内切球和外接球例题

1、高考数学中的内切球和外接球问C. 24D.323.求多面体的外接球的有关问题x12d面的距离2 .，外接球的半径R .r2 d2 1、，4V球一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在 同一球面上，则该球的表面积为 . 27 .例2 一个正方体的各顶点均在同一 球的球面上，若该正方体的表面积为 24 , 则该球的体积为.4 .3 .2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方 体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点 上的三条棱长分别为.2,3,则此球的表面 积为14 .例4、（2006年全国卷I）已知各顶点 都在一个球面上的正四棱柱

2、高为 4,体积 为16,则这个球的表面积为（）.C.A. 16 B. 20例5. 一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的 顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体9积为石，底面周长为3 ,则这个球的体积为 .解设正六棱柱的底面边长为x ,高6x 3,9, 73 2.6 x h,为h,则有841 r正六棱柱的底面圆的半径2 ,球心到底二、构造法（补形法）1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 石, 则其外接球的表面积是9解据题意可知，该三棱锥的三条侧 棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一 个棱长为 百的正方体，于是正方体的外接 球

3、就是三棱车t的外接球.设其外接球的半 径为R,则有22222R,33、39 . * *R294 .故其外接球的表面积S 4 R29小结一般地，若一个三棱锥的三条 侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c, 则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥 的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,2.22则有2R也b C .出现“墙角”结构 利用补形知识，联系长方体。【例题】：在四面体题口中，共顶 点的三条棱两两垂直，其长度分别为 17后7,若该四面体的四个顶点在一个 球面上，求这个球的表面积。4甯=.»十月CJ4P"= 所以田=2球的 表面积为

4、67; = 4菠=16泞例6. 一个四面体的所有棱长都为 J2,四个顶点在同一球面上，则此球的 表面积为（）A. 3B.4 C.3v/3 D.6解析：一般解法，需设出球心，作出 高线，构造直角三角形，再计算球的半径. 在此，由于所有棱长都相等，我们联想只 有正方体中有这么多相等的线段，所以构 造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体， 四面体A BDE满足条件，即 AB=AD=AE=BD=DE BE 石，由止匕可 求得正方体的棱长为1,体对角线为网, 从而外接球的直径也为«,所以此球的表 面积便可求得，故选A.直径为烈的长即:解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外

5、接球的例7.在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2 , DAB=60 0, E为AB的中点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P ,则三棱锥P-DCE的外接球的 体积为（）.4.3.6A.方 B. E-.6.6C, 8 D. 24解析：因为AE=EB=DC=1 , DAB= CBE= DEA=60 0 ,所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1 ,即三棱锥p-DCE为正四面体，至此，这与例6就 完全相同了，故选C.例8 .已知球O的面上四点A B C、D, DA 平面 ABC AB BC , da=ab=bc= 6,则球o的体积等于 三角形解出CD=解析：首先可

6、联想到例8,构造下面 的长方体，于是AD为球的直径，O为球心, 0B=0C=4 *为半径，要求b、C两点间的球 面距离，只要求出BOC即可，在Rt ABC 中，求出BC=4,所以BOC=60°,故B、 .故球0的体积等于92 2、构造长方体例9.已知点A B C D在同一个球 面上，AB平面BCD , BC DC ,若 AB 6,AC=23,AD=8 ,则球的体积是一所以CD长即为外接球的直径，利用直角C.24D.32解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA 平面ABC , AB BC ,联想长方体中的相应线段关系，构造长

7、方体，又因为DA=AB=BC= 6,则此长方体为正方体，三.多面体几何性质法例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16 B. 20解设正四棱柱的底面边长为x,外 .2接球的半径为R,则有4x16 ,解得x 2.2R 亚22 42 2 而，R 66 .2这个球的表面积是4 R 24 .选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等 于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例11.正四棱锥S ABCD的底面边 长和各侧棱长都为亚，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球 的体积为解 设正四棱锥的底面中心为O1 ,外 接球的球

8、心为0 ,如图1所示.由球的截 面的性质，可得001平面abcd .又S01平面ABCD，球心0必在 SO1所在的直线上. ASC的外接圆就是外接球的一个 轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC中，由SA SC厄AC 2,222得 SA2 SC2 AC2.二”1ASC是以AC为斜边的Rt .2 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故4V球 3 .五.确定球心位置法例11.在矩形ABCD中,AB 4, BC一个直二面角ABCD的外体积为，沿AC将矩形ABCD折成B AC D ,则四面体接球的125B. 9125D. 3125A. 12125C. 6解设矩形对角线的交点为。，则由 矩形对角线互相平分，可知0A 0B 0C 0D. .点。到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点0为四面体的外接球的球心，.二外接球的125543R OA -V球一R半径2 .故 3选C.【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球咏5体积。的球面上,FC二标，工-10,求球。的解:且以=7，月=5尸。=标AC-IU ,因为 +而=10口所以知HCJFd+TV所以八PC以可得图形为:在AfAA5C中斜边为RU ,在 五也户4b中斜边为月G ,