当且仅当b= c= 4时取等号，此时 ABC面积取得最大值=43 .18.如图，在棱长为 a的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，P, Q, L分别为棱 A1D1, C1D1, BC的中点.(1)求证：ACXQL;(2)求点A到平面PQL的距离.ACXQL.建立如图所示的空间直角坐标系a可得ax+可得设平面PQL的法向量为(1)证明(1)求抛物线r的方程A到平面PQL的距离da,a,ay=0,AC/ A1C1 / PQ,0),a, 0)a, 0)(a, 0x 2+a2=2a2= PL2,a, a),PQ2

15、+QL2= 2Xay az= 0,1, 1, 1),0, a, - a),P (a, 0, a), L (D (0, 0, 0), A已知经过点A (3,a, 0), Q (0,19.已知抛物线r： y2= 2px (p>0)的焦点为F, P是抛物线r上一点，且在第的直线交抛物线r于 M, N两点，经过定点 B (3, -6)和M的直线与抛物线r交于另一点L,问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由.【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点F （1-, 0）,满足百5= （2, 2/3）的P的坐标为（2+号，2内），P在抛物线上，所以（2於）2=2p（2+> 即

16、p2+4p-12=0, p>0,解得p=2,所以抛物线的方程为：y2=4x；(2)设 M(X0, y0), N (xi, yi), L (x2, y2),则 yi2=4xi, y22=4x2,yi-y( v1 -y04直线MN的斜率kMN = - = 一n丁=一一 打一«| y(j yyD4、4 yn4”¥必贝U直线 MN 的方程为： y - yo=' (x ), 即 y=,外 4Vti 4汽-1同理可得直线ML的方程整理可得将 A (3,2), B (3,-6）分别代入，的方程可得,消yo可得yiy2= 12,244 yl易知直线kNL =-,则直线NL的方

17、程为：y-yi=- (x-),即y=,故4所以 y = - (x+3), 了1F因此直线NL恒过定点（-3, 0）.20.有人收集了某i0年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据:第 n年 i 23456789 i0X10年收入/ 32.031.033.036.037.038.039.043.045.0亿元(x)商品销 25.030.034.037.039.041.042.044.048.0yi0售额/万元(y)10且已知工工.=380.0L=1 1(1)求第10年的年收入X10；(2)若该城市居民收入 x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程(

18、I)求第10年的销售额y10；(n)若该城市居民收入达到(精确到0.01)附加：(1)在线性回归方程40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少?(2)= 254.09工 T# =12875.0, 1=1=340.0.10【解答】解：(1)因为工=380.0,所以1=1 132+31+33+36+37+38+39+43+45+ 刈。=380,所以 X10=46;(2) (I)由题意可知,1LI W330 . - 25+30+34+37+39+4H42 +44+ IStD 340+y“ io F尸也 "io= -io363 x +2543404 y,解得 y10=51,3e3 1.2875

19、+46y10-10X38X-254254所以第10年的销售额yi0= 51；(n)因为yio=5l,所以340+51"10 一洱 1因为a = y- bjr所以-29,1-碧x38-15.所以线性回归方程为由题可知，x= 40,将其代入线性回归方程有VBrX40L5- 21-4L 故估计这种商品的销售额是41.96万元.21.(1)证明函数y=ex-2sinx-2xcosx在区间-上单调递增;证明函数出在(-兀，0)上有且仅有一个极大值点 X0,且0Vf(x0)<2.【解答】解：(1)求导，y' = ex - 2cosx - 2 (cosx- xsinx) = ex+2

20、xsinx - 4cosx ,因为 ex>0, 2xsinx>0, - 4cosx>0,故 y'>0,函数y在定义区间递增；=8 e 兀(1+兀)> 0,K|一-, g (x0)= 0,令 g (x) = ex (x 1) 2x2cosx, g' (x) = x (ex+2xsinx 4cosx)当 (-兀，->)，由(1)得 g' (x) < 0, g (x)递减，tv 一/ n 、由 g ()=巳* ttt-D v o, g (一兀)根据零点存在性定理，存在唯一零点x0C (-兀，当 xC (一兀，x0)时，g (x) &g

21、t; 0, f (x)递增;当 xC (x。,JU2)时，g (x) V 0, f (x)递减,当 xe (-7T2,0)时，f (x)=01) -2c口写工<0,所以f (x)递减,故f (x)在(X0, 0)为减函数,所以f (x)有唯一的极大值点x0,2由 f (x)在(x0,2)递减，得f ( X0)>f (又 f(X0)=e 02sin:x0，当 xoc ( Tt,x 0时,(1, 0), 0 v 2sinx0<2,故 f (x0)V 2,综上，命题成立.22.在直角坐标系 xOy中，曲线Ci的参数方程为行(a为参数)，以坐标原点oy=4s inCI为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2： p2 - 4 pcos 03=0.(1)求曲线Ci的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)若点P在曲线C1上，点Q曲线C2上，求|PQ|的最小值.【解答】解：(1)曲线Ci的参数方程为K三5仁H斗Q(a为参数)，转换为直角坐标方程 y=4sin<I为:曲线C2:p2-4 pcos 03=0.转换为直角坐标方程为x2+y2-4x+3 = 0,整理得(x-2)2+y2(2)设点 P (5cos0, 4sin 0)在曲线 C1 上，圆心 0(2, 0)V9 cos2