方程的根与函数的零点(用的)

1、温州大学拜城实验高中温州大学拜城实验高中肖生春肖生春华罗庚说：华罗庚说：“数缺形时少直观，数缺形时少直观， 形缺数时难入微形缺数时难入微”【引例引例】 解方程解方程 问题1观察说出表中一元二次方程的实数根与相应观察说出表中一元二次方程的实数根与相应 的二次函数图象与的二次函数图象与x x轴的交点的关系轴的交点的关系. .方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0方程的根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数函数y=ax2 +bx+c(a0)的图象的图象函数的图象与x轴的交点x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-11 2Oxy423-

2、11 2Oxy423-11 2Oxy两个交点两个交点 (-1,0),(3,0)一个交点一个交点(1,0)没有交点没有交点思考思考： 方程实根与对应的函数图象的关系？方程实根与对应的函数图象的关系？结论结论：1.1.方程根的个数就是函数图象与方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数轴交点的个数. . 2. 2.方程的实数根就是函数图象与方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标. .问题问题2若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程axax2 2+ +bxbx+ +c c=0(=0(a a0)0)及相应的二次函数及相应的二

3、次函数y y= = axax2 2+ +bxbx+ +c c( (a a0)0)的图象与的图象与x x轴交点轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？的关系，上述结论是否仍然成立？方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0方程的根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数函数y=ax2 +bx+c(a0)的图象的图象函数的图象与x轴的交点x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-11 2Oxy423-11 2Oxy423-11 2Oxy两个交点两个交点 (-1,0)，(3,0)一个交点一个交点(1,0)没有交点没有交点判别式 0= 00)的根的根

4、两个不相等的两个不相等的实数根实数根x1 、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根x1x2x1(x1,0), (x2,0)(x1,0)结论结论：1.1.方程根的个数就是函数图象与方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数轴交点的个数. . 2. 2.方程的实数根就是函数图象与方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标. .等价关系：等价关系： 方程方程f(x)=0有有实数根实数根 函数函数y=f(x)的图像与的图像与x轴有轴有交点交点 函数函数y=f(x)有有零点零点 问题3 函数的零点与方程的根有什么联系？函数的零点与方程的根有什么联系？ 对于

5、函数对于函数y=f(x),我们把我们把使使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的 注意：注意：零点是自变量的值，而不是一个点零点是自变量的值，而不是一个点3,- 3 1、函数、函数f (x)=x(x2-16)的零点为的零点为( )A. (0,0), (4,0)B. 0, 4C. ( 4 ,0), (0,0),(4,0)D. 4 , 0, 4巩固练习巩固练习 2、求下列函数的零点：、求下列函数的零点：(1)f(x)= 3x+4(2)巩固练习巩固练习D求函数零点的步骤：求函数零点的步骤： (1)令令f(x)=0 (2)解方程解方程f(x)=0 (3)写出零点写出零点.第第1 1

6、组组第第2 2组组探究探究3 现在有两组镜头（如图），哪现在有两组镜头（如图），哪一组能说明她的行程一定曾渡河一组能说明她的行程一定曾渡河? ? 观察二次函数观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象：的图象：在区间（在区间（-2, 1）上有零点）上有零点_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0（“”）在区间在区间(2，4)上有零点上有零点_；f(2)=_，f(4)=_，f(2)f(4)_0（“”） 探究探究: 问题问题4:4:在怎样的条件下，函数在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)上存在零上存在零点？点？ 2-2-41O1-223 4-3-1-1yx1453

7、-35问题问题5:5:在怎样的条件下，函数在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)上存在零点？上存在零点？ 观察函数的图象并填空观察函数的图象并填空:在区间在区间a,b上上f(a)f(b)_0(“”) 在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点； 在区间在区间b,c上上f(b)f(c) _ 0(“”) 在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点； 在区间在区间c,d上上f(c)f(d) _ 0(“”) 在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点；有有有有有有xyOabcdxyOxyObaabcc 如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上的图

8、象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断的一条曲线，并且有并且有f(a) f(b)0，那么，函数，那么，函数 y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零点内有零点 即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根 下列函数在相应区间内是否存在零点？下列函数在相应区间内是否存在零点？(1) f(x)=log2x, x0.5, 2； (2) f(x)=2xln(x-2)-3, x3, 5 巩固练习巩固练习 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断的一条曲线，并且有并且有f(a) f(b)0，那

9、么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零点内有零点 即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根函数零点存在性定理：xyObacxyOabcxyObacxyOabc思考探究：思考探究：下列判断是否正确，不正确的请画图举出反例。下列判断是否正确，不正确的请画图举出反例。 （1）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b上连续，且上连续，且f (a) f(b) 0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点.（ ）（2）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b上连续，且上

10、连续，且f (a) f(b) 0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内没有零点内没有零点.（ ）（3）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b 满足满足f (a) f(b) 0，则，则f(x)在区在区间间(a,b)内存在零点内存在零点.（ ）思考探究：下列判断是否正确，不正确的请画图举出反例。思考探究：下列判断是否正确，不正确的请画图举出反例。（1）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b上连续，且上连续，且f (a) f(b) 0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点.（ ）（2）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b上连

11、续，且上连续，且f (a) f(b) 0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内没有零点内没有零点.（ ）（3）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b 满足满足f (a) f(b) 0，则，则f(x)在在区间区间(a,b)内存在零点内存在零点.（ ）abOxyabOxyabOxy图1图2图3由表可知由表可知f(2)0，从而从而f(2)f(3)0， 函数函数f(x)在区间在区间(2,3)内有零点内有零点由于函数由于函数y=lnx和和y=2x-6在定义域在定义域 (0,+)内内是增函数，是增函数， 所以函数所以函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是内是增函数，因此它仅有一个零点增函

12、数，因此它仅有一个零点用计算器或计算机作出用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表的对应值表：解法解法1 1： 零点存在性定理的应用：问题问题6：如何说明零点的唯一性如何说明零点的唯一性？ 108642-2-451 2346xyOx123456789f(x) - -1.30691.09863.38637.79189.945912.0794 14.1972f(x)=lnx+2x- 6-4例例1 求函数求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数，的零点的个数，并确定零并确定零点所在的区间点所在的区间n, n+1 (nZ) .5.6094解法解法2 2：估算估算f(x)在各整数处的取值的正负在

13、各整数处的取值的正负：解法解法3 3：将函数将函数f(x)= lnx+2x-6的零点的个的零点的个数转化为函数数转化为函数 y= lnx与与y=-2x +6的图的图象交点的个数象交点的个数y=-2x +6y= lnxx1234f(x)例例1 求函数求函数f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数，的零点的个数，并确定零并确定零点所在的区间点所在的区间n, n+1(nZ) .- +6Ox1 2 3 4y 零点存在性定理的应用： +- 但在确定区间的时候，由于画图但在确定区间的时候，由于画图, ,不够精确，容易带来错误，所以多用不够精确，容易带来错误，所以多用在判断零点个数上在判断零点个数上. .x 1 2 3 4 5 6 7f(x) 23 9 7 11 51226 那么函数在区间那么函数在区间1, 6上的零点至少有（上的零点至少有（ ）个）个A. 5个个B. 4个个 C. 3个个D. 2个个2、函数、函数f (x)= x 3 3x + 5的零点所在的大致区间为（的零点所在的大致区间为（ ）A. ( 2 ，0)B. (1，2)C. (0，1)D. (0，0.5) CB1、已知函数、已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：的图象是连续不断的，有如下对应值表：零点存在性定理的应用：巩固练习巩固练习函数零点与方程根的关系函数零点与方程根的关系: :函数方程零