线性代数第一章x11new

1、2第一章第一章 矩矩 阵阵 31.1 Gauss1.1 Gauss消元法消元法ija其中其中1 12 2, , , ,n nx x x xx xL L是未知数是未知数, ,(i=1,m;j=1,n)(i=1,m;j=1,n)是系数是系数, ,mbbb,21 是常数项是常数项. .称式称式(1.1.1)(1.1.1)为为m m 个个方程方程 n n 个未知数的个未知数的 线性方程组。线性方程组。1 11 11 11 12 22 21 11 1n nn na a x xa a x xa ax xb b+=L L2 21 11 12 22 22 22 22 2n nn na a x xa a x x

2、a ax xb b+=L L1 11 12 22 2m mm mm m n nn nm ma ax xa ax xa ax xb b+=L L(1.1.1)线性方程组4齐次线性方程组：齐次线性方程组：12,mb bb全为零,非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：12,mb bb不全为零,一一组组概概念念一个解一个解:n元有序数元有序数组组12,nc cc，1122, , , ,nnxcxcxc 使（使（1.1.11.1.1）的所有方程都成立。）的所有方程都成立。令令 解集合：方程组的全部解的集合。解集合：方程组的全部解的集合。5 同解方程组同解方程组:解集合相同的方程组解集合相同的方程组 不相容

3、线性方程组：解集合为空集的方程组。不相容线性方程组：解集合为空集的方程组。 解的存在性：解集合是否为空集。解的存在性：解集合是否为空集。 解的唯一性：非空的解集合是否只有一个元素。解的唯一性：非空的解集合是否只有一个元素。 特解特解: 解集合中一个特定元素。解集合中一个特定元素。 一般解一般解 (通解通解): 解集合中全部元素的通项表达式。解集合中全部元素的通项表达式。6零解：所有未知数均取零的解零解：所有未知数均取零的解; ;非零解：未知数不全取零的解非零解：未知数不全取零的解; ;一般的n元齐次线性方程组：11112212112222112200 (1.1 2) 0.nnnnmmmnna

4、xa xaxa xaxaxaxaxax 71212200 xxxx 只有零解121220240 xxxx 有无穷多个解,(2,-1),(6,-3)等.例8例例1 1 解线性方程组解线性方程组 123123123222422353457xxxxxxxxx 解：解： 1(1)2 123123123222353457xxxxxxxxx 9122133（） （）（ ），（） （）（ ）, 1233232121xxxxxx (2)(3)1232332211xxxxxx 解得3231, 1, 2xxx 10小结：1上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程

5、次序；（2）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍ji（与相互替换）j（以替换）ik i称上述三种变换为方程组的初等变换.（以 替换ik i）回代消元113上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的方程组与变换后的方程组是同解的 定理定理 1.1.1 1.1.1 方程组的初等变换把一个线性方程组的初等变换把一个线性方程组变成另一个同解的线性方程组。方程组变成另一个同解的线性方程组。 12对方程组消元的约定:一个方程中从左向右依次消去未知数.用上面的方程中的未知数消去下面方

6、程中的未知数.消元的目的: 特殊形式的方程组.从上到下,每个方程中系数不为零的第一个未知数的下标是严格增大的1232332211xxxxxx 阶梯形方程组阶梯形方程组13当未知数与方程比较多时,消元过程书写量非常大.方程23321xxx由系数及常数项唯一确定可简记为2311 754543322222A例 1 的方程组可记为每行对应一个方程.141122101001112A7525433221111A1121002101113A用用可以表示消元过程中的方程组可以表示消元过程中的方程组15定义定义 由由 个数个数构成的构成的 行行 列的矩形表列的矩形表nm mn njmiaij, 2 , 1;,

7、2 , 1 称为 矩阵.nm mnmmnnaaaaaaaaa212222111211简记为.AAaamnijijmn 16，1ia2ia,ina， 是 ijm na 的第 i 行,ja2mjaja1的第 j 列, 是 ijmna 因此ija位于的第 i 行 j 列, ijm na ijm na 的 (i , j)元. 称之为矩阵矩阵 A, B, C; 元素a, b, c .17对线性方程组（1.1.1）,令mnmmnnaaaaaaaaa212222111211A=111211111211 2122222122221212n nn nmmm nmmmm nmaaabaaabaaabaaabA A

8、aaabaaab轾犏犏犏犏=犏犏犏犏臌L LL LMMMMMMMML L分别称为方程组(1.1.1)的系数矩阵和增广矩阵18方程组的三种初等变换对应增广矩阵的下列 三种变换上面三种变换称为矩阵的初等行变换上面三种变换称为矩阵的初等行变换:()1 1, , ,i ij ji i j jR RR R对对调调两两行行（对对调调两两行行 记记作作）；( )2 20 0; ;k k以以数数乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素, ,i iikkRikkR（第 行乘记作）（第 行乘记作）( )3 3. .i ij jk kj jk ki iR Rk kR R+把把某某一一行行所所有有元元素素的的 倍倍加

9、加到到另另一一行行对对应应的的元元素素上上去去（第第 行行的的 倍倍加加到到第第 行行上上, , 记记作作）19方程组的消元过程可以通过对增广矩阵的初等变换实现例例1 1 解线性方程组解线性方程组 123123123222422353457xxxxxxxxx 解：写出增广矩阵 754543322222A203131( 3)( 2)111 2001 1012 1RRRR 112222 4111 2223 5223 5345 7345 7RA 23111 2012 1001 1R 1232332211xxxxxx 解得(2, 1,1) 21说明说明（1）变换提示符）变换提示符, ,i ij jR

10、RR R, ,i ikRkR, ,i ij jR Rk kR R+(2) 将矩阵将矩阵A化为化为B记为记为AB，不能记为，不能记为AB。(3) 阶梯型方程组的增广矩阵也有阶梯的阶梯型方程组的增广矩阵也有阶梯的 特征。特征。（i）零行在 所有非零行的下面。（ii）随着行标的增大，每个非零行的 首非零元的列标严格增大。这样形状的矩阵称为阶梯形矩阵22特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；5 00000310003011040101B （2）、每个台）、每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数

11、，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元（称之为主元）零元（称之为主元）23 显然显然, 以阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程以阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组一定也是阶梯形方程组组一定也是阶梯形方程组. 因此只要把增广矩阵因此只要把增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵, 即可得所求的阶即可得所求的阶梯形方程组梯形方程组, 从而完成消元过程从而完成消元过程. 定理定理1.2.2 1.2.2 任一矩阵可通过有限次初等行任一矩阵可通过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵。变换化为阶梯形矩阵。 24输入输入线性方程组线性方程

12、组AX=b方程组的方程组的初等变换初等变换阶梯形方程组阶梯形方程组CX=b回代回代一般解一般解矩阵初等矩阵初等行变换行变换增广矩阵增广矩阵AA b 阶梯形矩阵阶梯形矩阵C b输出输出25例例 解线性方程组解线性方程组 12312312312222334xxxxxxxxx 解解3121( 2)( 1)111111111222011123330112RRRRA 32( 1)111101110001RR 26对应阶梯形方程组为 123231101xxxxx 123,xxx 因为无论 取何值，都不会使第三个方程成立，所以此方程组无解，亦即原方程组无解。称形如“零=非零数”的方程为矛盾方程 27例例 解

13、方程组解方程组 12351234512345123453122242 3345382xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解111031221242331453111182A 28111031001220000131000000 行行对应方程组为12353454531220 (1)31xxxxxxxxx 291325345451322 (2)13xxxxxxxxx 令2255, xkxk，则由(2) 可唯一地确定134,xxx ， 125354517, 24, 13 (3)xkkxkxk 1252235455517, , 24, 13, xkkxkxkxkxk 由于满足(2), 故也满足(

14、1), 即它们构成原方程组的解。3025, kk因为 可任意取值，故由（3）式可知原方程组有无穷多个解。25,xx 因 的值是任意取定的，故称之为自由未知数。一般解为1253545172413xxxxxxx 31例例 解方程组解方程组 1235123451234412344302224033440440 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解1110311103221240012233145000001114100000A32对应方程组为123534530220 xxxxxxx 245,xxx 选 为自由未知数，则有1325345322 xxxxxxx 解得解得1245345222 xx

15、xxxxx 33问题：问题：（1）自由未知量的选法是否唯一？）自由未知量的选法是否唯一？（2）自由未知量是否可以随意选取？）自由未知量是否可以随意选取？（1）取）取 为自由未知量，则有为自由未知量，则有 124,x xx3512354322 xxxxxxx 解之得解之得31245124226 2xxxxxxxx 3412351234512345123453022230 33430430 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1110311103221230012333143000001114300000A考虑如下问题考虑如下问题35对应方程组为123534530230 xxxxxxx 124

16、,x xx 选 为自由未知数，则有3512354332 xxxxxxx 解不唯一。解不唯一。自由未知量是不能随便取的！自由未知量是不能随便取的！36阶梯形矩阵中各 非零行的第一个非零元，称之为主元阶梯形方程组中主元对应的未知数称为主元未知数11103001220000000000 123534530220 xxxxxxx 注注:（1）通常总是取非主元未知数为自由未知）通常总是取非主元未知数为自由未知数数 (系数不是阶梯形矩阵主元的未知数系数不是阶梯形矩阵主元的未知数)； （2）阶梯形方程组不含）阶梯形方程组不含“0=0”的方程。的方程。 （3）对齐次方程组消元时，只需对系数）对齐次方程组消元时

17、，只需对系数矩阵进矩阵进 行初等行变换行初等行变换37对于一般的线性方程组解的判定及求法对于一般的线性方程组解的判定及求法.首先,把方程组(1.1.1)的增广矩阵111211111211 2122222122221212n nn nmmm nmmmm nmaaabaaabaaabaaabA Aaaabaaab轾犏犏犏犏=犏犏犏犏臌L LL LMMMMMMMML L用初等行变换化为阶梯形矩阵 B B381112111222221000000000000000000rnrnrrrnrrbbbbdbbbdbbdBd 其中主元均不为零,然后写出B 对应的阶梯对应的阶梯形方程组。形方程组。3911112

18、211122222210rrnnrrnnrrrrnnrrb xb xb xb xdb xb xbxdb xb xdd (1.1.4)情况情况1 1：10rd 此时，此时，10rd 是矛盾方程，方程组无解。结论结论40情况情况2 2：10rd 且 r = n.此时，方程组可表示为111122111222222rrnnrrnnnnnnb xb xb xb xdb xb xbxdbxd 方程组有唯一解。41情况情况3 3：01rd且 r n.此时，方程组可表示为11112211111122222211211rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrnnb xb xb xdbxb xb xb xdbxb

19、xb xdbxb x 方程组有无穷多个解。42线性方程组解的存在性与唯一性线性方程组解的存在性与唯一性: :定理定理: : 把方程组化为同解的阶梯形方程组把方程组化为同解的阶梯形方程组: : (1) (1)若方程组含矛盾方程若方程组含矛盾方程, ,则方程组无解则方程组无解; ; (2) (2)若方程组不含矛盾方程若方程组不含矛盾方程, ,则方程组有解则方程组有解. .此此时时, ,若若 r=n, r=n,则方程组有唯一解；若则方程组有唯一解；若 rn, rn, 则方程则方程组有无穷多个解。组有无穷多个解。 推论推论 若齐次线性方程组中方程的个数少于若齐次线性方程组中方程的个数少于未知数的个数，

20、则其必有非零解。未知数的个数，则其必有非零解。43例例1.2.4 1.2.4 设有线性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有无穷多个解有无穷多个解有解有解取何值时取何值时问问 解解 21111111 B21111111 作初等行变换，作初等行变换，对增广矩阵对增广矩阵),(bAB 交换交换1，3行行442222110110111 22112100111011 R1(1)+ R2R1 ( )+ R222223110110021 R2 (1) R345 ,11时时当当 111100000000B 阶阶梯梯数数方方程程组组有有无无穷穷多多解解3,.其通解为其通解为 3

21、3223211xxxxxxx .,32为为任任意意实实数数xx46 ,12时时当当 22110110021B 这时又分两种情形：这时又分两种情形：时阶梯数为方程组有唯一解时阶梯数为方程组有唯一解12 3),: .21,21,212321 xxx 22110111001211 47最最后后方方程程为为故故方方程程组组无无解解 03 ,.,2)2时时 112403360003B 48例例1.2.5 某大学数学系组织全校三年级学生某大学数学系组织全校三年级学生进行数学建模比赛，比赛以组为单位进行。进行数学建模比赛，比赛以组为单位进行。在分组过程中发现，若在分组过程中发现，若3个人一组，最后剩个人一组

22、，最后剩余余2人，若人，若5人一组，则最后余人一组，则最后余3人；若人；若7人人一组，最后也余一组，最后也余2人。已知全校三年级学生人。已知全校三年级学生人数在人数在800到到1000之间。问全校三年级学生之间。问全校三年级学生有多少人？有多少人？解解:设全校三年级学生人数为设全校三年级学生人数为 ，按三人一，按三人一组可分组可分 组，按组，按5人一组可分人一组可分 组，按组，按7人一人一组可分为组可分为 组，这里组，这里 中均未记剩余人员。中均未记剩余人员。根据已知条件可得根据已知条件可得 4 4x x1 1x x2 2x x3 3x x1 12 23 3, , ,x xx xx x49由此

23、可得一般解为由此可得一般解为141424243434323253537272xxxxxxxxxxxx-=-=-=- (1 14 42 24 44 43 34 42 21 13 33 33 31 15 55 52 21 17 77 7x xx xx xx xx xx xx x= -+ = -+= -+ 是自由未知量）50因在此问题中，所涉及的数都是正整数，因在此问题中，所涉及的数都是正整数， 故我们只需讨论上述方程组的正整数解。为故我们只需讨论上述方程组的正整数解。为 此，对解的表达式进行变形此，对解的表达式进行变形.2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 293, 8

24、, 13, 18, 23, 28, 339, 16, 23, 30, 37 (1 14 42 24 44 43 34 42 21 13 33 33 31 15 55 52 21 17 77 7x xx xx xx xx xx xx x= -+ = -+= -+ 是自由未知量）105是是 3，5，7的最小公倍数的最小公倍数511 12 23 34 47 73 35 54 42 21 13 31 15 52 23 31 10 05 5x xk kx xk kx xk kx xk k=+=+=+=+ 4 42 23 31 10 05 5 , ,x xk k=+取取 这里这里k可任意取值，可任意取值，

25、则方程的一般解可改写为则方程的一般解可改写为52我们只需讨论我们只需讨论 取非负整数的情况即可。取非负整数的情况即可。由已知由已知 即即可得可得 此时此时 于是全校三年级学生人于是全校三年级学生人数为数为863或或968。k k4 48 80 00 01 10 00 00 0, ,x x800231051000800231051000k k+7 77 77 71 10 05 59 97 77 7. .k k8 89 9. .k kk k= 或53 Gauss消元法是把增广矩阵化为阶梯形矩阵消元法是把增广矩阵化为阶梯形矩阵,我们希望我们希望:零元素更多零元素更多, 非零元素尽可能是非零元素尽可能

26、是1. 矩阵的初等行变换可把阶梯形矩阵化为更简单的形式，例如5412110071001042000131000000RRB 23( 2)111031001042000131000000RR 111031001220 000131000000B阶梯形矩阵 有如下特点：主元为1并且主元所在列的其它元素全为零。 称这样的阶梯形矩阵为行简化阶梯形矩阵或 标准阶梯形矩阵。55 1253545714231xxxxxxx由此立得其一般解 则其形式为 假设某一四元线性方程组以B为其增广矩阵，1253525457142(, )31是自由未知xxxxxxxxx 56增广矩阵阶梯形矩阵阶梯形方程组回代解增广矩阵行简

27、化阶梯形矩阵阶梯形方程组回代解定理定理 任一矩阵均可通过有限次初等行变换化为行任一矩阵均可通过有限次初等行变换化为行简化阶梯形矩阵。简化阶梯形矩阵。 据矩阵不仅可用于处理线性方程组，据矩阵不仅可用于处理线性方程组，而且还广泛用于刻画许多实际问题。在处而且还广泛用于刻画许多实际问题。在处理实际问题的过程中，人们经常遇到一堆理实际问题的过程中，人们经常遇到一堆一堆的数。此时人们不仅要考虑如何表示一堆的数。此时人们不仅要考虑如何表示这些数堆，而且还要考虑一堆数与另一堆这些数堆，而且还要考虑一堆数与另一堆数间的关系数间的关系. . 1.2 矩阵的基本运算 例1.2.1 某电视机厂生产三种型号的彩电TC

28、-1、TC-2、TC-3，它们的主要零部件是:S1(显像管)、S2(电路板)、S3(扬声器)、S4(机壳)，而这些零部件的主要原材料为：M1(铜)、M2(玻璃)、M3(塑料)。生产不同型号的彩电所需零部件的数量以及生产不同的零部件所需原材料的数量在表1.2.1和表1.2.2中给出. 表1.2.1 彩电与零部件 数数 型型 量量 号号部件部件TC-1TC-2TC-3 S11 11 S2345 S3346 S4111S1(S1(显像管显像管) )、S2(S2(电路板电路板) )、S3(S3(扬声器扬声器) )、S4(S4(机壳机壳) ) 表表1.2.2 零部件与原材料零部件与原材料 数数 部部 量

29、量 件件材料材料S1S2S3S4M12440M214004M312110M1(M1(铜铜) )、M2(M2(玻璃玻璃) )、M3(M3(塑料塑料) )。S1(S1(显像管显像管) )、S2(S2(电路板电路板) )、S3(S3(扬声器扬声器) )、S4(S4(机壳机壳) )例例1.2.2 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了四城市之间开辟了若干航线若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图如图所示表示了四城市间的航班图,如如果从果从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表

30、示:发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:ABCD1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况.表1.2.1与表1.2.2 可简记为1112440345, 1400424612110111SM0110101010010100A 航空航空 满足条件(1)的矩阵称为同型矩阵. 但是,同型不一定相等 (1) m = p (1) m = p且且 n = q n = q，则称 A与B 相等，记为 A=B。(2) (2) 其中其中 ijijba

31、njmi, 2 , 1;, 2 , 1 定义定义1.1.2 1.1.2 设设 是两个矩阵，若它们满足是两个矩阵，若它们满足qpnmBA ,例如例如1214356843739与与为同型矩阵.例如例如1362222222i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.注注:(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵, ,此时此时 m = 1 m = 112,nAa aa 称为行矩阵(或行向量).(1)行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶方nnA.nA阵阵. .也可记作也可记作 称称11221122, , ,nnnna aaa aaL L为A的主对角元.12,naaBa 只有一列的矩阵此时 n = 1称为列矩阵(或列

32、向量). 例例1.2.3 1.2.3 某县有三个乡镇某县有三个乡镇, ,县里决定建立一个县里决定建立一个有线电视网有线电视网. . 通过勘察测算,获得一组有关建设费用的预算数据. 1. 1. 线性运算线性运算1c2c3c12233.51.5我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用05 . 1232015 . 3210235 . 320321cccoo o1c2c3cTVp 进一步假设，在架设有线电视网时，对原有供电线路进行增容改造。假设已知供电线路的增容费用如图. 121c2c3c101214 1510问如何计算总的建设费用？供电线路的增容费用的矩阵表示010121412010151210012

33、1415120321cccoo o1c2c3cTEpTVTEPP 与与对应元素相加,得到一个新矩阵00105 . 1122143105 . 100101155 . 312210100122143155 . 312200P05 . 1232015 . 3210235 . 320321cccoo1c2c3cTVp在本例中,我们把同型矩阵TETVPP 与相加得到矩阵P.TETVPP 与进行了加法运算,其和矩阵为P,记为TETVPPP 05 .1114175 .110115 .181411014175 .18140P 即为总的建设即为总的建设预预 算算 数数 据据 矩矩 阵阵是两个 mn 矩阵，令定义

34、定义1.2.2 1.2.2 设设 A= A= ijm na 与 B= ijm nb ijijijcab 其 中 i = 1 ， 2 ， , m ； j =1,2,n。称 mn矩阵C= ijm nc 为A与B的和,记为C=A+B。类似的，我们可以规定 A 与 B 的差 A-B 为AB= ijijm nab 说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时只有当两个矩阵是同型矩阵时, , 才能进行加法才能进行加法运算运算. .当 A=B 时，A+B =A+A。习惯上把 A+A 记为2A，为此又引入： 是mn矩阵，k是数，令 nmija定义定义1.2.3 1.2.3 设设A= A= ijijkab 其 中 i

35、= 1 , 2 , , m ； j =1,2,n。称mn矩阵B= nmijb 为数为数k k与矩阵与矩阵 A A 的数量的数量积积, ,记为记为B =k AB =k A。 称()A为 A 的负矩阵,记为 A 。注注: : ,( 1)ijijm nm nAaAa 设则 。例如，例如，43214321显然，A-B=A(-B)，（k）AkA, 注意注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.设A是m n矩阵，则 0A 是全部元素均为0的m n 矩阵。称全部元素均为零的矩阵为零矩阵，记为nm0或。或。 123 22410ABB解解1.2.5 123246, 410820 2.ABAB 例例设设计计算算 2462

36、460000820820000 2 12223 242( 1)20B注注: :此处此处 A,B A,B 均为同型矩阵均为同型矩阵( ( 1 1) ) ( (2 2) ) ( () )( () )( (3 3) ) 0 0 ( (4 4) ) ( () )0 0 ( ( 5 5) ) 1 1 ( (6 6) ) ( ( ) )( ( ) )( (7 7) ) ( () ) ( (8 8) ) ( () )A AB BB BA AA AB BC CA AB BC CA AA AA AA AA AA Ak kl lA Ak k l l A Ak kl lA Ak kA Al l A Ak k A A

37、B Bk kA Ak kB B+ += =+ + + += =+ + + += =+ + - -= = = =+ += =+ + += =+ +交换结合分配.1.8 23, 120121 ,110110.ABACACB 例例 1 1已已 知知其其 中中求求 23 2321201( 2) 21110110ABA CBAA CA C 解解由由得得240142110210 213352所以512251333322212112B 2. 2. 乘法乘法例例1.2.7 1.2.7 在平面解析几何中，直角坐标系可进行在平面解析几何中，直角坐标系可进行转轴变换转轴变换. .已知平面直角坐标系已知平面直角坐标系

38、 Oxy Oxy，把它逆时，把它逆时针绕原点针绕原点OO旋转旋转 角，得到另一直角坐标角，得到另一直角坐标系系 ，q qyOx P cos x sin y cos y sin x 设点 P 在 中的坐标为 ，在中坐标为 ，(x,y)和(x,y)的关系 O x yO x y( , )( , )xyxy( , )( , )x yx yO xyO xy P cos x sin y cos y sin x c co os s s si i n n: : s si i n n c co os sx xx xy yy yx xy yq qq qq qs sq qq q=-=+相应的坐标变换公式为1 11

39、11 12 22 21 12 22 2c co os ss si i n ns si i n nc co os sa aa aA Aa aa aq qq qq qq q-骣骣=桫桫为 的系数矩阵。q qs s称显然转轴公式被其系数矩阵唯一决定。 c co os s s si i n n: : s si i n n c co os sx xx xy yy yx xy yj jj jj js sj jj j=-=+对坐标系 绕原点O再逆时针旋转角 ，得又一坐标系 ，相应的坐标变换公式为q qO O x x y yO O x x y y 1 11 11 12 22 21 12 22 2c co os

40、 ss si i n ns si i n nc co os sb bb bB Bb bb bj jj jj jj j-骣骣鼢珑鼢=珑鼢珑鼢鼢珑桫桫称j js s为 的系数矩阵。j js s , , x xy y , , x xy y把 变换为 ， 连续施行 ， ，可把 变换为 ，对 应变换记为 ， (代入整理可得) q qs sj js s, ,x x y y , , x xy ys s1 11 1 1 11 11 12 2 2 21 11 11 1 1 12 21 12 2 2 22 22 21 1 1 11 12 22 2 2 21 12 21 1 1 12 22 22 2 2 22 2(

41、 () ) ( () ) : :( () ) ( () ) x xa a b ba a b bx xa a b ba a b by yy ya a b ba a b bx xa a b ba a b by ys s=+ =+1 11 1 1 11 11 12 2 2 21 11 11 1 1 12 21 12 2 2 22 21 11 11 12 22 21 12 22 22 21 1 1 11 12 22 2 2 21 12 21 1 1 12 22 22 2 2 22 2a a b ba a b ba a b ba a b bc cc cC Cc cc ca a b ba a b ba a

42、 b ba a b b+骣骣=+桫桫的系数矩阵为 1 11 11 12 21 11 11 12 21 11 11 12 22 21 12 22 22 21 12 22 22 21 12 22 2b bb ba aa ac cc ca aa ac cc cb bb b骣骣骣鼢珑=鼢珑鼢珑桫桫桫在解析几何及代数学中，称变换 为 变换 与 的乘积，记为 。自然把 的矩阵 C 也记为 C=AB ，即q qs sj js ss sq qj js ss s s s=s s称 为 与 的乘积。 C CA AB B1 11 11 11 11 12 21 11 12 21 11 11 11 11 1 1 11

43、11 12 2 2 21 11 12 21 11 11 12 21 12 22 22 21 12 21 11 1 1 12 21 12 2 2 22 2b ba aa ac cb bc ca a b ba a b bb ba aa ac cb bc ca a b ba a b b*骣骣骣=* *桫 桫桫=+*骣骣骣=* * *桫 桫桫=+规律:1 11 12 21 12 22 22 21 12 21 1b ba aa ac cb b*骣骣骣鼢珑=鼢珑*鼢珑*桫桫桫2 21 12 21 11 11 12 22 22 21 1c ca ab ba ab b=+1 12 22 21 12 22 22

44、 22 22 22 2b ba aa ac cb b*骣骣骣鼢珑=鼢珑*鼢珑*桫桫桫2 22 22 21 11 12 22 22 22 22 2c ca a b ba ab b=+定义定义1.1.5 1.1.5 设设 ， 令令称矩阵称矩阵 为矩阵为矩阵 与与 矩 阵 的 乘 积 ， 记矩 阵 的 乘 积 ， 记为为 。( () ), ,( () )i ij j m mp pi ij j p p n nA Aa aB Bb b创= 1 1 1 12 2 2 21 1, ,2 2, , , ,; ;1 1, ,2 2, , , ,i ij ji ij ji ij ji ip pp pj jc ca

45、 a b ba a b ba a b bi im mj jn n=+=L LL LL L( () )i ij j m mn nC Cc c=A AB BC CA A B B=方法如下：方法如下： 记为记为1 12 21 12 2j jj ji ii ii ip pi ij jp pj jb bb ba aa aa ac cb bM MM ML LL LL LL LM ML LM MM M骣骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢 =珑鼢 珑鼢珑鼢鼢珑鼢鼢珑珑桫桫 桫m mn nm mn nA AB BC C创=W WW W注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. 此外, 由于 A 的

46、第 i 行与 B 的各列运算可得到 AB 的第 i 行, 而A 有 m 行, 故 AB 应有 m 行. 同理可知 AB 的列数应与 B 的列数相等. 106861985123321例如例如不存在不存在.例例1 1. .2 2. .8 8 2 21 11 12 23 3( (1 1) ) 0 01 10 02 24 41 12 2骣-骣- 桫-桫1 1 2 22 2 0 03 3 ( ( 1 1) )1 1 ( ( 1 1) ) 2 2 1 13 3 2 20 0 2 2( ( 2 2) ) 0 04 4 ( ( 1 1) ) 0 0 ( ( 1 1) ) ( ( 2 2) ) 1 14 4 2

47、 21 1 7 74 4 6 6娲+ + 傣=+ -+ - -+ - +桫-骣= -桫() 1 11 12 22 21 12 2( (2 2) )4 43 3x xx xx xx x骣骣 桫桫()()1 11 12 21 12 22 21 12 21 11 12 22 24 42 23 3( (4 4) )( (2 23 3) )x xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx x骣=+桫=+2 22 21 12 21 1 2 23 36 6x xx xx x x x=+() 1 12 21 12 23 34 43 34 4( (3 3) )b bb ba aa aa aa

48、 ab bb b骣 桫1 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4a a b ba a b ba a b ba a b b=+() 1 12 21 12 23 34 43 34 4( (4 4) )b bb ba aa aa aa ab bb b骣 桫1 11 11 12 21 13 31 14 42 21 12 22 22 23 32 24 43 31 13 32 23 33 33 34 44 41 14 42 24 43 34 44 4b b a ab b a ab b a ab b a ab b a ab b a ab b a ab b a ab b a ab b a ab

49、b a ab b a ab b a ab b a ab b a ab b a a骣= 桫 1 11 11 12 24 44 40 03 34 45 5, ,1 14 40 00 04 42 24 46 61 12 21 1 1 10 01 11 11 1S SM M轾轾犏犏犏犏犏=犏犏犏犏犏犏犏臌犏臌 以以TC1TC1型彩电为例：型彩电为例：生 产 一 台生 产 一 台 T C 1T C 1 ， 需 零 部， 需 零 部件件 , ,分别分别为为1 1、3 3、2 2、1 1个，而生产一个个，而生产一个需原材料需原材料 M1 M1 分别为分别为 2, 4, 4, 0 2, 4, 4, 0个单位，

50、个单位，因此因此1 12 23 34 4, , , ,S SS SS SS S12341234,SSSSSSSS2 21 14 43 34 42 20 01 12 22 2+=恰为生产一台TC1所需原材料 M1 的数量。而上式又恰为 M 的第一行与 S 的第一列对应元素乘积之和，它也是M 与 S的积矩阵 中的(1,1)-元。如何导出彩电与原材料的直接联系呢？此例表明乘积的作用。此例表明乘积的作用。 恰为生产一台TC1所需原材料 M2 的数量。 1 14 41 10 03 30 02 24 41 11 18 8+=继续讨论可发现 M S 的（2，1）-元为对线性方程组（1.1.1）令1 11 1

51、1 11 11 12 21 12 22 22 21 11 12 22 21 12 2, , ,n nn nn nm mm mm mm m n nb bx xa aa aa ax xb bA Aa aa aa aX Xb bx xb ba aa aa a骣骣骣=琪桫麋桫桫L LL LM MM ML LL LL L A XbA Xb=则上述方程组可表为 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; ; 性质性质1.2.2 1.2.2 设设 A,B,C A,B,C是任意三个矩阵是任意三个矩阵, , 是任意数,则10010001001000100

52、1n nIIII骣= 桫L LL LLLLLLLLLL L 主对角元全为主对角元全为1 1而其他元素全为零而其他元素全为零的的n n阶方阵称为阶方阵称为n n阶单位矩阵，记为阶单位矩阵，记为 或或 , ,即即n nI II I设设 A是是mn矩阵，若矩阵，若m=n则称则称A是是n阶方阵，阶方阵，此时此时 称为称为A的主对角元。的主对角元。1122,nnaaa性质性质1.2.3 1.2.3 对任一对任一m mn n矩阵矩阵 nmA, ,均有均有 , ,mnnmnmmnmnmnnmnmmnmnAIAI AAAIAI AA创创=0 00 0, ,0 00 0. .m mn nn n q qm mq

53、qp p m mm mn np p n nA AA A创创创=定义定义1.2.5 1.2.5 设设A A是方阵，是方阵，k k是正整数，称是正整数，称k k个个A A的连的连乘积为乘积为A A的的k k次幂，记为次幂，记为 kA；规定；规定 0101, ,AI AAAI AA=称 1 11 11 10 0n nn nn nn na a A Aa aA Aa a A Aa a I I-+ 鬃 +为方阵A的多项式，这里 naaa,10 均为数。解 0010010010012A.002012222 .001001kAA求求设设 例 00100100201222223AAA 32323003033 由

54、此归纳出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 4 43 32 24 44 43 34 44 46 60 04 40 00 0A A 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2 k假设 时成立，则 时，nk 1 nk ,001001000211211 nnnnnnnnnnnnAAA所以对于任意的 都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA ,00102111111 nnnnnnnnnn 性质性质1.2.4 1.2.4 设设A A是方阵，是方阵，k, l k, l 是非负整数，是非负整数，f(x) f(x) 是是 x x 的一元多项式，则有的一元多项式，则有 （1 1） ,(),(

55、)klklklklklklklklA AAAAA AAAA （2 2） 若若 f(x) = g(x) f(x) = g(x) h(x), h(x), 则则f(A) = g(A) h(A)这里 g(x), h(x) 也是 x 的一元多项式，f(A) 表示若 1 11 11 10 0( ( ) )n nn nn nn nf f x xa a x xa ax xa a x xa a-=+ 鬃 +则1 11 11 10 0( ( ) )n nn nn nn nf f A Aa a A Aa aA Aa a A Aa a I I-=+ 鬃 +例例 设设 ，2 2( ( ) )2 23 39 9f f x

56、 xx xx x=-1 12 21 10 0A A-骣= 桫容易验证2 2102102( )239( )239111111f AAAIf AAAI骣=-= -桫( ( ) )( (2 23 3) )( (3 3) )f f x xx xx x=+-( ( ) )( (2 23 3 ) )( (3 3 ) )f f A AA AI IA AI I=+-则又证 令1 12 2( () )( () )n nn nn nA AI IA AI IA AA AA AI I-=-+ 鬃+ 1212( )1, ( )1.( )1, ( )1.nnnnh xxg xxxh xxg xxx-=-=+L L这里例1.2.12 设 A 是方阵，证明 =1212( )(1)(1)( )(1)(1)( ) ( )( ) ( )nnnnf xxxxf xxxxh x g xh x g x-=-+L L1 12 2( () )( () )n nn nn nA AI IA AI IA AA AA AI I-=-+ 鬃+根据性质1.1.4(2)可得 ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ), ,f f A Ah h