高中数学分类汇编与总结【免费】

1、高中数学易错、易混、易忘题分类汇编高中数学易错、易混、易忘题分类汇编【易错点易错点 42】向量与解析几何的交汇向量与解析几何的交汇例例 4242、 （0303 年新课程高考）已知常数年新课程高考）已知常数a0a0，向量，向量c=c=（0 0，a a） ，i=i=（1 1，0 0） ，经过原点经过原点 O O 以以c+ic+i为方为方向向量的直线与经过定点向向量的直线与经过定点A A（0 0，a a）以以i i2c2c为方向向量的直线相交于点为方向向量的直线相交于点P P，其中，其中RR. .试问：是试问：是否存在两个定点否存在两个定点E E、F F，使得使得|PE|+|PF|PE|+|PF|为

2、定值为定值. .若存在，求出若存在，求出E E、F F的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由. .【易错点分析易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。解析：根据题设条件，首先求出点解析：根据题设条件，首先求出点 P P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P

3、P 到两定点距到两定点距离的和为定值离的和为定值. .i=i=（1 1，0 0） ，c=c=（0 0，a a） ， c+i=c+i=（，a a） ，i i2c=2c=（1 1，2a2a）因因此，直线此，直线OPOP和和APAP的方程分别为的方程分别为 和和 . .消去参数消去参数 ，得点，得点的坐标满足的坐标满足axy axay2),(yxP方程方程. .整理得整理得 因为因为所以得：（所以得：（i i）当）当时，时，222)(xaayy. 1)2()2(81222aayx, 0a22a方程方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E E 和和 F F；（；（iii

4、i）当）当时，方程时，方程表示椭圆，焦点表示椭圆，焦点220 a和和为合乎题意的两个定点；（为合乎题意的两个定点；（iiiiii）当）当时，方程时，方程也表示椭也表示椭)2,2121(2aaE)2,2121(2aaF22a圆，焦点圆，焦点和和为合乎题意的两个定点为合乎题意的两个定点. .)21(21, 0(2aaE)21(21, 0(2aaF【知识点归类点拔知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算本小题主要考查平面向量的概念和计算, ,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高

5、考中向量与圆锥曲线程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。【练练 42】 （1） （

6、2005 全国卷全国卷 1）已知椭圆的中心为坐标原点）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在，焦点在轴上，斜率为轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点且过椭圆右焦点xF 的直线交椭圆于的直线交椭圆于 A、B 两点，两点，与与共线。共线。 （）求椭圆的离心率；（）求椭圆的离心率；（）设）设 M 为为OBOA) 1, 3( a椭圆上任意一点，且椭圆上任意一点，且，证明，证明为定值。为定值。),( ROBOAOM22答案：（答案：（1）（2）=163e 22（2） （02 年新课程高考天津卷）年新课程高考天津卷）已知两点已知两点 M（-1，0） ，N（1，0） ，且点，且点 P 使使，MPMN PM ,成公

7、差小于零的等差数列（成公差小于零的等差数列（1）点）点 P 的轨迹是什么曲线？（的轨迹是什么曲线？（2）若点）若点 P 坐标为（坐标为（） ，PNNM NP ,ooxy记记为为与与的夹角，求的夹角，求；答案：；答案：点点 P 的轨迹是以原点为圆心，的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆为半径的右半圆PM PNtan3tan=|y | 0（3） （2001 高考江西、山西、天津）设坐标原点为高考江西、山西、天津）设坐标原点为 O，抛物线，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于与过焦点的直线交于 A、B 两点，则两点，则等于（等于（ ）A. B. C.3 D.3 答案：答案：BOBOA4343【易错

8、点易错点 43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。例例 43、已知椭圆、已知椭圆 C：上动点上动点到定点到定点,其中其中的距离的距离的最小值的最小值22142xyP,0M m02mPM为为 1.（1）请确定）请确定 M 点的坐标（点的坐标（2）试问是否存在经过）试问是否存在经过 M 点的直线点的直线 ,使使 与椭圆与椭圆 C 的两个交点的两个交点 A、B 满足满足ll条件条件（O 为原点）为原点）,若存在若存在,求出求出 的方程的方程,若不存在请说是理由。若不存在请说是理由。OAOBAB l【思维分析思维分析】此题解题关键是

9、由条件此题解题关键是由条件知知从而将条件转化点的坐标运从而将条件转化点的坐标运OAOBAB 0OA OB 算再结合韦达定理解答。算再结合韦达定理解答。解析：设解析：设，由，由得得故故,p x y22142xy222 14xy2222 14xPMxm由于由于且且故当故当时，时，22212 12242xxmm02m22x 022m的最小值为的最小值为此时此时，当，当时，时，取得最小值为取得最小值为2PM221m1m 224m2x 解得解得不合题意舍去。综上所知当不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时是满足题意此时 M 的坐标为的坐标为22421mm1,3m 1m （1，0） 。（2）由题意知条件）

10、由题意知条件等价于等价于，当，当 的斜率不存在时，的斜率不存在时， 与与 C 的交点为的交点为OAOBAB 0OA OB ll，此时，此时，设，设 的方程为的方程为，代入椭圆方程整理得，代入椭圆方程整理得61,20OA OB l1yk x，由于点，由于点 M 在椭圆内部故在椭圆内部故恒成立，由恒成立，由知知2222124240kxk xk0 0OA OB 即即，据韦达定理得，据韦达定理得，12120 x xy y222122110kx xkxk2122412kxxk代入上式得代入上式得得得不合不合21222412kx xk2222221244120kkkkkk24k 题意。综上知这样的直线不存

11、在。题意。综上知这样的直线不存在。【知识点归类点拔知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。【练练 43】已知椭圆的焦点在已知椭圆的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点，以右焦点轴上，中心在坐标原点，以右焦点为圆心，过另一焦点为圆心，过另一焦点的圆被右准的圆被右准2F1F线截的两段弧长之比线截

12、的两段弧长之比 2:1,为此平面上一定点，且为此平面上一定点，且.（1）求椭圆的方程（）求椭圆的方程（2）若）若2,1P121PFPF 直线直线与椭圆交于如图两点与椭圆交于如图两点 A、B，令，令。求函数。求函数10ykxk 120f kABF Fk 的值域答案：（的值域答案：（1）（2） f k22142xy0,8 易错点易错点 4444牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系. .例例 4444、函数、函数 的导数为的导数为 。1 cosxyx e 易错点分析易错点分析 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导

13、数，乘以中间变量对自变量的导数，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即即。xuxyyu解析：解析： 1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1cosxxxxxyex eexexe 1 cossinxxex1 cos1sinxxx e【知识点归类点拨知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中

14、间变量的系数。 练习练习 4444（20032003 年江苏，年江苏，2121）已知）已知，n n 为正整数。设为正整数。设，证明，证明；0a nyxa1nyn xa （1 1）设设，对任意，对任意，证明，证明 nnnfxxxana 111nnfnnfn解析：证明：（解析：证明：（1 1）0,nnn kkknkxaCax1111111nnn kn knkkkknnkkykCaxnCaxn xa（2 2）对函数）对函数求导数：求导数：， nnnfxxxa11nnnfnxn xa当当时，时， 11.nnnfnn nna0 xa 0nfx是关于是关于 x x 的增函数因此，当的增函数因此，当时，时，

15、 nnnaxxxan当时，fna。11nnnnnnanna 11111111nnnnnnnfnnnnannnannn na 即对任意即对任意，. . 1nnfnna 111nnfnnfn【易错点易错点 45】求曲线的切线方程。求曲线的切线方程。例例 45、 （2005 高考福建卷）已知函数高考福建卷）已知函数的图象过点的图象过点 P（0，2） ，且在点，且在点daxbxxxf23)(M（1，f（1） ）处的切线方程为）处的切线方程为. （）求函数）求函数的解析式；的解析式；076 yx)(xfy 【思维分析思维分析】利用导数的几何意义解答。利用导数的几何意义解答。解析：（解析：（）由）由的图象

16、经过的图象经过 P P（0 0，2 2） ，知，知 d=2d=2，所以，所以)(xf, 2)(23cxbxxxf由在由在处的切线方程是处的切线方程是，知，知.23)(2cbxxxf)1(, 1(fM076 yx. 6) 1(, 1) 1(, 07) 1(6fff即故所求的解析式是故所求的解析式是. 3, 0, 32. 121, 623cbcbcbcbcb解得即. 233)(23xxxxf【知识点归类点拔知识点归类点拔】导数的几何意义导数的几何意义: :函数函数 y=f(x)y=f(x)在点在点处的导数，就是曲线处的导数，就是曲线 y=(x)y=(x)在点在点0 x处的切线的斜率由此，可以利用导

17、数求曲线的切线方程具体求法分两步：处的切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步： (1)(1)求出函求出函)(,(00 xfxP数数 y=f(x)y=f(x)在点在点处的导数，即曲线处的导数，即曲线 y=f(x)y=f(x)在点在点处的切线的斜率；处的切线的斜率；(2)(2)在已知切点坐标和在已知切点坐标和0 x)(,(00 xfxP切线斜率的条件下，求得切线方程为切线斜率的条件下，求得切线方程为 特别地，如果曲线特别地，如果曲线 y=f(x)y=f(x)在点在点)( 000 xxxfyy处的切线平行于处的切线平行于 y y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为轴，

18、这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为。利用导利用导)(,(00 xfxP0 xx 数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点. .【练练 45】45】 （1 1） （20052005 福建卷）已知函数福建卷）已知函数的图象在点的图象在点M M（1 1，f(x)f(x)）处的切线方程为处的切线方程为bxaxxf26)(x x+2y+5=0.+2y+5=0.（）求函数）求函数y=f(x)y=f(x)的解析式；答案：的解析式；答案：362)(2xxxf（2） （2005 高考湖南卷

19、）设湖南卷）设，点，点 P P（ ，0 0）是函数）是函数的图象的图象0ttcbxxgaxxxf23)()(与的一个公共点，两函数的图象在点的一个公共点，两函数的图象在点 P P 处有相同的切线处有相同的切线. .（）用）用 表示表示a a，b b，c c；答案：；答案：t故，.3tabc2tatb .3tc【易错点易错点 46】46】利用导数求解函数的单调区间及值域。利用导数求解函数的单调区间及值域。例例 4646、( ( 20052005 全国卷全国卷 III)III)已知函数已知函数，（）求）求的单调区间和值域；的单调区间和值域； 2472xf xx 01x， f x（）设）设，函数，函

20、数，若对于任意，若对于任意，总存在，总存在1a 223201g xxa xax， 101x ，使得使得成立，求成立，求的取值范围。的取值范围。 001x ， 01g xf xa【易错点分析易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解不等式的运算能力第（不等式的运算能力第（）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数在区间在区间上的上的 yg x 01 ，值域是函数值域是函数的值域的子集，从而转化为求解函数的值域的子集，从而转化为求解函数

21、在区间在区间上的值域。上的值域。 f x yg x 01 ，解析解析() ，令，令解得解得或或,在在222224167(21)(27)( )22xxxxfxxx ( )0fx12x 72x ，所以所以为单调递减函数；在为单调递减函数；在，所以所以为单调为单调1(0, )2x( )0,fx( )f x1( ,1)2x( )0,fx( )f x递增函数；又递增函数；又，即，即的值域为的值域为-4，-3，所以，所以的单调递的单调递71(0),(1)3,( )422fff ( )f x( )f x减区间为减区间为，的单调递增区间为的单调递增区间为，的值域为的值域为-4，-3.( 单调区间为闭区间也可以

22、单调区间为闭区间也可以).1(0, )2( )f x1( ,1)2( )f x（）,又又，当，当时，时，22( )3()g xxa1a (0,1)x2( )3(1)0g xa因此，当因此，当时，时，为减函数，从而当为减函数，从而当时，有时，有.(0,1)x( )g x0,1x( ) (1), (0)g xgg又又，即当，即当时，有时，有，2(1)1 23, (0)2gaaga 0,1x2( )1 23, 2 g xaaa任给任给，有，有，存在，存在使得使得，10,1x 1( ) 4, 3f x 00,1x 01()( )g xf x则则又又，所以，所以的取值范围是的取值范围是。251,1 23

23、433232aaaaaa 或1a a213a【知识点分类点拔知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小长考不衰的热点内容另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的

24、导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题用导值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为 20062006 年高考命题重点年高考命题重点应引起高度注意应引起高度注意单调区间的求解过程，已知单调区间的求解过程，已知 （1 1）分析）分析 的定义域；的定义域； （2 2）求）求)(xfy )(xfy 导数导数 （3 3）解不等式）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（，解集在定义域内

25、的部分为增区间（4 4）解不等式）解不等式)(xfy0)( xf，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并: :函数单调区间的合并主要依据函数单调区间的合并主要依据0)( xf是函数是函数在在单调递增，在单调递增，在单调递增，又知函数在单调递增，又知函数在处连续，因此处连续，因此在在)(xf),(ba),(cbbxf)()(xf单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二),(ca区间就可以合并为以个区

26、间。区间就可以合并为以个区间。 【练练 46】 （1） （2005 高考北京卷）已知函数高考北京卷）已知函数f(x)=f(x)=x x3 33x3x2 29x9xa,a, （I I）求）求f f( (x x) )的单调递减区间；的单调递减区间；（IIII）若）若f(x)f(x)在区间在区间 2 2，22上的最大值为上的最大值为 2020，求它在该区间上的最小值答案：（，求它在该区间上的最小值答案：（1）（，1） ，（3，） （2）7（2）(2005 全国卷全国卷 III)用长为用长为 90cm,宽为宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个先

27、在四角分别截去一个小正方形小正方形,然后把四边翻转然后把四边翻转 90角角,再焊接而成再焊接而成(如图如图),问该容器的高为多少时问该容器的高为多少时,容器的容积最大容器的容积最大?最大容积是最大容积是多少多少?答案：当答案：当x=10 时时,V 有最大值有最大值 V(10)=1960【易错点易错点 47】47】二项式二项式展开式的通项中，因展开式的通项中，因 a a 与与 b b 的顺序颠倒而容易出错。的顺序颠倒而容易出错。nab例例 4747、展开式中第三项的系数比第二项的系数大展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162162，则，则 x x 的一次项为的一次项为 。322nxx【易错点

28、分析易错点分析】本题中若本题中若与与的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。x322x解析：椐题意有：解析：椐题意有：22122162,212162,9nnCCn nnn 即由由 929231993222rrrrrrrrTCxCxx 则921,323rrr 3334912672TC xx 【知识点归类点拨知识点归类点拨】二项式二项式的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在nnabba与遇到类似问题时，要注意区分。遇到类似问题时，要注意区分。【练练 47】47】 （潍坊高三质量检测）（潍坊高三质量检测）展

29、开式中第展开式中第 5 5 项与第项与第 1212 项系数的绝对值相等，则展开式的项系数的绝对值相等，则展开式的4111nxx常数项为常数项为 。解析：据题意有解析：据题意有，即，即 41141111nnCC 411nnCC4411nnnnCCC,411,15nn 令令得：得：故展开式中常数项为：故展开式中常数项为： 15460rrrrrrTCxC xx 60 150,r4r 441511365C【易错点易错点 48】48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。例

30、例 4848、在、在的展开式中，的展开式中，的系数为的系数为 ，二项式系数为，二项式系数为 。5322xx5x【易错点分析易错点分析】在通项公式在通项公式中，中，是二项式系数，是二项式系数，是项的系数。是项的系数。15 5152rrrrTCx5rC52rrC 解析：令解析：令，得，得，则项，则项的二项式系数为的二项式系数为，项的系数为，项的系数为。1555r2r 5x2510C 225240C 【知识点归类点拨知识点归类点拨】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式

31、中常做法就是确定通项公式中 r r 的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。【练练 48】48】 （20052005 高考山东卷）如果高考山东卷）如果的展开式中各项系数之和为的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中，则展开式中的系数的系数3213nxx31x是（是（ ） （A）7 （B） （C）21 （D）721答案：当答案：当时时即即,根据二项式通项公式得根据二项式通项公式得1x 321(3 1)2128,71nnn 7321(3)xx时对应时对应,即即2577733177(3 )( 1) ()3( 1)rrrr

32、rrrrrTCxxCx573,63rr 31x故故项系数为项系数为.67 666 1733311213( 1)7 3.TCxxx 31x21【易错点易错点 49】49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在次往往因为概念不清导致出错。次往往因为概念不清导致出错。例例 4949、已知、已知的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为 1010：1 122nxnNx求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。求展开式中系数最大的项和二项式系

33、数最大项。【易错点分析易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当 n n 为偶数时，中间的一项的为偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当二项式系数最大；当 n n 为偶数时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位为偶数时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。解析：由题意知，第五项系数为解析：由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，第三项的

34、系数为，则有，则有，442nC 22( 2)nC 442221012nnCC 设展开式中的第设展开式中的第 r r 项，第项，第 r+1r+1 项，第项，第 r+2r+2 项的系数绝对值分别为项的系数绝对值分别为8n，若第，若第 r+1r+1 项的系数绝对值最大，则项的系数绝对值最大，则，解得：，解得：11118882,2 ,2rrrrrrCCC118811882222rrrrrrrrCCCC系数最大值为系数最大值为由由知第五项的二项式系数最大，此时知第五项的二项式系数最大，此时56r71111792Tx8n 5611120Tx【知识点归类点拨知识点归类点拨】在在的展开式中，系数最大的项是中间

35、项，但当的展开式中，系数最大的项是中间项，但当 a a，b b 的系数不为的系数不为 1 1 时，最大时，最大nab系数值的位置不一定在中间，可通过解不等式组系数值的位置不一定在中间，可通过解不等式组来确定之。来确定之。112rrrrTTTT【练练 49】49】 （20002000 年上海）在二项式年上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为的展开式中，系数最小的项的系数为 111x。 （结果用数值表示）（结果用数值表示）解析：展开式中第解析：展开式中第 r+1r+1 项为项为，要使项的系数最小，则，要使项的系数最小，则 r r 为奇数，且使为奇数，且使为最大，由为最大，由 11111rr

36、rCx 11rC此得此得，所以项的系数为，所以项的系数为。5r 55111462C 【易错点易错点 50】50】对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。例例 5050、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1 1）分成分成 1 1 本、本、2 2 本、本、3 3 本三组；本三组；（2 2）分给甲、乙、丙三人，其中分给甲、乙、丙三人，其中 1 1 人人 1 1 本，本，1 1 人两本，人两本，1 1 人人 3 3 本；本；（3 3）平均分成三组

37、，每组平均分成三组，每组 2 2 本；本；（4 4）分给甲、乙、丙三人，每人分给甲、乙、丙三人，每人 2 2 本。本。【易错点分析易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题，分给三人与顺序有关，是排列问题。分成三组是与顺序无关是组合问题，分给三人与顺序有关，是排列问题。解析：解析：(1)(1)分三步：先选一本有分三步：先选一本有种选法，再从余下的种选法，再从余下的 5 5 本中选两本，有本中选两本，有种选法，最后余下的三本全种选法，最后余下的三本全16C25C选有选有种选法，有分步计数原理知，分配方式有：种选法，有分步计数原理知，分配方式有：33C12365360CCC（2 2）由于甲、乙、丙

38、是不同的三个人，在（）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1 1）题的基础上，还考虑再分配问题，分配方式共有）题的基础上，还考虑再分配问题，分配方式共有种。种。12336533360CCCA（3 3）先分三步：则应是）先分三步：则应是种方法，但在这里容易出现重复。不妨记六本书为种方法，但在这里容易出现重复。不妨记六本书为222642CCC若第一步取了若第一步取了 ABAB，第二步取了，第二步取了 CDCD，第三步取了，第三步取了 EFEF，记该种分法为（，记该种分法为（ABAB，CDCD，EFEF）则）则, ,A B C D E F中还有（中还有（ABAB，EFEF，CDCD） ， （CDCD，

39、EFEF，ABAB） （CDCD，ABAB，EFEF） ， （EFEF，CDCD，ABAB） ， （EFEF，ABAB，CDCD）共）共222642CCC种情况，而且这些情况仅是种情况，而且这些情况仅是 ABAB，CDCD，EFEF 顺序不同，依次只能作为一种分法，故分配方式有顺序不同，依次只能作为一种分法，故分配方式有33A种种2226423315CCCA（5 5）在问题（在问题（3 3）的基础上，再分配即可，共有分配方式）的基础上，再分配即可，共有分配方式种。种。2223642333CCCAA【知识点归类点拨知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型，对于词类问题的关

40、键是搞清本题是有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型，对于词类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重复或遗漏。复或遗漏。【练练 50】50】 （20042004 年全国年全国 9 9）从）从 5 5 位男教师和位男教师和 4 4 位女教师中选出位女教师中选出 3 3 位教师，派到三个班担任班主任（每班一位教师，派到三个班担任班主任（每班一位班主任）位班主任） ，要求这三位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方法共有（，要求这三位

41、班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方法共有（ ）A A、 210210 种种 B B、420420 种种 C C、630630 种种 D D、840840 种种解析：首先选择解析：首先选择 3 3 位教师的方案有：位教师的方案有：一男两女；计一男两女；计；两男一女：计两男一女：计=40=40。125430CC2154CC其次派出其次派出 3 3 位教师的方案是位教师的方案是=6=6。故不同的选派方案共有。故不同的选派方案共有33A种。种。312213545463040420ACCCC【易错点易错点 51】51】不能正确分析几种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方法导致出错。不能正确分析几

42、种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方法导致出错。例例 5151、四个男同学和三个女同学站成一排。、四个男同学和三个女同学站成一排。（1 1）三个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？三个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？（2 2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3 3）其中甲、乙两同学之间必须恰有其中甲、乙两同学之间必须恰有 3 3 人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？（4 4）甲、乙两人相邻，但都与丙不相邻，有多少种不同的排法？甲、乙两人相邻，但都与丙不相邻，有多少种不同的排法？（5 5）女同学从左往右按高

43、矮顺序排，有多少种不同的排法？（三个女生身高互不相等）女同学从左往右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（三个女生身高互不相等）【易错点分析易错点分析】排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题，顺序一定问题等，如果对题意理解不够充分，排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题，顺序一定问题等，如果对题意理解不够充分，往往选择错误的方法。往往选择错误的方法。解析：（解析：（1 1）3 3 个女同学是特殊元素，我们先把她们排列好，共有个女同学是特殊元素，我们先把她们排列好，共有种排法；由于种排法；由于 3 3 个同学必须排在一个同学必须排在一33A起，我们可视排好的女同学为一个整体，在与男同学排队，这时是

44、五个元素的全排列，应有起，我们可视排好的女同学为一个整体，在与男同学排队，这时是五个元素的全排列，应有种排法。种排法。55A由乘法原理，有由乘法原理，有种不同排法。种不同排法。3535720AA（2 2）先将男生排好，共有）先将男生排好，共有种排法；再在这种排法；再在这 4 4 个男生的中间及两头的个男生的中间及两头的 5 5 个空中插入个空中插入 3 3 个女生，有个女生，有44A种方案。故符合条件的排法共有种方案。故符合条件的排法共有种。种。35A43451440AA（3 3）甲、乙）甲、乙 2 2 人先排好，共有人先排好，共有种排法；再从余下的种排法；再从余下的 5 5 人中选三人排在甲

45、、乙人中选三人排在甲、乙 2 2 人中间，有人中间，有种排法，种排法，22A35A这时把已排好的这时把已排好的 5 5 人看作一个整体，与剩下的人看作一个整体，与剩下的 2 2 人再排，又有人再排，又有种排法；这样，总共有种排法；这样，总共有33A种不同的排法。种不同的排法。423423720AAA（4 4）先排甲、乙、丙）先排甲、乙、丙 3 3 人以外的其他四人，有人以外的其他四人，有种排法，由于甲、乙要相邻，故把甲、乙排好，有种排法，由于甲、乙要相邻，故把甲、乙排好，有44A种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的 4

46、 4 人的空当中，有人的空当中，有种排法；这样，种排法；这样，22A25A总共有总共有种不同的排法。种不同的排法。422425960AAA（5 5）从七个位置中选出）从七个位置中选出 4 4 个位置把男生排好，有个位置把男生排好，有种排法；然后再在余下得个空位置中排女生，由于种排法；然后再在余下得个空位置中排女生，由于47A女生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有女生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有种不同的排法。种不同的排法。47A【知识点归类点拨知识点归类点拨】解决有限制条件的排列问题方法是：解决有限制条件的排列问题方法是：直接法：直接法：间接法：即排除不符合要求的情形间接法：即

47、排除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊一般先从特殊元素和特殊位置分析法元素分析法用加法原理（分类）用乘法原理（分步）插入法（不相邻问题）捆绑法（相邻问题）位置入手。位置入手。【练练 52】52】 （20042004 年辽宁）有两排座位，前排年辽宁）有两排座位，前排 1111 个座位，后排个座位，后排 1212 个座位，现安排个座位，现安排 2 2 人就坐，规定前排中间人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这三个座位不能坐，并且这 2 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数（人不左右相邻，那么不同排法的种数（ ）A A、234234 B B、346346 C C、350350 D D、363

48、363解析：把前后两排连在一起，去掉前排中间解析：把前后两排连在一起，去掉前排中间 3 3 个座位，共有个座位，共有种，再加上种，再加上 4 4 种不能算相邻的，共有种不能算相邻的，共有12192AA种。种。212201924346AAA【易错点易错点 53】53】二项式展开式的通项公式为二项式展开式的通项公式为，事件，事件 A A 发生发生 k k 次的概率：次的概率：1rn rrrnTC ab。二项分布列的概率公式：。二项分布列的概率公式： 1n kkknnP kC PP，三者在形式上的相似，在应用容易混，三者在形式上的相似，在应用容易混,0,1,2,3,01,1kkn kknpC p q

49、knppq且淆而导致出错。淆而导致出错。例例 5353、 （20042004 年全国理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得年全国理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100100 分，回答不正确得分，回答不正确得100100 分。假设这名同学每题回答正确的概率均为分。假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.80.8，且各题回答正确与否相互，且各题回答正确与否相互之间没有影响。之间没有影响。（1 1）求这名同学回答这三个问题的总得分求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望。的概率分布和数学期望。（2 2）求这名同学总

50、得分不为负分（即求这名同学总得分不为负分（即）的概率。）的概率。0【易错点分析易错点分析】对于满足二项分布的分布列的概率计算公式中对于随机变量对于满足二项分布的分布列的概率计算公式中对于随机变量以及二项分布的条件的理解以及二项分布的条件的理解出错。出错。解析：（解析：（1 1）的可能取值为的可能取值为300300，100100，100100，300300。32233000.20.0081003 0.20.80.0961003 0.2 0.80.3843000.80.512PPPP 所以所以的概率分布为的概率分布为300300100100100100300300P P0.0080.0080.09

51、60.0960.3840.3840.5120.512根据根据的概率分布，可得的概率分布，可得的期望的期望3000.0081000.096 100 0.384300 0.512180E （2 2）这名同学总得分不为负分的概率为）这名同学总得分不为负分的概率为。00.3840.5120.896P【知识点归类点拨知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率就是独立重复实验就是独立重复实验 n n 次其中发生次其中发生 k k 次的概率次的概率。但在解决实。但在解决实0,1,2,Pkk1n kkknC PP际问题时一定看清

52、是否满足二项分布。际问题时一定看清是否满足二项分布。【练练 53】53】 （20042004 年重庆理年重庆理 1818）设一汽车在前进途中要经过）设一汽车在前进途中要经过 4 4 个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为行）的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，3414表示停车时已经通过的路口数，求：表示停车时已经通过的路口数，求：（1 1）的概率分布列及期望的概率分布列及期望；（；（2 2）停车时最多已通过）停车时最多已通

53、过 3 3 个路口的概率。个路口的概率。E解析：（解析：（1 1）的所有可能值为的所有可能值为 0 0，1 1，2 2，3 3，4 4。用。用表示表示“汽车通过第汽车通过第 k k 个路口时不停个路口时不停” 则则kA独立。故独立。故123431,2,3,4,4kP AkA A A A且 1104PP A2121233133191,2( ),44164464PP AAPP AAA312344123431273,4425638144256PP A AAAPP A AAA从而从而的分布列为的分布列为0 01 12 23 34 4P P14316964272568125613927815250123

54、441664256256256E （2 2）。811753141256256PP 【易错点易错点 54】54】正态总体正态总体的概率密度函数为的概率密度函数为，当，当2,N 2221,2xf xexR时，时，叫作标准正态总体，叫作标准正态总体的概率密度函数，两者在的概率密度函数，两者在0,1 221,2xf xexR0,1N使用范围上是不同的。使用范围上是不同的。例例 5454、灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为、灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为（单位：小时）（单位：小时） ，已知，已知，要使灯泡的平均，要使灯泡的平均21000,30N寿命为寿命为 10001000 小时的概率为小时的概率为，问灯泡的最

55、低使用寿命应控制在，问灯泡的最低使用寿命应控制在 910910 小时以上。小时以上。0099.7【易错点分析易错点分析】由于由于服从正态分布，故应利用正态分布的性质解题。服从正态分布，故应利用正态分布的性质解题。解析：因为灯泡的使用寿命解析：因为灯泡的使用寿命，故，故在在的概率为的概率为21000,30N10003 30,10003 30 ，即，即在在内取值的概率为内取值的概率为，故灯泡的最低使用寿命应控制在，故灯泡的最低使用寿命应控制在 910910 小时以小时以0099.7910,10900099.7上。上。【知识点归类点拨知识点归类点拨】在正态分布在正态分布中，中，为总体的平均数，为总体

56、的平均数，为总体的标准差，另外，正态为总体的标准差，另外，正态2,N 分布分布在在的概率为的概率为，在，在内取值的概率为内取值的概率为2,N , 0068.33 ,3 。解题时，应当注意正态分布。解题时，应当注意正态分布在各个区间的取值概率，不可混淆，否则，将出现计在各个区间的取值概率，不可混淆，否则，将出现计0099.72,N 算失误。算失误。【练练 54】54】一总体符合一总体符合，若，若，则该总体在（，则该总体在（1 1，2 2）内的概率为）内的概率为 。0,1N 1,2ab解析：由题意可得解析：由题意可得。12(2)(1)Pba【易错点易错点 55】55】对于数列的两个基本极限对于数列

57、的两个基本极限；，两个极限成立的条件不同，两个极限成立的条件不同，lim0nnq1lim1nnaSq前者为前者为；而后者为；而后者为。1q 01q例例 5555、在等比数列、在等比数列中，中，且，且 n n 项和项和，满足，满足那么那么的取值范围是（的取值范围是（ ） na11a nS11lim,nnSa1aA A、 B B、 C C、 D D、1,1,21,21,4【易错点分析易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式利用无穷递缩等比数列的各项和公式，求，求的范围时，容易忽视的范围时，容易忽视这个这个11asq1a0q 条件。条件。解析：设公比为解析：设公比为 q q，由，由知知11lim

58、nnSa所以所以。1211221112211111110211111000aqaaqaaqqaaaqq 又112a【知识点归类点拨知识点归类点拨】对于对于，公比的绝对值小于，公比的绝对值小于 1 1 的无穷等比数的无穷等比数11lim0111nnqqqqqq 存在或不存在或列前列前 n n 项和在项和在 n n 无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。【练练 55】55】，求，求 a a 的取值范围。的取值范围。131lim331nnnna解析：解析：13111limlimlim0331313311,423nnnnnnnnaaaaa 【易错点易错

59、点 56】立体图形的截面问题。立体图形的截面问题。例例 56、 （2005 哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体-，E、F 分别是分别是ABCD1111A BC D、的中点，的中点，p 是是上的动点（包括端点）上的动点（包括端点） ，过，过 E、D、P 作正方体的截面，若截面为四边形，作正方体的截面，若截面为四边形，1AA1CC1CC则则 P 的轨迹是（）的轨迹是（）A、 线段线段B、线段、线段C、线段、线段和一点和一点D、线段、线段和一点和一点 C。1C FCFCF1C1C F【易错点分析易错点分析】学生的空间想象能力不足，不能依据平面

60、的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。解析：如图当点解析：如图当点 P 在线段在线段上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线 DE 平行于平面平行于平面，CF11BBCC则过则过 DE 的截面的截面 DEP 与平面与平面的交线必平行，因此两平面的交线为过点的交线必平行，因此两平面的交线为过点 P 与与 DE 平行的直线，由平行的直线，由11BBCC于点于点 P 在线段在线段 CF 上故此时过上故此时过 P 与与 DE 平行的直线与直线平行的直线与直线的交点在线段的交点在线段上，