浅谈数列“构造法”在教学中的教学实践

1、浅谈数列“构造法”在教学中的教学实践邱勤伟 “构造法”是数列求通项公式中的常见题型，也是被广为研究的经典题型，关于此类问题的解法很多，技巧性也强，在教学过程中，对教师的教法、学生的学法，都有较强的要求，通过有效例题的讲解，使学生在运算能力、归纳猜想能力、类比转化能力、以及运用数学知识分析和解决问题的能力都能有所提升，同时对模型思想加以延伸思考，逐步形成举一反三。笔者结合自己的教学，谈谈几点粗浅教学实践体会。 构造数列强调其本身并不是等差或等比数列，但经过适当变形后，可形成一个新数列，而该数列正是等差或等比数列，再根据新数列的特征求出通项公式。以此为出发点，选择模型一作为第一个问题，逐步加深难度

2、，引发思考和探索。模型一：，其中为非零常数，且例1. 已知数列满足，,求数列通项公式。 提出问题之后，示意学生思考：递推公式中含有一个常数项2和系数3，若3为1或者2为0，该问题就是简单的等差或等比求通项问题了，正是由于这两个数的引入，使问题复杂化、难度加大。但我们惊奇的发现：若再引入一个常数1将左右两边同时加上1，得到：，于是进一步给出结论：是以首项为3，公比的等比数列，问题迎刃而解。于是提出以下几个问题：（1） 模型中，是一个什么量？（2） 你引入的是一个什么量？引入之后有什么结论？生：是一个常量，引入1后，该数列会形成一个形如的等比数列，例1得以解答，思考该问题的结论，大胆的给出一个猜想

3、：模型一能否化为的形式，形成一个形如的等比数列，公比，其中为常数。于是，利用待定系数法，板书验证： 令，得：，则，所以，存在常数，使为等比数列（首项不为零），公比。模型一的解决是构造问题的基础，由此引发思考：若不是常数会怎样？如：指数形式、一次函数形式等，带着这样的疑问进入模型二、三、四的学习：模型二：，其中为非零常数，且，模型三：，其中为非零常数，且 模型四：，其中为非零常数，且 例2. 已知数列满足，（1）,求数列通项公式；（2）,求数列通项公式。（3）,求数列通项公式。通过对比，模型中的未做改变，只是不断的变换的角色：由常数1到、到、再到，随着这些量的改变，我们的结论是否一成不变呢？复述

4、时的结论，引导学生思考这些问题，做类比，提出大胆猜想：是不是为指数式或一次式就会形成一个形如的等比数列呢？其中相应的为指数式或一次式。设法求证以上想法：4（1）令 （2）令故不存在（3）令发现：对（1）、（3）会形成形如、的等比数列，首项均不为零，且公比都为3；而（2）中，由于指数式的底数与系数3相同，导致方法失效，因此我们应单独将其列出，探索新的方法，从指数式与系数的关系我们发现：将两边同时除以得：，会形成一个形如的等差数列，这个结论对我们至关重要，是数列“构造法”的另一个重要内容，综合模型一、二、三、四，我们给出构造思想，对递推公式为为非零常数，且）的数列：（1）为非零常数时，形成一个形如

5、的等比数列，其中；（2）为指数式：，形成一个形如的等比数列；（3）为指数式：，形成一个形如的等差数列；（4）为一次式：，形成一个形如的等比数列。其中，可构造成等比数列的公比，对式子中出现的，公差均可用待定系数法求解，然后将值带入求数列通项公式。经过上述的教学之后，学生对构造已有一定认识，此时可对模型做进一步的补充和延伸思考：例3. 已知数列满足，（1）,求数列通项公式；（2）,求数列通项公式； 从构造的角度出发，例3是之前所讲模型的混合模型，属构造等比数列范畴，因此，学生运用待定系数法，类比将问题解答，得到自己的收获：会形成一个混合结构的等比数列，公比仍然是。 “授之以鱼，不如授之以渔”， 随着构造模型的变化和深入，掌握构造思想尤为重要，使利用数列递推公式运用“构造法”求通项公式显得通俗易懂，在诸多模型中，对形如：、未做讲解，留给学生课下探索，这两个模型难度较之前也有所提高，对学有余力的学生来说也是一个知识再升华的过程，对基础较弱的学生，更需要关注的是前几个模型，这也是分层教学的体现。 新课标颁布实施之后，教学容量明显增大，但课时不足，这是一线教师所共同面临的一个矛盾，这就需要我们在教学过程中不断探索教学方法，达到课堂效率最大化。在通过对“构造法”的探索、求证