将军饮马问题

1、将军饮马问题将军饮马问题看图看图思考：思考：为什么有的人会经常践踏草地呢为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了绿地里本没有路，走的人多了 禁止践踏禁止践踏两点之间，线段最短两点之间，线段最短将军饮马问题：将军饮马问题： 两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：他请教一个百思不得其解的问题： 将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出

2、发，到城堡出发，到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？ 这就是被称为这就是被称为将军饮马将军饮马而广为流传的问题。而广为流传的问题。P两点之间线段最短两点之间线段最短. 根据：根据：BA两点在一条两点在一条直线两侧直线两侧例例1.1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？ 最短路线：最短路线：将军饮马：将军饮马：A -P- B.例例1 1变式变式1 1：已知美羊羊在：已知美羊羊在A A地玩耍，这时喜地玩耍，这时喜羊羊在小溪的对面羊羊在小溪的对面C C玩耍，并且玩耍，并

3、且ACAC两地是关两地是关于小溪的对称点，它俩在小溪的任意一点于小溪的对称点，它俩在小溪的任意一点E E处汇合，再一起回家的最短路线是什么？处汇合，再一起回家的最短路线是什么？ACBMN将军饮马：将军饮马： 例例2.2.如如图：一位图：一位将军骑马从将军骑马从城堡城堡A A到城堡到城堡B B， 途中途中马要到河边饮水一次马要到河边饮水一次， 问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？ AB河河两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次一次轴对称轴对称：BABC例例2作法作法：（1）作）作点点B关于关于直线直线 MN 的对称点的对称点 B（2）连结连结BA，交，交MN

4、于点于点 C； 点点C就是所求的点就是所求的点MN两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次一次轴对称轴对称： BC+AC BC +AC ，即即AC+BC最小最小NABCBC 直线直线MN是点是点B、B的的对称轴对称轴， 点点C、C在在对称轴上对称轴上，BC=BC，BC=BC 在在MN 上任取另一点上任取另一点C，连结连结BC、BC、 AC 、 BC 例例2证明证明：在在AB C中中，AB AC+B C， BC+AC = BC+AC = BAMBC +AC = BC +AC 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次一次轴对称轴对称：练习：已知：P、Q是ABC的边A

5、B、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使PQR的周长最短吗？两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次一次轴对称轴对称：RP草地草地河边河边.驻地驻地A例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？OMN( (三三) )二次轴对称二次轴对称：一点一点在两相交直线内部在两相交直线内部.AA.B.CA.MON例例3已知如图已知如图 和和 内内一点一点 ,M O NM O NA(2)AAOMBONC连结 和 ，交于 ，交于 。,B C则点为所求。( (三三) )二次轴对称二次轴对称：一点一点在两相交直线

6、内部在两相交直线内部求作求作:OM上一点上一点B, ON上一点上一点C, 使使AB+BC+AC最小最小作法作法（1）作点）作点A关于关于OM、 ON的对称点的对称点A、A”巩固练习1.在平面直角坐标系中有两点，要在y轴上找一点，使它到的A、B两点距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（）D2.如图，在等边ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD上的一个动点，E是边AC的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是（） A4 B5 C6 D8A3如图，正方形ABCD的边长为8，BCE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小

7、值为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10c例例3 3变式变式1 1：已知：已知P P是是ABCABC的边的边BCBC上的点上的点， 你能在你能在ABAB、ACAC上分别上分别确定一点确定一点Q Q和和R R， 使使PQRPQR的周长最的周长最短吗？短吗？( (三三) )二次轴对称二次轴对称：一点一点在两相交直线内部在两相交直线内部4.如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径PQCBQPQDP为最短路径DQD例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐

8、篷，请你帮助确定这一天的最短路线。（四）二次轴对称（四）二次轴对称： 两两点在两相交直线内部点在两相交直线内部例例4 4答案：如图答案：如图,A,A是马厩是马厩,B,B为帐篷为帐篷, ,牧马人某一天要从牧马人某一天要从马厩牵出马马厩牵出马, ,先到草地边某一处牧马先到草地边某一处牧马, ,再到河边饮马再到河边饮马, ,然后回到帐篷然后回到帐篷. .请你帮他确定这一天的最短路线请你帮他确定这一天的最短路线. .ABABCD（四）二次轴对称（四）二次轴对称： 两两点在两相交直线内部点在两相交直线内部.B. .C.DAB.AONM（四）二次轴对称（四）二次轴对称： 两两点在两相交直线内部点在两相交直

9、线内部例例4 4变式变式1 1：已知：已知： MONMON和和 MONMON内两点内两点A A、B B。 求作：点求作：点C C和点和点D,D,使得点使得点C C在在OMOM上，上， 点点D D在在ONON上，且上，且AC+CD+BD+ABAC+CD+BD+AB最短。最短。例例4变式变式2：如图，如图，OMCN是矩形的台球桌面，有是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称（四）二次轴对称： 两两点在两相交直线

10、内部点在两相交直线内部.,.AOMABONB作法:(1)作点 关于的对称点点 关于的对称点(2)ABOMCOND连结 和 ，交于 ，交于 。则点C、D为所求。.AABBCDMON例4变式2：（四）二次轴对称（四）二次轴对称： 两两点在两相交直线内部点在两相交直线内部（2）把）把A，B在直线同侧的问题在直线同侧的问题转化为转化为 在在直线的两侧直线的两侧，化折线为直线，化折线为直线， 将军饮马的实质：将军饮马的实质：（3）可利用）可利用“两点之间线段最短两点之间线段最短” 加以解决。加以解决。（1）求最短路线问题）求最短路线问题- 通过几何变换找对称图形。通过几何变换找对称图形。能力提高能力提高

11、5a1a4221.aaa的值.1.1.已知已知，求求 2.2.已知已知2222250,.32xzxyzyxyyzzx求的值22213.310,aaaa 已知：求的值。4 4. .已已知关于知关于x x的方程的方程x x2 2-2(k-1)x+k-2(k-1)x+k2 2=0=0有两个实数有两个实数根根x x1 1,x,x2 2. .(1)(1)求求k k的取值范围的取值范围. .(2)(2)若若|x|x1 1+x+x2 2|=x|=x1 1x x2 2-1,-1,求求k k的值的值. .解解: :( (1)1)依题意：依题意：b b2 2-4ac=4(k-1)-4ac=4(k-1)2 2-4k-4k2 20,0,解得：解得：k .k .(2)(2)依题意：依题意：|2(k-1)|=k|2(k-1)|=k2 2-1,-1,故有：故有：2(k-1)=k2(k-