概率练习及答案

1、第一章 事件与概率1、对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=（）5 （2） 设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故P（A2）=()5(3) 设A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1-P(A1)=1-()52、一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B=“没有两位及两位以上

2、的乘客在同一层离开”；（3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） （2） 6个人在十层中任意六层离开，故（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有种可能结果；4人同时离开，有种可能结果；4个人都不在同一层离开，有种可能结果，故（4） D=.故3、两人约定上午9001000

3、在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.【解】设两人到达时刻为x,y,则0x,y60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.4、一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】 设Ai=恰有i个白球（i=2,3），显然A2与A3互斥.故 5、设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(

4、ABC)=+-=6、对任意的随机事件A，B，C，试证P（AB）+P（AC）-P（BC）P(A).【证】 7、证明：域之交仍为域。证：设是域，记.(i) 每一，所以，即.(ii) ，则每一，由是域得每一，所以，从而.(iii) ，则诸必属于每一，由于是域，所以每一，即.是域。第二章 条件概率与统计独立性 1、某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A=下雨，B=下雪.（1） （2） 2、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机

5、被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A=飞机被击落，Bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.4583、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考

6、试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A=被调查学生是努力学习的，则=被调查学生是不努力学习的.由题意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又设B=被调查学生考试及格.由题意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知（1） 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.4、设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：ABC=F，P(A)=P(B)=P(C)&l

7、t; 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】由 故或,按题设P（A）<,故P（A）=.5、已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】（1） (2) 6、证明：若P（AB）=P(A)，则A，B相互独立.【证】 即亦即 因此 故A与B相互独立.7、证明：若P（A|C）P(B|C), P(A|)P(B|)，则P（A）P(B).【证】由P（A|C）P

8、(B|C),得即有 同理由 得 故 第三章 随机变量与分布函数1、设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函数并作图；(3).【解】故X的分布律为X012P（2） 当x0时，F（x）=P（X<x）=0当0<x1时，F（x）=P（X<x）=P(X=0)= 当1<x2时，F（x）=P（X<x）=P(X=0)+P(X=1)=当x>2时，F（x）=P（X<x）=1故X的分布函数(3) 2、设连续型随机变量X分布函数为F（x）=（1） 求常数A，B；（2） 求P

9、X<2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 3、设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常数A；（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；（3） P0X<1，0Y<2.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定义，有 (3) 4、.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求条件概率密度fYX（yx），fXY（xy）. 题4图【解】 所以 5、设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为由于P（X>0）=1，故0<1-e-2X<1，即P（0<

10、;Y<1）=1当y0时，FY（y）=0当y1时，FY（y）=1当0<y<1时，即Y的密度函数为即YU（0，1）6、设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p（k），k=0，1，2，PY=r=q（r），r=0，1，2，.证明随机变量Z=X+Y的分布律为PZ=i=，i=0，1，2，.【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以 于是 第四章 数字特征与特征函数1、设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 2、设随机变量X的概率密度为f(x)=对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于/3的次数，求Y2的数学期望。【解】令 则.因为及,所以,

11、从而3、设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y|的方差. 【解】设Z=X -Y，由于且X和Y相互独立，故ZN（0，1）.因 而 ，所以 .4、试求均匀分布的特征函数。解：。当时；当时.5、设随机变量X的概率密度为fX(x)=令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：(1) Y的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3). 解： (1) Y的分布函数为.当y0时， ，；当0y1时，；当1y<4时， ；当y4时，.故Y的概率密度为(2) , , ,故 Cov(X,Y) =.(3) .6、设二维随机变量（X，

12、Y）的概率密度为f（x，y）=试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】设. 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X与Y不相关.下面讨论独立性，当|x|1时， 当|y|1时，.显然故X和Y不是相互独立的.7、对于任意两事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1,则称=为事件A和B的相关系数.试证：（1） 事件A和B独立的充分必要条件是=0；（2） |1. 【证】（1）由的定义知，=0当且仅当P(AB) -P(A)·P(B)=0.而这恰好是两事件A、B独立的定义，即=0是A和B独立的充分必要条件.(2) 引入随机变量X与Y为 由条件知，X和Y都服从

13、0 -1分布，即 从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)·P(),D(Y)=P(B)·P(),Cov(X,Y)=P(AB) -P(A)·P(B)所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|1.第五章 极限定理1、设随机变量X和Y的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 试用切比雪夫不等式估计概率P(|XY| ³ 6).解. E(XY) = E(X)E(Y) = 22 = 0 D(XY) = D(X) + D(Y)= 1 + 42×0.5×

14、1×2 = 3所以 .2、某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解. 假设X表示400台机器中发生故障的台数, 所以XB(400, 0.02)由棣莫佛拉普拉斯定理: 所以 » 1F(2.5) = F(2.5) = 0.9938.3、设供电网中有10000盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解. 假设X表示10000盏灯中开着的灯数, 所以XB(10000, 0.7)由棣莫佛拉普拉斯定理: 所以 » F(4.36)F(4.36) = 2F(4.36)1 = 2×0.9999931 = 0.999.4、在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则XB（10000，0.006）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X