利用空间向量解立体几何(完整版)

1、向量法解立体几何基本思路与方法一、基本工具1.数量积： 2.射影公式：向量在上的射影为3.直线的法向量为 ，方向向量为 4.平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1.平行关系线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2.垂直关系线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1.点点距离点与的距离为2.点线距离求点到直线的距离：方法：在直线上取一点，则向量在法向量上的射影= 即为点到的距离.3.点面距离 求点到平面的距离：方法：在平面上去一点，得向量，计算平面的法向量，计算在上的射

2、影，即为点到面的距离.四、用向量法解空间角1.线线夹角（共面与异面）线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角2.线面夹角求线面夹角的步骤： 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.3.面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.实例分析一、运用法向量求空间角nA向量法求空间两条异面直线a, b所成角，只要在两条异面直线a, b上各任取一个向量，则角<>=或-，因为是锐角，所以cos=, 不需要用法向量。1、运用法向量求直线和平面所成角设平面的法向量

3、为=（x, y, 1)，则直线AB和平面所成的角的正弦值为sin= cos(-) = |cos<, >| = 2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为，则<>或-<>是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<>是所求，还是-<>是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离 设异面直线a、b的公共法向量为，在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离d =AB·cosBAA=略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a为过F与a平行的直线，在a、b上任取一点A、B，过A作AAEF，交a于

4、A，则，所以BAA=<>（或其补角）异面直线a、b的距离d =AB·cosBAA= *其中，的坐标可利用a、b上的任一向量（或图中的），及的定义得 解方程组可得。2、求点到面的距离求A点到平面的距离，设平面的法向量法为，在内任取一点B，则A点到平面的距离为d =，的坐标由与平面内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设，下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面的距离，设平面的法向量法为，在直线a上任取一点A，在平面内任取一点B，则直线a到平面的距离d = 4、求两平行平面的距离设两个平行设

5、平面、的公共法向量法为，在平面、内各任取一点A、B，则平面到平面的距离d = 三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面、，两个面、的法向量为，则 四、应用举例：例1：如右下图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值. 解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设法向量与平面C1D

6、E垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为，则例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=600，PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。（1）证明平面PED平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：（1）面ABCD是菱形，DAB=600，ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD EDB=300，BDC=600，EDC=900， 如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=， P（0，0，1），E（，0，0），B（，0） =（，-1），= （，0，-1），平面PED的一个法向量为=（0，1，0） ，设平面

7、PAB的法向量为=（x, y, 1)由 =（, 0, 1)·=0 即 平面PED平面PAB（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为=（, 0, 1), 设平面FAB的法向量为1=（x, y, -1)，由（1）知：F（0，0，），=（，-）， = （，0，-），由 1=（-, 0, -1)二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos= |cos<, 1>| = 例3：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；()设O点在平面D1

8、AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离.解: ()如图建立坐标系D-ACD1, 棱长为4 A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1） = (-4, 4, 1) , 显然=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向量 直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值sin= |cos<, >|= 为锐角，直线AP与平面BCC1B1所成的角为arcsin () 设平面ABD1的法向量为=（x, y, 1)，=（0，4，0），=（-4，0，4） 由， 得 =（1, 0, 1)， 点P到平面ABD1的距离 d = 例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体A

9、BCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0） 设A1O与B1C的公共法向量为，则 A1O与B1C的距离为d =例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（，1，1） 设面BDFE的法向量为，则 A1到面BDFE的距离为d =五、课后练习: 1、如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点. （1） 证明EF为BD1与CC1的公垂线; （2）求点D1到面BDE的距离.2、已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD平面ABCD，且PD=1，E、F分别是AB和BC的中点，（1）求D到平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离3、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图） （1）求证：平面A1BC1/平面ACD1； （2）