第2节万有引力定律的应用

1、一、天体质量和密度的计算1基本思路：行星绕太阳、卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力是它们间的_提供测量出环绕_和环绕半径r. 公式：G m2r_，可得中心天体的质量M_. 万有引力 周期T42r3/GT22计算天体的质量下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：(1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mgGM地mR2，解得地球质量为R2gG. 地M(2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动注意区分天体半径注意区分天体半径R R和轨道半径和轨道半径r r二、发现未知天体1被人们称为“笔尖下发现的行星”被命名为_2海王星的发现和_的“按时

2、回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈海王星哈雷彗星(双选)下列说法正确的是()A海王星是人们依据万有引力定律计算出其轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算出其轨道而发现的C天王星运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外的其他行星的万有引力作用D以上均不正确AC提出猜测：天王星是受到附近某个未知天体的吸引而偏离。提出猜测：天王星是受到附近某个未知天体的吸引而偏离。观察验证观察验证:1846:1846年年9 9月月2323日柏林天文台，发现海王星。日柏林天文台，发现海王星。 理论计算：英国亚当斯、法国勒维烈，计算出新星的位置。理论计算：英国亚

3、当斯、法国勒维烈，计算出新星的位置。用同样的方法，在用同样的方法，在19301930年年2 2月月1818日，美国天文学家汤苞发日，美国天文学家汤苞发现了现了冥王星。冥王星。发现问题：在发现问题：在1818世纪发现的第七个行星世纪发现的第七个行星天王星的运动轨天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的轨道有一定偏离。道，总是同根据万有引力定律计算出来的轨道有一定偏离。 (1)现象现象问题的发现问题的发现 天文学家在用牛顿的引力理论分析天王星运天文学家在用牛顿的引力理论分析天王星运动时，发现单用太阳和其他行星对它的引力作用，动时，发现单用太阳和其他行星对它的引力作用，并不能圆满地作出解释

4、并不能圆满地作出解释 用万有引力定律计算出来的天王星的轨道与用万有引力定律计算出来的天王星的轨道与实际观测到的结果不相符，发生了偏离实际观测到的结果不相符，发生了偏离 (2)两种观点两种观点猜想与假设猜想与假设 一是万有引力定律不准确；一是万有引力定律不准确； 二是万有引力定律没有问题，只是天王星轨二是万有引力定律没有问题，只是天王星轨道外有未知的行星吸引天王星，使其轨道发生偏道外有未知的行星吸引天王星，使其轨道发生偏离离 (3)亚当斯和勒维耶的计算及预言亚当斯和勒维耶的计算及预言科学推科学推理理. 亚当斯和勒维耶相信未知行星的存在，根据亚当斯和勒维耶相信未知行星的存在，根据天王星的观测资料，

5、各自独立地利用万有引力定天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗律计算出这颗“新新”行星的轨道行星的轨道 (4)伽勒的发现伽勒的发现实践检验实践检验 1846年，德国科学家伽勒在勒维耶预言的位年，德国科学家伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星，和预言的位置只差置附近发现了海王星，和预言的位置只差1度度 1930年，汤姆根据洛韦尔对海王星轨道异常年，汤姆根据洛韦尔对海王星轨道异常的分析，发现了冥王星的分析，发现了冥王星 海王星、冥王星的发现，进一步地证明了万海王星、冥王星的发现，进一步地证明了万有引力定律的正确性。有引力定律的正确性。 万有引力对研究天体运动有着重要的意义。海王星

6、、万有引力对研究天体运动有着重要的意义。海王星、冥王星就是根据万有引力定律发现的。在冥王星就是根据万有引力定律发现的。在18世纪发现的世纪发现的第七个行星第七个行星天王星的运动轨道，总是同根据万有引天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的有一定偏离。当时有人预测，肯定在力定律计算出来的有一定偏离。当时有人预测，肯定在其轨道外还有一颗未发现的新星。后来，亚当斯和勒维其轨道外还有一颗未发现的新星。后来，亚当斯和勒维列在预言位置的附近找到了这颗新星列在预言位置的附近找到了这颗新星(海王星海王星)。后来，。后来，科学家利用这一原理还发现了科学家利用这一原理还发现了冥王星，由此可见，冥王星，由

7、此可见，万有引力定律在天文学上的应用，有极为重要的意义。万有引力定律在天文学上的应用，有极为重要的意义。 2006年8月24日上午国际天文学联合会大会投票决定不再将传统九大行星之一的冥王星视为行星，而将其列入“矮行星”。大会通过的决议规定将行星定义范围限制在太阳系之内。规定“行星”指的是围绕太阳运转、自身引力足以克服其刚体力而使天体呈圆球状、并且能够清除其轨道附近其他物体的天体。这些天体包括水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星，它们都是在1900年以前被发现的。而同样具有足够质量、呈圆球形，但不能清除其轨道附近其他物体的天体称为“矮行星”，冥王星所处的轨道在海王星之外，属于太阳系

8、外围的柯伊伯带，这个区域一直是太阳系小行星和彗星诞生的地方。冥王星由于其轨道与海王星的轨道相交，不符合新的行星定义，因此被自动降级为“矮行星” .中星中星6号号 中星中星6号卫星号卫星(ChinaSat-6)是通信广播卫星，采用东是通信广播卫星，采用东方红方红3号平台，由中国空间技术研究院自行研制生产，号平台，由中国空间技术研究院自行研制生产，于于1997年年5月月12日由长征日由长征3号甲运载火箭在西昌卫星发射号甲运载火箭在西昌卫星发射中心发射成功并定点于东经中心发射成功并定点于东经125度地球同步轨道。星上度地球同步轨道。星上拥有拥有24个个C频段转发器。波束覆盖中国全境，主服务区频段转发

9、器。波束覆盖中国全境，主服务区覆盖中国大陆及台湾和海南岛，第二服务区覆盖东沙、覆盖中国大陆及台湾和海南岛，第二服务区覆盖东沙、中沙、西沙等岛屿。中沙、西沙等岛屿。 中星中星6号卫星现为邮电干线通信、专用卫星通信、号卫星现为邮电干线通信、专用卫星通信、临时电视节目、全国无线寻呼、会议电视、数据广播等临时电视节目、全国无线寻呼、会议电视、数据广播等提供传输服务。提供传输服务。 万有引力定律应用万有引力定律应用三、人造卫星1牛顿的设想：如图所示，当_足够大时，物体将会围绕_旋转而不再落回地面，成为一颗绕地球转动的_水平抛出物体的速度地球卫星万有引力m2r人造地球卫星的设想图人造地球卫星的设想图Mai

10、n Ideav平抛平抛洲际洲际导弹导弹人造人造卫星卫星增大增大思考思考第一宇宙速度（环绕速度）第一宇宙速度（环绕速度）卫星做圆周运动的向心力由万卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，万有引力近似等有引力提供，万有引力近似等于重力于重力mgmg，卫星运行半径近似，卫星运行半径近似看作地球半径，根据牛顿第二看作地球半径，根据牛顿第二定律得定律得: :mg=GMm/Rmg=GMm/R2 2=mv=mv2 2/R/R616.37 109.87.9km/svgR最小的近地发射速度最小的近地发射速度, ,近地发射时近地发射时速度等于这个速度卫星，刚好能速度等于这个速度卫星，刚好能在在地球表面附近地球表面附

11、近作匀速圆周运动作匀速圆周运动v1=7.9km/sMain Idea1124266.67 105.98 107.9km/s6.4 10GMvRv7.9km/s第一宇宙速度是最小发射速度第一宇宙速度是最小发射速度Main Ideav v2 2= 11.2km/s= 11.2km/s第二宇宙速度（脱离速度）第二宇宙速度（脱离速度）11.2km/sv16.7km/s11.2km/sv v v1 1v v4 4 v v3 3v v1 1 v v4 4v v2 2 v v1 1 v v4 4 v v3 3A AB B比较下列速度大小比较下列速度大小 六、同步通讯卫星六、同步通讯卫星 2 2、同步卫星的轨

12、道如何确定、同步卫星的轨道如何确定? ?1 1、地球同步卫星相对于地面、地球同步卫星相对于地面静静止止，周期周期与地球相同。与地球相同。同步卫星必须位于同步卫星必须位于赤道平面赤道平面上空。上空。F F向向= F= F引引GmM/rGmM/r2 2=mr4=mr42 2/T/T2 2F F向向F F2 2F F引引h hr rR R2324GMTrRh27323.58 10/4GMThRm s同步卫星离地面高度同步卫星离地面高度3600036000公里公里3 3、同步卫星的个数：、同步卫星的个数：大约大约3 3度角左右才能放置一颗卫星，地球的同步通讯卫星度角左右才能放置一颗卫星，地球的同步通讯

13、卫星只能有只能有120120颗。可见，空间位置也是一种资源。颗。可见，空间位置也是一种资源。地球同步卫星(1)周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，T24 h.(2)轨道是确定的，地球同步卫星的运行轨道在赤道平面内(3)在赤道上空距地面高度有确定的值由万有引力提供向心力得注意事项d：区别赤道上随地球自转的物体、近地卫星与同步卫星： g mR2MmGR2) T 2m(R2m MGR2) T 2( mR2m MGR2) T 2( m半径R周期T向心力F关系式备注赤道上物体即为地球半径与地球自转周期相同，即24h24h此处的万有引力与重力之差在赤道上与地球保持相对静止近地卫星即为地球半径可求得T=

14、85min此处的万有引力离地高度近似为0，与地面有相对运动同步卫星可求得距地面高度h36000km，约为地球半径的5.6倍与地球自周期相同，即24h此处的万有引力轨道面与赤道面重合，在赤道上空，与地面保持相对静止卫星的超重与失重卫星的超重与失重Main IdeaMain IdeaMain IdeaMain Idea我国的卫星事业我国的卫星事业 卫星的应用卫星的应用 例例1:1:有两颗人造地球卫星质量之比有两颗人造地球卫星质量之比m m1 1mm2 2=12,=12,它们运它们运行线速度之比行线速度之比v v1 1vv2 2=12=12，则不正确的是则不正确的是( )( )A.A.向心力之比向心

15、力之比F F1 1FF2 2=132=132B.B.向心加速度之比向心加速度之比a a1 1aa2 2=161=161C.C.轨道半径之比轨道半径之比r r1 1rr2 2=41=41D.D.周期之比周期之比T T1 1TT2 2=81=81B2rMmGrvm2marm222mrT2GMar3GMrGMrT32GMvr例例1:1:在圆轨道上运动的质量为在圆轨道上运动的质量为m m的人造卫星，它到地面的距离的人造卫星，它到地面的距离等于地球半径等于地球半径R R，地面上的重力加速度为，地面上的重力加速度为g g，则，则( )( )A A卫星运动的速度为卫星运动的速度为 B B卫星运动的周期为卫星

16、运动的周期为C C卫星的加速度为卫星的加速度为g/2 Dg/2 D卫星的动能为卫星的动能为mgR/4mgR/42Rg24gR2rMmGrvm2ma22mrT2GMar32rTGMGMvrmg=GMm/Rmg=GMm/R2 2GM=gRGM=gR2 2r=R+h=2Rr=R+h=2R22gRR3282RgR22(2 )gRR22()varr211222KgREmvmBD自转自转1 1近地近地2 2同步同步3 3月球月球4 4自转自转近地近地同步同步月球月球T T1 1=1=1天天T T2 2=85=85分分T T3 3=1=1天天T T4 4=1=1月月r r1 1=R=Rr r2 2=R=Rr

17、 r3 37R7Rr r4 4=60R=60R比较下列比较下列4 4颗卫星运动物理量颗卫星运动物理量(r(r、T T、v v、a)a)大小大小自转自转近地近地同步同步月球月球v v3 3=3.1km/s=3.1km/sv v2 2=7.9km/s=7.9km/s1133vrvr4224vrvra=a=GM/rGM/r2 21133arar例例1:1:一颗人造地球卫星距地面的高度为一颗人造地球卫星距地面的高度为h,h,设地球半径为设地球半径为R R，卫星运动周期为卫星运动周期为T T，地球表面处的重力加速度为，地球表面处的重力加速度为g,g,则该同步，则该同步，卫星的线速度的大小应该为卫星的线速

18、度的大小应该为( ) ( ) BCBCA A B 2(h+R)/T B 2(h+R)/T C C D D ()g hR)/(2RhgRgR例例2 :2 :用用m m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h h表示它表示它离开地面的高度，离开地面的高度，R R表示地球的半径，表示地球的半径，g g表示地面处的重力加表示地面处的重力加速度，速度，表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为它的万有引力的大小为( )( )BC2232AB CRDmg()mR gmgRh4零GMm/rGMm/r2 2=m

19、r=mr2 2(GM=gR(GM=gR2 2) )32223/rGMgR22222433/FmrmgRm gRF=GMm/rF=GMm/r2 2=mgR=mgR2 2/(R+h)/(R+h)2 2 解：设解：设“光子光子”的质量为的质量为m m，由于光不能从太阳射出，由于光不能从太阳射出, , 设设“光子光子”恰好绕太阳恰好绕太阳( (黑洞黑洞) )作近地匀速圆周运动作近地匀速圆周运动, ,向心力由万有引力提供，由牛顿第二定律得向心力由万有引力提供，由牛顿第二定律得: : 113028 236.67 102.0 10:(3.0 10 ) 1.5 101.5.GMRcmkm解得22GMmmcRR

20、例例: :已知太阳的质量已知太阳的质量M=2.0M=2.010103030kgkg，光的速度，光的速度c=3.0c=3.010108 8m/sm/s，试估算太阳如果演变成了黑洞，它的半径将变成多少？试估算太阳如果演变成了黑洞，它的半径将变成多少？例例: : 在天体运动中，把两颗相距很近在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星，这两颗星必须各自的恒星称为双星，这两颗星必须各自以一定的速率绕某一中心转动才不至以一定的速率绕某一中心转动才不至于由于万有引力而吸在一起。已知两于由于万有引力而吸在一起。已知两恒星的质量分别为恒星的质量分别为M M1 1和和M M2 2两恒星距离两恒星距离为为L L。求

21、：。求：(1)(1)两恒星转动中心的位置；两恒星转动中心的位置；(2)(2)转动的角速度。转动的角速度。L LM M1 1M M2 2r r1 1L-rL-r1 1解：如图所示，两颗恒星分别以转解：如图所示，两颗恒星分别以转动中心动中心O作匀速圆周运动，角速度作匀速圆周运动，角速度相同，设相同，设M1的转动半径为的转动半径为r1，M2的转动半径为的转动半径为r2=L-r1；它们之间的；它们之间的万有引力是各自的向心力。万有引力是各自的向心力。22121 122M MGM rML1(L-r )由后两式相等解得得由后两式相等解得得21121212rrM LM LMMMM，由前两式相等解得得由前两式

22、相等解得得212231()GMG MMrLL例、例、某行星上一昼夜的时间为某行星上一昼夜的时间为T=6h，在该行星赤道处用弹簧，在该行星赤道处用弹簧秤测得一物体的重力大小比在该行星两极处小秤测得一物体的重力大小比在该行星两极处小10%，则该行，则该行星的平均密度是多大？（星的平均密度是多大？（G取取6.671011Nm2/kg2）例、例、设某种原因地球自转的加快，当角速度等于多少时，设某种原因地球自转的加快，当角速度等于多少时，赤道上物体的重力为零？赤道上物体的重力为零？解：万有引力全部提供自转向心力解：万有引力全部提供自转向心力22MmGmrR11243336.67 106 101.2 10

23、/(6.4 106)GMrad sR 2210%MmGmRR24T2310%RMG24T233224430(10)/()3MRRVGTGT例：如图所示，有例：如图所示，有A A、B B两个卫星绕地球做圆周运动，旋转方向两个卫星绕地球做圆周运动，旋转方向相同，相同，A A卫星的周期为卫星的周期为T T1 1，B B卫星的周期为卫星的周期为T T2 2 ，在某一时刻两，在某一时刻两卫星第一次相遇（即两卫星距离最近），卫星第一次相遇（即两卫星距离最近）， 求：求：1 1、多少时间后两卫星第二次相遇？、多少时间后两卫星第二次相遇？ 2 2、多少时间后两卫星第一次相距最远、多少时间后两卫星第一次相距最远

24、 ？ 1 221TTtTT1m2mt/2t/2解：解：A A星转得快，设相遇时星转得快，设相遇时B B转过角度为转过角度为，则则A A转过角度为转过角度为(+2)(+2)，设经过的时间为，设经过的时间为tt122t12222TT1122TTT1212TTT1211 2221222TTTTTtTTT【例【例1 1】20002000年年1 1月月2626日我国发射了一颗同步卫星，其定点位日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经置与东经9898的经线在同一平面内的经线在同一平面内. .若把甘肃省嘉峪关处的经若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经度和纬度近似为东经9898和北纬和北纬a=40a=4

25、0已知地球半径已知地球半径R R、地球、地球自转周期自转周期T T、地球表面重力加速度、地球表面重力加速度g(g(视为常数视为常数) )和光速和光速c c，试求，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间间( (要求用题给的已知量的符号表示要求用题给的已知量的符号表示).).解：如图知同步卫星的周期解：如图知同步卫星的周期T T可求出卫星圆周半可求出卫星圆周半径径r r量，由牛顿第二定律得：量，由牛顿第二定律得：设嘉峪关到同步卫星的距离为设嘉峪关到同步卫星的距离为l l，如图如图4-5-14-5-1所示，由余弦定律得：所示，由

26、余弦定律得：l=l=arRRrcos222cagTRRRgTRtcos)4(2)4(3122223222222332244GMTgR Tr222MmGmrrT所求的时间为所求的时间为t=l/c. t=l/c. 得得什么是抛体运动假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？思维总结：(1)模型建立求解天体质量问题时，通常把卫星绕天体的运动视为匀速圆周运动，而万有引力就是卫星做匀速圆周运动时所需的向心力，当然根据题

27、中的条件，也可以根据重力加速度求天体质量 (2)把万有引力定律和牛顿第二定律以及圆周运动的知识结合寻求求解天体质量所需要的已知量，即人造卫星问题 (2012年广东高考) (双选)如右图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的()A动能大B向心加速度大C运行周期长D角速度小变式训练1(双选)据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77赤道上空的同步轨道关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是()A运行速度大于7.9

28、 km/sB离地面高度一定，相对地面静止C绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等解析：由题中描述知“天链一号01星”是地球同步卫星，所以它的运行速度小于7.9 km/s，离地高度一定，相对地面静止由于其运行半径比月球绕地球运行半径小，由 得其运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大由于受力情况不同，由公式ar2知向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小不相等答案：BC第一宇宙速度 我国于2010年10月1日成功发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥2号”设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面已知月球的质量约为地球质量的 ，月球的半径约为地球半径的 ，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为()A0.4 km/sB1.8 km/sC11 km/s D36 km/s变式训练2(双选)关于地球的第一宇宙速度，下列说法中正确的是()A它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度B它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度C它是能使卫星进入近地轨道的最小速度