初三数学圆知识点总结

1、初三数学 圆知识点总结一、本章知识框架二、本章重点1 .圆的定义：线段OA绕着它的一个端点。旋转一周，另一个端点 A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2 .判定一个点P是否在。上.设。的半径为R,。之d,则有d>rO点P在。O外；d = rQ点P在。O上；d<rQ点P在。O内.3 .与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的

2、弧相等.90。的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角.弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.4 .圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过

3、圆心的任一直线都是它的对称轴.垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.(5)平行弦夹的弧相等.5 .三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“ I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外 心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角

4、形外心在三角形外部，三角形外 心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 。表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.6 .切线的判定、性质：切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和

5、圆心的连线平 分两条切线的夹角.7 .圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.8 .直线和圆的位置关系：设。O半径为R,点O到直线l的距离为d.(1)直线和圆没有公共点 O直线和圆相离Od>R直线和。O有唯一公共点Q直线l和。相切Q d= R直线l和。O有两个公共点O直线l和。O相交O d<R9 .圆和圆的位置关系：设01、00口的半径为r、r(R>r),圆心距OR?二d.(1) 0°i和O2没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆

6、的外部口外离d>R+ r.和没有公共点，且。0口的每一个点都在。0外部内含0d<Rr(3) 0°1和©02有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部e>0°r0O2外切 Qd=R+ r. Op 0。有唯一公共点，除这个点外，0 0二的每个点都在0 01内部Q0 °F 00口内切：d= R r.(5)6 有两个公共点 Q°F0O口相交QRr<d<R+r.10 .两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.11 .圆中有关计算

7、：圆的面积公式：S = nR2 ,周长C= 2TtR.i nuR圆心角为n°、半径为R的弧长18口 .="兀R， Lr圆心角为n° ,半径为R,弧长为l的扇形的面积 3602.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R,母线长为l的圆柱的体积为hR21 ,侧面积为2冗R1,全面积为2出+ 2曲.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R,母线长为l ,高为h的圆锥的侧面积为九Rl ,全面积为nRl +jiR?,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 R'+1?=P. 【经典例题精讲】例1如图23-2,已知AB为。直径，C为

8、血上一点，CD!AB于D, / OCD勺平分线CP交OOC图2* 28 中观察规于P,试/U断P点位置是否随C点位置改变而改变？上再取几分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在J个符合条件的点试一试，观察 P点位置的变化，然后从 律. 解：连2OP=>P点为轴中点.小结：此题运用垂径定理进行推断.例2下列命题正确的是（）A.相等的圆周角对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.三点确定一个圆D.平分弦的直径垂直于弦. 解：A不正确.A.在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以B.等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此 B正确 C.三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆.D.平分弦（不

9、是直径）的直径垂直于此弦. 故选B.D.例3 四边形ABC呐接于。O, / A ： / B ： / C= 1 ： 2分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等. 解：设/A= x, / B= 2x, /C= 3x,则/ D= / A+ / C / B= 2x. x + 2x+3x + 2x = 360 , x = 45 . / D- 90° .小结：此题可变形为：四边形 ABC。卜切于。O,周长为20,且AB： BC： CA 1 ： 2 ： 3,求AD 的长.例4为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上,23-4 所 测得PA线长性解决，

10、A 一的交点用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图 示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径.若 = 5cmi, 则铁环白半径是 cm 分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切 质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作 即过P点作直线OP! PA,再用三角板画一个顶点为 边为AR大小为60°的角，这个角的另一边与 OP 即为圆心0,再用三角函数知识求解.解：tanZPA0 = =>QP= PA tan60°= 5x73 = 5出cm PA小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型.例5已知0 °1与

11、69;5相交于A、B两点，001的半径是10, 05的半径是17,公共弦AB= 16,求两圆的圆心距. 解：分两种情况讨论：图 23-6若0广°：位于AB的两侧（如图23-8）,设°1°2与AB交于C,OR Q,A,则 02垂直平分 AB, AC_3AB.又 ; AB= 16 .AO 8.在RMCA中，叩=都"-6.在RtAO/A 中，OaC=Jo2A3-AC2=15.图 23-9若Op 位于AB的同侧（如图23-9）,设的延长线G连结。曲。足.; C°3垂直平分AB,ACAB2.又; AB= 16, .AO 8.在 RCA 中，0C = Jd

12、jA2 - AC2 = 6 .在RtAO,CA 中，5C=JoN-AC、15 故00L0n-0109.注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大 距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题.?三、相关定理：1 .相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被 这点所分成的两段的积相等）说明：几何语言：若弦AR CD交于点P,则PA PB=PC PD （相交弦定理）例1.已知P为。内一点，0P二主洛，。半径为6M ,过P任作弦AB,设NP=X, BF=y ,则关于X的函数关系式/一、为？ 。/ 0

13、 _ 62 -3'_ 27a f J解：由相交弦定理得二x ,即一刀，其中2 .切割线定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若 AB是直径，CD垂直AB于点P,则PCA2=PA PB例2.已知PT切。于T, PBA为割线，交 PB长。解：设TD=T, BPi ,由相交弦定理得：即3x4 = （£-1）？M=6,私二2 （舍）由切割线定理，PT2 3 4 5 ? AP BP?由勾股定 处?诉+加-:二 FF 匚？?.,.四、辅助线总结1 .圆中常见的辅助线1） .作半径，利用同圆或等圆的半径相等.OCT D, CT为直径

14、，若 OC=BD=4cmAD=3cm 求AD-DB = C.理，3+4厂三W-TD11) .遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线.12) .遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.13) .求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角 边.2、圆中较特殊的辅助线1) .过圆外一点或圆上一点作圆的切线.2) .将割线、相交弦补充完整.3) .作辅助圆.例1如图23-10, AB是。的直径，弦CD1AB,垂足为E, 10, C58,那么AE的长为()A. 2B. 3C. 4D. 5分析：连结OC由AB是。的直径，弦CDLAB知CAx,则在 RtACEOt, OC2

15、 = OE2 + CE2 ,即 5、(5-k)，41 则 = 2,蚂=8(舍去). 答案：A.例2如图23-11 , CA为。的切线，切点为 A,点B在。O /CA比550 ,那么/ AO巡于()A. 35°B. 90°C. 110°D, 120°分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道/ BAC= 2X55° =110° .答案：C.例3如果圆柱的底面半径为4cm,母线长为5cm,那么侧面 ()A. 20ncm2 b . 4口兀。序 c . 20cm2 d . 40cm2分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱

16、的高，即圆柱的母线长；另一 边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即 2nx4x5=40n(cma).答案：b.?例4如图23-12,在半径为4的。O中，AB CD两条E 直径，M为OB的中点，延长 C业。于E,且EM>M,C连结OE DE ,DE =后.求：EM的长.简析：(1)由DC是。的直径，知DE! EC,于是EC = JdC' - DE2 =7 .设 E阵x,则 AM MB= x(7 -x), 图 2372 即X-7x+12 = 0 .所以 xl = i 町=4 而 EM>M,C即 EM= 4.?例5如图23-13, AB是。的直径，P

17、B切。O于点B, PA交。于点C, PF分别交AB BC 于E、D,交。0于5、G,且BE、BD恰好是关于x的方程?-6x + (n?+4m +=口(其中m 为实数)的两根.(1)求证：B已BD若GE，EF=6而，求/A的度数.简析：(1)由BE BD是关于x的方程x3-6x + (m?+4m + 13)=。的两根，得A =(一铲-4(m'+4m + 13)=-4(m+2)”口，则 m以，原方程为/-改+9 = 口 .得 应=瓦=3 .故B已BD.由相交弦定理，得AE-BE=GE.FE=6"，即AE2后.而PB切。于点B, AB为。的直径，得/ ABP= /AC氏 90° .又易证 / BP氏 /APE 所以 PBM APAE PDCzXBD PD DC PD BD DC .厂 3出PEB则标-正，应一m，所以标-而，所以 一丁 .在RtACEfr,3J3.BC 3 + 忑sm A = =、 = _AB 3+ 273 T,故/A= 602） .作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系3） .作半径和弦心距