在实际应用中柯西积分公式的用途-正文

1、柯西积分公式的应用姓名：武小娜 班级： 2014 级数学教育 学号： 201430626摘要:阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位, 叙述了各种不同表示形式的柯西积分公式和高阶导数公式 , 并举例说明了这些公式在积分计算中 的应用.关键词: 解析函数 ;复积分; 柯西积分公式 .1 前言实变函数与泛函分析是综合性大学理工科的基础课程，其中柯西积分定 理和柯西积分公式是基础，是关键，也是 19 实际最独特的创造，是抽象科学中 最和谐的理论之一许多重要的性质定理由它们直接或者间接推导出来的柯西积分公式是复变函数的基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它 深刻地反映了解析函数在解析区域内边界

2、值与内部值的关系 柯西积分公式的基 本理论和相关性质已经有了详细而全面的阐述 但柯西积分公式仍然存在一些有 待解决和完善的方面有些理论的证明比较复杂，为初学者带来了诸多的不便； 柯西积分公式只给出了求解光滑周线域的复积分方法； 已经证明了的理论给出的 例题还不够 考虑到柯西积分公式是复变函数积分的基础， 对其进行研究具有较 强的理论意义和现实意义通过阅读大量的专著，期刊还有网上的资料，本文将对实变函数中的柯西 积分公式和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结， 并举出相应的例 子，化抽象为具体； 还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结； 然后 总结归纳参考文献中得到的结论，并试图

3、将归纳得到的这些结论做进一步的推 广；在论文的最后， 会选取一些经典例题做供大家参考！ 为完成本文我查阅大量 的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去2 预备知识2.1 柯西积分定理设函数f(z)在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则cf (z)dz 02.2 推广的柯西积分定理设C是一条周线，D为C之内部，函数f(z)在闭域D D C上解析，则c f(z)dz 0 .2.3 复周线柯西积分定理设D是有复周线C Co Ci C2Cn所围成的有界n 1连通区域，函数f(z)在D内解析，在D D C上连续，则 f(z)dz 0 .c2.4 柯西积分公式设区域D的边界是周线(或复

4、周线)C，函数f(z)在D内解析，在D D C上连续，则有 f(z)丄Qd ( z D).2 i c z3 柯西积分公式的推论3.1 解析函数平均值定理如果函数f(z)在Zo|R内解析，在闭圆IzoR上连续，则1 2 .f (zo) f (zo Re1 )d ，2 o即f(z)在圆心z的值等于它在圆周上的值的算术平均数.证：设C表示圆周z R，贝Uzo Re ,o 2即z Re ，由此diRdd根据柯西积分公式f(zo)1f()d1f (zo Re1 )iRe,.d2 i czo2 i cRs12f (zoRe )d2o3.2 高阶导数公式设区域D的边界是周线(或复周线)C，函数f(z)在D内

5、解析，在D D C上连续，则函数f(z)在区域D内有各阶导数，并且有f(n)(z)旦(z D)2 i c( z)n 1(n 1,2,)这是一个用解析函数f (z)的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式.现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐.下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一 种简单的证明.引理 设 是一条可求长的曲线，f(z)是 上的连续函数，对于每个自然数 m及复平面C上的每个点z ，定义函数Fm(z) )md(z)那么每个Fm(z)在区域D C 上解析，且Fm(z) mFm 1(Z)证明：首先证明Fm(z)是区域G上的连续函数，

6、即要证明，对于 G内的任意点a，不论0多么小，总存在0,只要(z在G内的点)，就有Fm(z) Fm(a)因为(1)所以1m(a)(丄z(za)丄)a k 111m kk 1(z) ( a)1 (z)m1(a)a)2(z)( a)mFm(z)Fm(a)z a f()f(a)11m-d a因为f(z)在上连续，所以存在某个常数M0 ,使得对于上一切点，f ( ) M .设a与的距离为r .那么对于任意rr 2,于是有(2)得Fm(z) Fm(a)a Mm(-)m 1I，其中I为曲线的长.z a Mm(2)m 1Im 1rMm2m 1Imin(m 1rm 1Mm2 I1)那么，当z a，就有 Fm(

7、z) Fm(a)其次证明Fm(Z)在区域G上解析，且满足Fm(Z)mFm 1(z)，在G内任取一点a，设z G, z a，由(1)得Fm(z) Fm(a)f(z)( a) 1 d(厂d因为a，所以对于满足不等式1 k m的每个k，f (z)( z) k在上连续根据前一部分的证明，上式右边的每个积分都在G上定义了一个变量z的连续函数，因此，当z a时的极限存在，即Fm(a)( f( )Ld(a)f( ) d rFdmFm i(a) 对于G内的一切a均成立.F面使用这个引理证明高阶导数公式：证明：由柯西积分公式，对于G内的任意点z，有f(z) 2；5d(z)记f(z) F,z)根据引理,f(z)

8、Fi(z) F2(z) f (z) F2(z)2!F3(z)f (z) 2!F3(z) 3!F4(z)f(m) (z)m!Fm i (z)m!f()m 1 d z)3.3 柯西不等式设函数f (z)在区域D内解析，a为D内一点，以a为心作圆周r:a R , 只要r及其内部K均含于D，则有严)n!Mn(R),M(R) max f(z),n 1,2,.RnA a| R证：由上面的推导可由柯西积分公式得到高阶导数公式，下面再有高阶导数公式证明柯西不等式应用上面得到的定理，则有(n)(a)n!2 ic(a)n!2M (R)Rn1n!M (R)Rn注：柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式,说明解析函

9、数在解析点a的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关.3.4 刘维尔定理有界整函数f (z)必为常数证：设f (z)的上界为M，则在柯西不等式中，对无论什么样的R，均有M (R) M .于是命n 1时有f (a)Mr，上式对一切R均成立，让R，即知f (a)0，而a是z平面上任一点,故f (z)在z平面上的导数为零，所以，f(z)必为常数3.5 摩勒拉定理若函数f(z)在单连通区域D内连续，且对D内任一周线C，有cf(Z)dZ 0 ,则f (z)在D内解析.证：在假设条件下，即知F(z)zf ( )d(zo D)zo在D内解析，且F (z) f (z) (z D).但解析函数F(z)的导函

10、数F (z)还是解析的.即是说f(z)在D内解析.4 奇点在积分路径C上的柯西积分公式我们一般讨论的复积分，要就被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积 分路径上，这类积分可以直接套用柯西积分公式可求， 如果积分路径上存在奇点， 就不满足条件了，就不能直接用柯西积分公式了，此时一般用复积分概念，利用 极限来求解，但比较复杂，甚至求不出结果.下面结合Holder条件和奇异积分相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的 求解公式.定义1设C是复平面内的简单逐段光滑曲线，勺C，函数f (z)在C z0上连续，在z附近无界，在C上z的两边各取一点z,Z2，若limf (z)

11、dzz1 ,z2 zo c Zi, z2存在，则称此极限值是f沿C的奇异积分，记为f (z)dz limf (z)dzcZi,Z2 zo c zi ,z2定义2设C是复平面内的简单逐段光滑曲线，zd C，函数f(z)在C z0上连续，在Z。附近无界，以Z。为心、充分小的正数为半径做圆周，使它与C的 交点恰为Z1，Z2，若极限叫c *児dZ存在，则称此极限值是f沿C的柯西主值积分，记为2 i czzolim 0 2 i c Zi ,Z2f(z)dzz Zo定理1设C施光滑曲线，取正向，若f满足Holder条件，即af(乙)f(Z2) Kzi Z2 ,(0 a 1)(其中K, a都是实常数，Zi,

12、Z2是C上任意两点)则称柯西主值积分存在,且有12 if(Z)dzcZ Z012 i-()dzf (zo), (z C)cz Z02证：1f(z)lz1f (z) f (Z0)dz f(Z)dZ dz2 icZ Z02 i cZ1,Z2z z02 i c Z1，Z2 z z01dzlog(Z1Z0)log(z2 Z0)又c Z1,Z2 zz0iarg(z1Z0)arg(z2Z0)i ,(0)(其中log(z Z0)为c Zi,Z2上任意连续分支，Z! ZoZ2 Zo)，arg(N z) argZ z。)为当z从z沿c乙卫变动到Zi时z z0的幅角改变量,当 0即Z|,Z2Zo时，它的极限值为又

13、因为f(z)满足Holder条件，即f(z) f (Z0)ZZ0Kraz Z0而0 a 1，则积分1 f(z) f(Z)dz2 i c z Z0存在.于是，得f(z)cz Z0dzf(z)c Z1Z2f (z。)Z0f(Z)dz 2 i c Z1，Z2 z Z0a)1 f(Z) f(Z0)dz2 i c z Z0定理2若C是简单逐段光滑曲线，D是以C为边界的有界单连通区域，f(z)在D内解析，在D z；上连续(Z) C)，在Z)的邻域有Kf(z) ,0 a 1,z D z。, K 为常数Z Zo则、；f (z)dz 0 .c证：以Zo为心，充分小的0为半径作圆，在C上取下一小段弧C，在D内得到

14、圆弧L，取正向，有柯西积分定理f (z)dzc cf(z)dz 0,设L的参数方程为ziz0e , 1L f(z)dzNdzK 1 a( 21)0,(0).zZf (z)dz limc0 c cf(z)dz叫 L f(z)dz 0定理3设区域D的边界是周线(或复周线)C，f (z)在D内解析，在D D C上连续，且在C上f(z)满足Holder条件，则有f(z。)此式称为z0在边界C上的柯西积分公式.证：f(z)满足Holder条件，则有af(乙)f(Z2) KZ1 Z2 ,(0 a 1)那么由定理1知：z Z0六兰dz (Z0),(Z0 C)于是由定理3得故有f(z) f(Zo)z Zo1

15、aZZo,(0 a 1)f(z)*f(Zo)c巴dZ,(Zo C)另外，当C是复平面内的简单逐段光滑曲线,Zo C，函数 f(Z)在 C Zo上连续，在Zo附近无界，以Zo为心、充分小的正数为半径做圆周，使它与C的交点恰为Zi, Z2，若极限lim fZ)dZ不一定存在.因此，此时的柯西积分o 2 i c Zi,Z2 z Zo主值不能确定，故此时Zo在边界C上的柯西积分公式也不能确定.5.3 柯西积分公式的方法与技巧柯西积分公式是复积分基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地 反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系. 解析函数的高阶导数给我 们一个利用导数来求积分的公式，是求沿闭

16、曲线的积分更加简洁.而尤其重要的 是，高阶导数公式告诉我们：只要函数 f(z)在D内处处可导(解析)，则它的各阶导数在区域D内存在.到此为止，我们已经掌握了关于复积分计算的基本定理和公式.因此，计算复积分不再是应用某一定理或某一公式，而往往是同时应用几个定理或几个公 式，这就要求我们加强对综合问题的分析、研究和求解能力的培养.当被积函数为有理函数或被积函数可化为分母为多项式的函数式，如果在封闭曲线C内含有分母的一个零点而分子在C内处处解析(即对 - g(z)dz，cg(z)卫或f (z)n 1，Zo在 C 内，而f(z)在C内处处解析)，则可直接应用z Zo(z Zo)柯西积分公式或高阶导数公

17、式来计算积分. 而在有理函数情形，若C内含有分母 一个以上零点而分子解析，则要先将被积函数化为部分分式，然后依据具体问题是用恰当的方法去求积.6举例应用例1计算积分dzc(z24)cos zC：x2 y2 4x.解：化x2 y24x 为(x 2)2y24，即 z 22 -C内有奇点丁2，作以和2为心的位于C内的互不相交且互不包含的小圆周2与柯西积分公式，有G和C2，依复闭合定理dz2c(z 4)coszdz2C2 (z4) cos z1dz2c1 （z 4） cosz1 dzc1 cosz川丄z 4:i2 161 1 1 ）dz，（2）（ -一 ）dzz 3z 4 z 4 z 3分析：（1）和

18、（2）的主要区别在于积分路径上是否存在奇点，（1）的结果例2计算积分（1）訂土|z| 1C2(z 2)cosz ,dziz24cos2很好求，符合积分定理的条件，可直接使用柯西积分定理.（2）应为奇点z 4在积分路径上，所以就不能直接用柯西积分定理来求,但满足定理3条件，可利用定理3求值.解(1)直接用柯西积分定理得1 1)dz-z 3 dzz 4zdzz 4 z 4z 4z 4（2）因为dzz 1z 4dz4z 4空0lz 1z 3dz4z 3又有柯西积分公式有由定理3有所以例3计算积分sin x , dxi 1|z3f(20)i|zo 4i21)dz i 2 z 3有一定难度，但通过变形,分析：此题如果用广义积分来求解，计算繁冗, 转化为复数，利用定理3求解就简单多了.sinx 1dx lim 2RR .sin x , dxR xR1cosx i sinxlimdx2R r ixlimR ixe .dxRix12ilimR ixe .dxR x(其中经过定积分的计算可以得到积分Rcosx .dx 0)R x设 f(z)eiz, f (z)满足Holder条件，且丄色 的奇点zz 0在积分路径上,由定理3得R ixjR xizdzz(其中R是连接 R和R的一段弧,R,R是闭曲线)由约当引理知ize dz