距离空间泛函分析第四章习题第一部分(1-18)

1、实变函数与泛函分析第四章习题1-18第四章习题第一部分(1-18)1 2 1/2 1 _一1. 在，中令;1 (x, y) = (x -y)，:2(x, y) = | x -y | ,问"，X是否为'上的距离? 解显然门，：?2满足距离空间定义中的非负性和对称性.但二1不满足三角不等式：取点x = -1, y= 0, z = 1,贝U ：1(x, z) = 4 > 2 = ;1(x, y) + “(y, z),所以 6 不是-;1 上的距离。 而- x, y, z"1,；2(x, y) = . |x _y| |x _z| | z - y | x - z | |

2、 z - y | 2 x - z| | z - y |=(xzJz y|)2= xz.|z y| = 2(x, z) + "(z, y); 所以2是丿上的距离.2. 设(X, )是距离空间，令“(x, y) = n r(x,y) , -x, y X.证明(X, m)也是距离空 间.证明显然“满足距离空间定义中的非负性和对称性，故只需证明M满足三角不等式即可.实际上-x, y, z X, 6(x, y) =n r(x, yWx, z) T(z, y)-n ?(x, z) Jz, y) M (x, y,z,n)二 n (n, ：、(x,z)n 珥z, y)n= n(x, z)n (z,

3、y) = %(x,z)1(z,y).3. 设(X, )是距离空间，证明| : (x, z) - y, z) |(x, y), -x, y, z X;| "x, y)-代乙 w) | < P(x, z) + P(y, w), Vx, y, z, wX.证明x, y,乙wX,由三角不等式有-:?(x, y)(x, z) - '(y, z) (x, y),故第一个不等式成立.由第一个不等式可直接推出第二个不等式：|(x, y) -(z, w) | < |(x, y)(y, z) | + | ：-(y, z) - '(z, w) |(x, z) +(y, w).4

4、. 用 Cauchy不等式证明(| 1 |+ | 1 |+ . + | n|)2 < n(| 1 f + | 1 |2 + . + | nf).证明 在P159中的Cauchy不等式中令ai = | i |, b = 1, _i = 1,2, ., n即可.5. 用图形表示Ca, b上的S(x0, 1).注我不明白此题意义，建议不做.6. 设(X, d)是距离空间，AX,int(A)表示A的全体内点所组成的集合.证明int(A) 是开集.证明若A = -,则int(A) = 一，结论显然成立.若 A - 一，则-x A, r > 0 使得 S(x, r) A.对-y S(x, r)

5、，令 s = r -d(x, y)，贝U s > 0,并且 S(y, s) - S(x, r) A； 所以 y int(A).故 S(x, r)int(A)，从而 int(A)是开集.7. 设(X, d)是距离空间，AX, A -、.证明：A是开集当且仅当A是开球的并. 证明若A是开球的并，由于开球是开集，所以 A是开集.若A是开集，-x A,存在r(x) > 0,使得S(x, r(x) A.显然 A = "x A S(x, r(x).8. 举例说明对于一般的距离空间 X,并不是总有S(x,r) =S(x,r) , -x X, r > 0.例 设X = a, b，定

6、义 d : X X为 d(a, a) = d(b, b) = 0, d(a, b) = 1. 则(X, d)是距离空间.当 r = 1 时，不论 x 为 a 还是 b,总有 S(x,r)二x = X 二 S(x, r).9. 设(X, d)是距离空间，A, B5X .证明：A 一 B = " B , A ' B AB .证明由于 A5 A, B5B，故 A_. B5A_. B .由于A和B都是闭集，所以A 一 B也是闭集，所以A_. B A_. B .另一方面，由A, B A B，得瓦B厂B，所以A B厂"B ;这样就证明了第一个等式.由 A B A,B 得 A -

7、 BA, B，所以 A - B A' B。10. 证明：距离空间中的闭集必为可列个开集的交，开集必为可列个闭集的并.证明由开集与闭集的关系，实际上我们只需证明第一部分即可.设(X, d)是距离空间，A5X, A是闭集.若A = 一则结论显然成立，下面设 A -.一.二 ，定乂 An = =a S(x, 1/n)，则 An是开集，且 A An.因此 A- n An.若xA,则由于A是闭集，N f +，使得S(x, 1/N) 一 A = 一；即XAn,所以- n An.这样就证明了 A = _ n An.因此距离空间中的闭集必为可列个开集的交.11. 设(X, d)是距离空间，xn是基本列

8、，且有收敛子列xnk > X .证明xn > x .证明- ；0，由于Xn是基本列，存在自然数N，当m,n N时d(xm,xnH-.2由于子列x > x，存在自然数K，当k K时，nk N且d(xnk ,xpk2当nN时，因nK 1 N ，故 d (x n, X nK *) U , d(XnK+, X)V ，从而 d (xn , x) V 名.2 212. 设在非空集合X上定义了两种距离d和d1，且存在正数a和b，使得对任意 的 x, y X 总有 a d1(x, y)乞 d(x, y)冬 b d1(x, y).证明：在距离空间(X, d)和(X, d” 中，基本列与收敛点列

9、是共同的.并举出这种空间的例子.证明设 Xn 是(X, d)中的基本列，贝U对-；> 0, TN +，当 m, n > N 时 d(xm, xn) < a ；.此时有 d1(Xm, Xn) d(Xm, Xn)/a < a ；/a =，所以 Xn 也是(X, d1)中的基本列. 相反方向的证明是类似的.关于收敛点列的证明与关于基本列的证明类似.一个简单的例子就是在至少两个点的距离空间(X, d)中定义新的距离d1,使得d1 = 2d.13. 设X是正整数集合，令d(x, y) = | x -y |,证明(X, d)是完备距离空间.证明首先从距离定义看，(X, d)实际上是

10、J的子空间，当然是距离空间. 因丿是完备的，而X又是丿中闭集，所以(X, d)是完备距离空间.14. 设X是正整数集合，令d(x, y) = | 1/x -1/y 证明(X, d)不是完备距离空间.证明首先直接验证可知(X, d)是距离空间.-n三 ，设Xn = n.则 xn 是(X, d)中的基本列.若 Xn 收敛于 XF X，贝U d(xn, x) 一； 0，即 | 1/xn T/x | 一； 0(当 n r 时).由此推出1/x = 0,而这是不可能的.所以基本列 Xn 不收敛，因此(X, d)不是完备距离空间.15. 证明：离散距离空间(X, d)是完备距离空间.证明设Xn是(X, d

11、)中的基本列， 则存在自然数N，当m, n .N时d(xm,xn) : 1 .由离散距离空间定义知，d(xm,xn) 0，所以应有xm = x,; 即从NT项开始xj为常序列，因此xj必为收敛列. 所以(X, d)是完备距离空间。16. 证明：c是可分的完备距离空间.证明首先证明c是完备距离空间.设xn是基本列，-；0，存在自然数N，当m, n N时d(Xm, xj ：；.记 Xn =( i(n)，则 | V 一 丫)卜：；，(- i -1 ). 可见对-i _1，数列 (n) |n _1是R1中的基本列， 因此设i(n) n，并记x=(.显然当 n N 时，-i _1 有 | ,n) 一 匸

12、；，取 n = N 1 则-i _1 有(N ° 一 卜；. 由于Xn厂(i(N °)是收敛列，存在M N使得当m,n M时，I (N 1 (N 1).nm此时 I； - mUn - n(N1)lF Jtl m" - m 卜3 .故x = ( i )是R1中的基本列，所以c .由前面可见，- 0，存在自然数N，当n时-i_1有|(n) - |_ ；，故有sup| ,n) - ： 口 ；，即d(xn,x)，所以基本列xn是收敛的.i >下面证明c是可分的.在c中，令A二x=(J| j为有理数，存在自然数N使得-i N有.广N. 则A显然为可数集，且A在c中稠密，所以c是可分的.17. 证明：s是可分的完备距离空间.证明首先证明s是完备距离空间.设Xn是基本列，一；0，存在自然数N，当m, n N时d(Xm,Xn)：；. 记Xn =( i(n)，容易看出i -1，数列 i(n) | n1是R1中的基本列， 因此设i(n) nI匚，并记x=( J.oO I |巴5)亡)|M i(n)己(m) |注意 i(n(m)，故. i(0)<m)(对任意自然数 M ).i 4 21| i- i |i21|i- i|M I | 芦(n) 产 i令m：得到a -j-匚I ,(对任意自然数M ).1十